ПАРНІСТЬ ТА НЕПАРНІСТЬ

Математичний гурток.                  

Задачі на властивості парності для 5-8 класів.

ПАРНІСТЬ ТА НЕПАРНІСТЬ

Означення. Будь-яке число, яке можна подати, як суму двох однакових натуральних чисел, називають парним.

Парні числа позначають формулою m = 2n.

Парних чисел безліч.

Парні числа, закінчуються на цифри: 0, 2, 4, 6, 8.

Приклади. Такі числа є парними: 2, 4, 6, 8, 56,  78, 40.

Означення. Будь-яке число, яке не можна подати, як суму двох однакових натуральних чисел, називають непарним.

Непарні числа позначають формулою m = 2n - 1.

Приклади. Такі числа є непарними: 21, 43, 65, 87, 56,  781, 409.

Непарних чисел безліч.

Непарні числа, закінчуються на цифри: 1, 3, 5, 7, 9.

Варто звернути увагу на те, що сума парної кількості непарних чисел є парною.

Узагальнення цього факту виглядає так:

парність суми кількох чисел залежить лише від парності числа непарних доданків:

якщо кількість непарних доданків є (не)парна, то і сума також є (не)парною.

Це можна зрозуміти з таких властивостей парності:

  2∙n + 2∙k + … + 2∙f + 2∙q = 2∙(n + k + … + f  + q) = 2∙m

СУМА БУДЬ-ЯКОЇ КІЛЬКОСТІ ПАРНИХ ЧИСЕЛ ЗАВЖДИ ПАРНА.

2∙n – 2∙k – … – 2∙f – 2∙q = 2∙(n – k – … – f  – q) = 2∙m

РІЗНИЦЯ БУДЬ-ЯКОЇ КІЛЬКОСТІ ПАРНИХ ЧИСЕЛ ЗАВЖДИ ПАРНА.

(2∙n -1)+ (2∙k-1)+ … + (2∙f-1) + (2∙q-1) = 2∙(n + k + … + f  + q)- 2s = 2∙(m-s)

СУМА ПАРНОЇ КІЛЬКОСТІ НЕПАРНИХ ЧИСЕЛ ЗАВЖДИ ПАРНА.

(2∙n -1)+ (2∙k-1)+ … + (2∙f-1) + (2∙q-1) = 2∙(n + k + … + f  + q)- 2s -1 = 2∙(m-s) - 1

СУМА НЕПАРНОЇ КІЛЬКОСТІ НЕПАРНИХ ЧИСЕЛ ЗАВЖДИ НЕПАРНА.

Таким чином, парність результату не залежить від розстановки плюсів і мінусів між цілими числами, а залежить тільки від кількості непарних чисел в початковому наборі. Зрозуміло, що сума будь-якої кількості парних чисел є  завжди парним числом.

Звертаємо увагу ще на  одну цікаву властивість.

Сума  квадратів парної кількості непарних чисел є парною.

(2∙n -1)² + (2∙k-1)² + … + (2∙f-1)² + (2∙q-1)² = 2∙p

                               (парна кількість непарних доданків)

Сума  квадратів непарної кількості непарних чисел є парною.

(2∙n -1)² + (2∙k-1)² + … + (2∙f-1)² + (2∙q-1)² = 2∙p – 1

                               (непарна кількість непарних доданків)

Зокрема, сума двох квадратів натуральних чисел  може при ділені на 4 мати остачу  0, 1, 2, але не може мати остачу 3.

Приклади:  1² + 2²  = 4 + 1,    1² + 3²  = 4∙2 + 2,    2² + 2²  = 4∙2 + 0.

Варто запам’ятати, що  n² + k² ¹ 4∙m + 3.

Узагальнення попередніх фактів виглядає так:

Парність суми  довільних натуральних  степенів кількох чисел залежить лише від парності числа непарних доданків:

якщо кількість непарних доданків є (не)парна, то і сума також є (не)парною.

Це можна зрозуміти з таких властивостей парності:

(2∙n)^z + (2∙k)ⁿ + … + (2∙f )^s + (2∙q)^t = 2∙p

(будь-яка кількість  доданків)

СУМА cтепенів БУДЬ-ЯКОЇ КІЛЬКОСТІ ПАРНИХ ЧИСЕЛ ЗАВЖДИ ПАРНА.

