пʼятниця, 16 січня 2015 р.

Функція Дірака і функція Хевісайда, функція Діріхле

Дельта -функція, δ-функція, функція Дірака — це узагальнена функція, формально визначається як неперервнийлінійний функціонал у просторі диференційовних функцій. δ-функція не є функцією в класичному розумінні.

Введена англійським фізиком Діраком. Дозволяє записати просторову густину фізичної величини (маса, електричний заряд, інтенсивність джерела тепла, сили тощо) зосередженою або прикладеною в одній точці. Наприклад, густина точкової маси m, що знаходиться в точці a, евклідового простору \R^n, записується за допомогою δ-функції у вигляді \ m\delta(x-a).



Одномірна функція Дірака


Функція Хевісайда, H,  — це розривна функція дійсної змінної значення якої рівне 0 для від'ємних значень аргумента і рівне 1 для додатніх значень аргумента. В більшості випадків значення функції в точці нуль H(0) не є важливим. Функція названа на честь англійського математика Олівера Хевісайда і широко використовується в теорії керування і обробці сигналів. В теорії ймовірностіфункція Хевісайда з 'H(0)=1 є функцією розподілу випадкової змінної, що майже напевно рівна нулю.
Функція Хевісайда є первісною дельта-функції Дірака і можна записати.
H(x) = \int_{-\infty}^x { \delta(t)} \mathrm{d}t
В даній рівності зміст інтегрального виразу залежить від концепції узагальнених функцій, що використовується і рівність може не справджуватися в нулі.
Функция , определенная так:

,


называется единичной функцией Хевисайда и обозначается через . График этой функции изображен на рис.1.3.




Графік функції Хевісайда, похідна від якої — дельта-функція

Графік дельта-функції

Миттєве прискорення[ред. • ред. код]








двомірна функція Дірака











Означення[ред. • ред. код]

δ-функція визначається формальним співвідношенням
(\delta;f)\;=\;\int_{\R^n}\delta(x-a)f(x)\;dx = f(a)
для будь-якої неперервної функції f(x)\,.

Властивості[ред. • ред. код]

Для дельта-функції однієї змінної справедливі такі рівняння:
  • \delta(x) = 0,\qquad\forall x \not= 0 .
  • \int\limits_{-\infty}^{\infty} \delta(x)\, dx = 1.
  • x\delta^\prime(x)=-\delta(x).
  • \delta(f(x)) = \sum_k \frac{\delta(x - x_k)}{|f'(x_k)|}, де x_k — нулі функції f(x).

Інтегральне представлення[ред. • ред. код]

У багатьох випадках зручним виявляється таке представлення дельта-функції:
Розглянемо інтеграл
I(t) = \int\limits_{-\infty}^\infty e^{i\omega t}\, d\omega,    (1)
який можна інтерпретувати як границю
I(t) = \lim_{N = \infty} \int_{-N}^N e^{i\omega t}\, d\omega = \lim_{N = \infty} 2 \pi N \frac{\sin{tN}}{\pi tN}.    (2)
Відомо, що
\int\limits_{-\infty}^ \infty \frac{\sin{t}}{t}\,dt = \pi.    (3)
Як наслідок з (3) для будь-якого N\, справедлива рівність:
\int\limits_{-\infty}^{\infty} 2N \frac{\sin{tN}}{tN}\, dt = 2 \pi .    (4)
Можна показати, що при необмеженому зростанні N\, виявляються правильними всі властивості дельта-функції і функція (2) прямує до \delta(t)\,; це дозволяє зробити висновок, що:
I(t) = \int_{-\infty}^{\infty} e^{i\omega t}\, d\omega = 2\pi \delta(t).

Похідна дельта-функції[ред. • ред. код]

Фундаментальний вираз, що описує похідну дельта-функції \delta(x):
\int f(x)\delta^{[n]}(x)\,dx=-\int\frac{\partial f}{\partial x}\delta^{[n-1]}(x)\;dx.
Підставивши f(x)=xg(x)\,\!, одержимо вираз:
\int xg(x)\delta^\prime (x)\;dx=-\int\delta(x)\frac{\partial}{\partial x}[xg(x)]\;dx.
Після перетворення маємо:
-\int\delta(x)[g(x)+xg^\prime(x)]\;dx=-\int g(x)\delta(x)\;dx.
Оскільки \int xg^\prime(x)\delta(x)\;dx=0, одержуємо остаточний вираз
x\delta^\prime(x)=-\delta(x).
У загальному вигляді вираз похідної дельта-функції записується так:
\int [x^{n}f(x)]\delta^{n}(x)\;dx=(-1)^{n}\int\frac{\partial^{n}[x^{n}f(x)]}{\partial x^{n}}\delta(x)\;dx.
Для довільної дельта-функції справджуються наступні тотожності:
\delta^\prime(-x)=-\delta^\prime(x);
\int\limits_{-\infty}^{+\infty}f(x)\delta^\prime(x-a)\;dx=-f^\prime(a);
\int\limits_{-1}^{1}\delta\left(\frac{1}{x}\right)\;dx=0.


Опубліковано о

1 коментар:

  1. Kira Roza15 серпня 2020 р. о 02:44

    Мојот Сведоштво Здраво на сите. Овде сум за да сведочам како го добив мојот заем од г-дин Бенџамин, откако аплицирав неколку пати од разни заемодавачи кои ветија дека ќе им помогнат, но тие никогаш не ми го дадоа заемот. Додека мојот пријател не ме запозна со г-дин Бенџамин Ли вети дека ќе ми помогне и навистина направи како што вети без никаков облик на задоцнување. Никогаш не мислев дека има уште сигурни заемодаватели додека не се сретнам со г-дин Бенџамин Ли, кој навистина помогна со заемот и ми го смени верувањето. Не знам дали на некој начин имате потреба од оригинален и итен заем, слободно контактирајте го господинот Бенџамин преку WhatsApp 1-989-394-3740 и неговата е-пошта: Lfdsloans@outlook.com ви благодарам.

    ВідповістиВидалити

Підписатися на: Дописати коментарі (Atom)