(2∙n)^z  -  (2∙k)ⁿ  -  … - (2∙f )^s  - (2∙q)^t = 2∙p

                                       (будь-яка кількість  доданків)

РІЗНИЦЯ cтепенів БУДЬ-ЯКОЇ КІЛЬКОСТІ ПАРНИХ ЧИСЕЛ ЗАВЖДИ ПАРНА.

(2∙n -1)^z + (2∙k-1)ⁿ + … + (2∙f-1)^m + (2∙q-1)^w = 2∙p

                                      (парна кількість  непарних доданків)

СУМА cтепенів ПАРНОЇ КІЛЬКОСТІ НЕПАРНИХ ЧИСЕЛ ЗАВЖДИ ПАРНА.

(2∙n -1)^z + (2∙k-1)ⁿ + … + (2∙f-1)^m + (2∙q-1)^w = 2∙p - 1

                               (непарна кількість непарних доданків)

СУМА cтепенів НЕПАРНОЇ КІЛЬКОСТІ НЕПАРНИХ ЧИСЕЛ ЗАВЖДИ НЕПАРНА.

Звертаємо увагу ще на  одну цікаву і не зовсім  очевидну властивість.

Степінь натурального числа (більша першої степені) не може бути записана у вигляді 4m + 2. Варто запам’ятати, що  n^k ¹ 4∙m + 2, де натуральне k більше 1.

Зокрема, можна довести такі властивості.

Довільна степінь непарного числа вигляду 4∙q +1 подається у вигляді 4∙p + 1:

(4∙q + 1)ⁿ = 4∙p + 1.

Або цю рівність можна розуміти ще отак: будь-яка степінь непарного числа вигляду 4∙q +1 при діленні на 4 дає остачу 1.

Приклади: (4∙2 +1)² = 4∙20 + 1,    (4∙2 +1)³ = 4∙182 +1,    (4∙2 +1)⁴ = 4∙1640 +1.   

Непарна степінь непарного числа вигляду 4∙q + 3 подається у вигляді 4∙p + 3:

(4∙q + 3 )^2n-1 = 4∙p + 3.

Або цю рівність можна розуміти ще отак: будь-яка непарна степінь непарного числа вигляду 4∙q +3 при діленні на 4 дає остачу 3.

Приклади: (4∙2 +3)³ = 4∙332 + 3.

Парна степінь непарного числа вигляду 4∙q + 3 подається у вигляді 4∙p + 1:

(4∙q + 3 )²ⁿ = 4∙p + 1.

Або цю рівність можна розуміти ще отак: будь-яка парна степінь непарного числа вигляду 4∙q +3 при діленні на 4 дає остачу 1.

Приклади: (4∙2 + 3)² = 4∙30 + 1,    (4∙2 +3)⁴ = 14640 +1.

Зразки задач на парність та непарність.

1. На чудо-дереві ростуть банани і ананаси. За один раз дозволяється зірвати з неї два плоди. Якщо зірвати два банани або два ананаси, то виросте ще один ананас, а якщо зірвати один банан і один ананас, то виросте один банан. У результаті залишився один  плід. Який це плід, якщо відомо, скільки бананів і ананасів росло спочатку?

Розв’язання. Парність числа бананів не міняється, тому, якщо число бананів було парним, то плід, що залишився, –  ананас, якщо число бананів було непарним, то – банан.

2. У одній клітці квадратної таблиці 4x4  стоїть знак мінус, а в інших стоять плюси. Дозволяється одночасно міняти знак у всіх клітках, розташованих в одному рядку або в одному стовпці. Доведіть, що, скільки б ми не проводили таких змін знаку, нам не вдасться отримати таблицю з одних плюсів.

Розв’язання. Замінимо знак «+» на число 1 і знак «—» на число  – 1. Відмітимо, що добуток всіх чисел в таблиці не міняється при зміні знаку у всіх чисел стовпця або рядка. У початковому положенні цей добуток рівний - 1, а в таблиці з одних плюсів добуток рівний  +1, чим і доведена неможливість переходу.

3. Одним ударом Шварцнегер може розбити будь-який шматок бетону на 3 частини. Скільки ударів йому знадобитися, щоб розбити бетонну плиту  а) на 5 частин;  б) на 111 частин?

Розв’язання. Після кожного розбивання одного шматочка на 3 частини загальна кількість шматків збільшується на 2. Тому,  якщо виконано n розбивань, то кількість шматків має бути рівною 1+ 2n. Таким чином, 1+2n = 5, звідси n = 2, тобто два удари треба, щоб мати 5 кусків, а якщо 1+2n =111, звідси n =55, тобто 55 ударів треба, щоб мати 111 кусків.

4. Петро купив загальний зошит на 96 аркушів і пронумеру­вав всі його сторінки по порядку числами від 1 до 192. Василь вирвав з цього зошита 25 аркушів і додав всі 50 чисел, що на них були написані. Чи міг він дістати 1990?

 Відповідь: ні, не могло.  Вказівка. На кожному аркуші сума номерів сторінок непарна, а сума 25 непарних чисел непарна.

5. Добуток 22 цілих чисел дорівнює 1. Доведіть, що їх сума не дорівнює нулю.

Вказівка. Серед цих чисел – парне число "мінус одиниць", а для того, щоб сума дорівнювала нулю, їх має бути рівно 11.

6. Розмістити в квадратній таблиці 3х3,  натуральні числа від 1 до 9 так, щоб виконувалась така умови: сума  по усіх рядках, по усіх колонках, по двох діагоналях була однакова.

2	7	6		2	9	4		4	3	8		4	9	2
9	5	1		7	5	3		9	5	1		3	5	7
4	3	8		6	1	8		2	7	6		8	1	6
6	1	8		6	7	2		8	1	6		8	3	4
7	5	3		1	5	9		3	5	7		1	5	9
2	9	4		8	3	4		4	9	2		6	7	2

Вказівка.  Зрозуміло, що якщо додати усі дані то отримаємо  45. Це число вказує потроєну суму кожного рядка або кожного стовпця. Тому 45 розділимо на 3, отримаємо число 15, яке називають для числового квадрату 3х3 магічна константа. Отже,  сума по горизонталям, по вертикалям, по обом діагоналям у числовому квадраті 3х3 рівна 15.  Звертаємо увагу, що 9+1 = 8+2 = 7+3 = 4 + 6 = 10, отже числа розділилися на пари, і без пари залишилося тільки число 5.  Таким чином, середнє серед цих чисел  повинно стояти в центральній клітинці. Тоді в сусідній з нею клітинках повинні стояти або пара непарних чисел, або пара парних чисел. В кутових клітинках повинні  стояти парні числа. Знайшовши один  такий набір можна отримати ще вісім  таких квадратів за допомогою повороту навколо центральної клітинки.

7. В ряд записано числа від 1 до 10. Чи можна розставити між ними знаки "+" та "–" так, щоб значення отриманого виразу дорівнювало нулю?

Відповідь: ні, не можна. І справді, сума чисел від 1 до 10 дорівнює 55, і змінюючи в неї знаки, ми змінюємо весь вираз на парне число.  Зауваження. Врахуйте, що від'ємні числа також бувають парними та непарними.

8. Чи можна скласти магічний квадрат з перших 36 простих чисел?

Відповідь: ні, не можна. Серед цих чисел одне (це 2) – парне, а інші непарні. Тому в тому рядку, де стоїть двійка, сума чисел непарна, а в інших – парна.

9. В ряд записано числа від 1 до 10. Чи можна розставити між ними знаки "+" та "–" так, щоб значення отриманого виразу дорівнювало нулю?

Відповідь: ні, не можна. І справді, сума чисел від 1 до 10 дорівнює 55, і змінюючи в неї знаки, ми змінюємо весь вираз на парне число. Зауваження. Врахуйте, що від'ємні числа також бувають парними та непарними.

10. Коник-стрибунець стрибає вздовж прямої, причому пер­шого разу він стрибнув на 1 см в якийсь бік, другого – на 2 см і так далі. Доведіть, що після 1985 стрибків він не може зупинитися там, де починав.

Вказівка. Доводиться так само, як і в задачі 20, бо сума 1 + 2 + … + 1985 непарна.

11. На дошці виписано числа 1,2,3,..., 1984, 1985. Дозволя­ється стерти з дошки будь-які два числа і замість них записати модуль їх різниці. Врешті-решт на дошці залишається одне число. Чи може воно дорівнювати нулю?

Відповідь: ні, не може. Перевірте, що при зазначених операціях парність суми всіх написаних на дошці чисел не змінюється.

12. Чи можна покрити шахматну дошку доміношками розмі­ром 1x2 так, щоб вільними залишились тільки клітинки а1 і, h8?

Відповідь: не можна. Кожна доміношка покриває одне чорне і одне біле поле, а при викиданні полів а1 і h8 чорних полів залишається на 2 менше, ніж білих.

13. До 17-цифрового числа додали число, яке записано тими ж цифрами, але в зворотному порядку. Доведіть, що хоча б одна цифра суми, що отримана, є парною.

Вказівка. Розгляньте два випадки: сума першої і останньої цифр числа менш 10, і сума першої і останньої цифр числа не менш 10. Якщо припустити, що всі цифри суми непарні, то в першому випадку не може бути жодного переносу в розрядах (що, очевидно, приводить до суперечності), а в другому випадку наявність переносу при русі справа наліво або зліва направо чергується з відсутністю переносу, внаслідок чого ми одержимо, що цифра суми в дев'ятому розряді обов'язково парна.

14. В народній дружині є 100 чоловік, і кожного вечора троє з них йдуть чергувати.   Чи може після деякого часу виявитися, що кожен чергував з кожним рівно один раз?

Відповідь: ні, не може. Бо в кожному чергуванні, в якому бере участь дана людина, вона чергує з двома іншими, отже, всіх інших можна розбити на пари. Проте 99 – непарне число.

15.  На прямій відмічено 45 точок, що лежать зовні відрізка АВ. Доведіть, що сума відстаней від цих точок до точки А не дорівнює сумі відстаней від цих точок до точки В.

Вказівка. Для будь-якої точки X, що лежить поза АВ, маємо АХ-ВХ= ±АВ. Якщо припустити, що суми відстаней рівні, то ми отримаємо, що вираз ±АВ ± АВ ± … ± АВ, в якому 45 доданків, дорівнює нулю. Але це неможливо..

16. По колу розставлено 9 чисел – 4 одиниці і 5 нулів. Кожну секунду над числами роблять таку операцію: між сусідніми числами ставлять нуль, якщо вони різні, та одиницю, якщо вони рівні. Чи можуть усі числа через деякий час стати рівними?

Вказівка. Зрозуміло, що комбінація з дев'яти одиниць раніше, ніж з дев'яти нулів, утворитися не може.   Якщо ж утворилося дев'ять нулів,   то в попередньому ході нулі і одиниці повинні були чергуватися,  не можливо, бо їх всього непарна кількість.

17. 25 хлопчиків і 25 дівчаток сидять за круглим столом. До­ведіть, що у когось із них обидва сусіди – хлопці.

Доведення. Проведемо наше доведення від супротивного. Пронумеруємо всіх, що сидять за столом, по порядку, починаючи з якогось місця Якщо на к-му місці сидить хлопчик, то ясно, що на (к - 2)-му і на (к+ 2) му місцях сидять дівчатка. Але оскільки хлопчиків і дівчаток порівно, то і для будь-якої дівчинки, що сидить на n-му місці, вірно, що на (n— 2)-му і на (n + 2)-му місцях сидять хлопчики. Якщо ми тепер розглянемо тільки тих 25 чоловік, що сидять на "парних" місцях, то одержимо, що серед них хлопчики і дівчатка чергуються, якщо обходити стіл в якомусь напрямі. Але 25 – непарне число.

18. Равлик повзе по площині із сталою швидкістю і кожні 15 хвилин повертає під прямим кутом. Доведіть, що повернутись до початкової точки він зможе лише після цілого числа годин.

Доведення. Зрозуміло, що кількість а дільниць, на яких равлик повз угору або вниз, рівна кількості дільниць, на яких він повз вправо або вліво. Залишилось тільки зауважити, що а – парне.

Задачі на властивості парності та непарності.

Завдання 1: Чи існує 25-ланкова ламана, така, що перетинає кожну свою ланка рівно один раз?

Розв’язання: Ні. Ланки повинні розбиватися на пари пересічних

Завдання 2: Чи може обертатися система з 11 шестерінок, якщо 1-а зчеплена з 2-ою, 2-а – з 3-ою і так далі, а 11-а зчеплена з 1-ою?

Розв’язання: Ні. Напрями обертання шестерінок повинні чергуватися.

Завдання 3: Чи може пряма, що не містить вершин 1001-угольника, перетинати кожну його сторону?

Розв’язання: Ні. Будь-які сусідні дві вершини 1001-кутника повинні лежати по різні сторони від прямої.

Завдання 4: На клітчастому папері намальований замкнутий шлях (по лініях сітки). Довести, що він має парну довжину (сторона клітки має довжину 1) .

Розв’язання:  При проходженні шляху кроків вгору повинно бути стільки ж, скільки кроків вниз, а кроків управо - стільки ж, скільки кроків вліво.

Завдання 5: Равлик повзе по площині з постійною швидкістю, повертаючи на 90 градусів кожні 15 хвилин. Довести, що він може повернутися в початкову точку тільки через ціле число годин.

Розв’язання: Управо равлик повинен повзти стільки ж часу, скільки вліво, а вгору - стільки ж, скільки вниз. Означає равлик проповз парне число вертикальних і парне число горизонтальних «п'ятнадцятихвилинних» відрізків. До того ж вертикальні і горизонтальні відрізки чергуються, а це означає,що загальне їх число ділиться на 4.

Завдання 6: Довести, що будь-яка вісь симетрії 45-кутника проходить через його вершину.

Завдання 7: Чи може коник за 25 стрибків повернутися в початкову позицію, якщо він стрибає:

a) по прямій в будь-яку сторону на непарну відстань.

b) по площині на відстань 1 в будь-якому з 4 основних напрямів (вгору, вниз, управо, вліво).

с) по площині ходом коня (тобто, по діагоналі прямокутника 1 х2).

d) по діагоналі прямокутника ахb (а і b фіксовані).

Розв’язання: Рішення: d) Ні. Якщо а і b обидва непарні, то кожна координата коника при стрибку міняє парність. Якщо ж одне з чисел а і b парно, а інше непарне, то сума координат при кожному стрибку міняє парність. Якщо ж а і b обидва парні, то можна зменшувати їх удвічі до тих пір, поки одне з них не стане непарним, а після цього скористатися одним з вже розібраних випадків.

Завдання 8: Коник стрибає по прямій: перший раз - на 1 см, другий раз - на 2 см і так далі. Чи може він через 25 стрибків повернутися на старе місце?

Завдання 9: Парне чи непарне число 1 + 2 + 3 +  .  + 1990?

Вказівка. Порахуйте кількість непарних чисел в цій сумі.

Завдання 10: Набір доміно виклали в ряд за правилами. На одному кінці ланцюжки - п'ятірка. Що на іншому?

Розв’язання:Теж п'ятірка. П'ятірки усередині ланцюжка розбиваються на пари. Всього їх вісім на усіх кісточках.

Завдання 11: З набору доміно викинули всі кістки з пустушками. Чи можна що залишилися викласти в ряд за правилами?

Завдання 12: У виразі 1*2*3* … *9 зірочки замінюють на  -  або  + .  a) Чи може вийти 0?  b) Чи може  вийти 1?   c) Які числа можуть вийти?

Розв’язання: с) Всі непарні числа від  - 45 до 45.

Завдання 13: У кожного марсіанина три руки. Чи можуть 7 марсіан узятися за руки?

Завдання 14: Добуток чисел 1 і  - 1 рівне 1. Довести, що їх сума не рівна нулю.

Завдання 15: Чи може 25-ланкова ламана перетинати кожну свою ланку по 3 рази?

Розв’язання: Не може. Спробуйте підрахувати кількість точок перетину.

Завдання 16: Чи можна сторони і діагоналі правильного 13-угольника розфарбувати в 12 кольорів так, щоб в будь-якій вершині сходилися всі кольори?

Завдання 17: На дошці 25х25 розставлені 25 фішок, причому їх розташування симетрично відносне обох головних діагоналей. Довести, що одна з фішок розташована в центрі.

Завдання 18: Дошка 9х9 розфарбована в 9 кольорів, причому розфарбовування симетричне щодо головної діагоналі. Довести, що на цій діагоналі всі клітки розфарбовані в різні кольори.

Розв’язання: Простіше доводити, що кожний колір зустрічається на діагоналі.

Завдання 19: На шахівниці 8х8 розташовані 8 тур, які не б'ютьодин одну. Довести, що число тур, що стоять на чорних клітках, парне.

Розв’язання: Колір клітки визначається сумою її координат. Сума ж координат всіх тур парна (вона не залежить від розстановки і рівна 2(1 + 2 +  ….+ 8)).

Завдання 20: Три коники грають в чехарду: кожну секунду один з них стрибає через якесь іншого (але не через два). Чи можуть вони через 25 секунд повернутися на свої місця?

Завдання 21: По колу розташовано 239 точок двох кольорів. Довести, що знайдуться дві точки одного кольору, розділені рівно двома точками.

Завдання 22: У вершинах куба написані числа 1 і  - 1. На кожній грані написаний добуток чисел в кутках цієї грані. Чи може сума всіх написаних чисел бути рівна нулю?

Розв’язання: Ні. Чисел всього 8+6=14, а їх добуток рівний 1.

Завдання 23: У таблиці 25х25 розставлені цілі числа так, що в кожному стовпці і в кожній строчці зустрічаються всі числа від 1 до 25. При цьому таблиця симетрична щодо головної діагоналі. Довести, що на головній діагоналі всі числа від 1 до 25 зустрічаються по одному разу.

Завдання 24: n лицарів з двох ворогуючих країн сидять за круглим столом. Число пар сусідів-друзів рівне числу пар сусідів-ворогів. Довести, що n ділиться на 4.

Розв’язання: Число пар сусідів-ворогів завжди парне.

Завдання 25: По кругу написано 4 одиниці і 5 нулів. За хід між двома однаковими цифрами пишеться одиниця, а між різними - нуль (старі цифри стираються). Чи можуть через декілька ходів всі числа стати однаковими?

Розв’язання: Ні. З чого могла вийти така позиція?

Завдання 26: У квадраті 25 х25 розташовані числа 1 і  - 1. Обчислили всі добутки цих чисел по рядках і по стовпцях. Довести, що сума цих добутків не рівна нулю.

Завдання 27: По кругу розставлені нулі і одиниці (і ті та інші присутні). Кожне число, у якого два сусіди однакові, замінюють на нуль, а решта чисел - на одиниці, і таку операцію проробляють кілька разів. a) чи можуть всі числа стати нулями, якщо їх 13 штук?  b) чи можуть всі числа стати одиницями, якщо їх 14 штук?

Завдання 28: У вершинах n-кутника стоять числа 1 і - 1. На кожній стороні написаний добуток чисел на її кінцях. Виявилось, що сума чисел на сторонах рівна нулю. Довести, що а) n парно b) n ділиться на 4.

Задачі для самостійного розв’язання

1:  На площині розташовано 11 шестерінок, сполучених по ланцюжку. Чи можуть всі шестерінки обертатися одночасно?

2:Кінь вийшов з поля a1 і через декілька ходів повернувся на поле а1. Доведіть, що він зробив парне число ходів.

3: Чи може кінь пройти з поля a1 на полі h8, побувавши по дорозі на кожному з решти полів рівно один раз?

4:  Чи може пряма, що не містить вершин замкнутої 11-ланкової ламаної, перетинати всі її ланки?

5:  На хокейному полі лежать три шайби А, В і С. Хоккєїст б'є по одній з них так, що вона пролітає між двома іншими. Так він робить 25 разів. Чи можуть після цього шайби опинитися на початкових місцях?

6 а):  Катя і її друзі встали по кругу. Виявилось, що обидва сусіди кожної дитини – однієї статті. Хлопчиків серед Катіних друзів п'ять. А скільки дівчаток?

6 б):  Чи можна розміняти 25 рублів за допомогою десяти купюр гідністю в 1, 3 і 5 рублів?

7:  Петя купив загальний зошит об'ємом 96 листів і пронумерував всі її сторінки по порядку числами від 1 до 192. Вася вирвав з цього зошита 25 листів і склав всі 50 чисел, які на них написані. Чи могло у нього вийти 1990?

8:  Добуток 22 цілих чисел рівний 1. Доведіть, що їх сума не рівна нулю.

9: Чи можна скласти магічний квадрат з перших 36 простих чисел?

10:  У ряд виписані числа від 1 до 2015. Чи можна розставити між ними знаки « + » і « - » так, щоб значення отриманого виразу було рівне нулю?

Зауваження: врахуйте, що від’ємні числа також бувають парними і непарними.

11: Коник стрибає по прямій, причому вперше він стрибнув на 1 см в якусь сторону, удруге - на 2 см і так далі. Доведіть, що після 1985 стрибків він не може опинитися там, де починав.

12: На дошці написані числа 1, 2, 3, …, 2017. Дозволяється стерти з дошки будь-які два числа і замість них записати модуль їх різниці. Врешті-решт на дошці залишиться одне число. Чи може воно дорівнювати нулю?

Розбиття на пари

Завдання 1: Чи можна намалювати а)5ланкову, б)6-ланкову, в)7ланкову, г)8-ланкову, д)9-ланкову замкнуту ламану, кожна ланка якої перетинається рівно з одним з решти ланок?

Вказівка. Ламану з непарною кількістю ланок так накреслити не можна. Самостійно накресліть випадки г) і Д).

Завдання 2: Чи можна дошку розміром 5х5 заповнити доміношками розміром 1х2?

Завдання 3: Даний осесимметрічний опуклий 101-кутник. Доведіть, що вісь симетрії проходить через одну з його вершин. Що можна сказати у разі 10-кутника?

Завдання 4: Всі кісточки доміно виклали в ланцюг. На одному кінці опинилося 5 очок. Скільки очок на іншому кінці?

Завдання 5: З набору доміно викинули всі кістки з «пустушками». Чи можна кістки, що залишилися, викласти в ряд?

Завдання 6:  Чи можна опуклий 13-кутник  розрізати на паралелограми?

Завдання 7:  На дошці 25х25 розставлені 25 шашок, причому їх розташування симетричне щодо діагоналі. Доведіть, що одна з шашок розташована на діагоналі.

Завдання 8: Допустимо тепер, що розташування шашок в завданні 13 симетрично відносно обох головних діагоналей. Доведіть, що одна з шашок коштує в центральній клітці.

Завдання 9: У кожній клітці квадратної таблиці розміром 25х25 записане одне з чисел 1, 2, 3,..., 25. При цьому, по-перше, в клітках, симетричних щодо головної діагоналі, записані рівні числа, і по-друге, ні в якому рядку і ні в якому стовпці немає двох рівних чисел. Доведіть, що числа на головній діагоналі попарно різні.

Парність  і непарність в прикладних задачах

Завдання 10: Чи можна розміняти 29 гривнів за допомогою десяти купюр номіналом в 1, 3 і 5 гривні?

Завдання 11: Петя купив загальний зошит об'ємом 96 листів і пронумерував всі її сторінки по порядку числами від 1 до 192. Вася вирвав з цього зошита 25 листів і склав усі 50 чисел, які на них написані. Чи могло у нього вийти 1990?

Завдання 12: Добуток 28 цілих чисел рівний 1. Доведіть, що їх сума не рівна нулю.

Завдання 13:  Чи можна скласти магічний квадрат з перших 25 натуральних  чисел так, щоб у кожоному рядку знаходилися числа однієї парності?

Завдання 14: У ряд виписані числа від 1 до 2016. Чи можна розставити між ними знаки « + » і « - » так, щоб значення отриманого виразу було рівне а)нулю, б)парному числу, в) непарному числу?

Зауваження: врахуйте, що від’ємні числа також бувають парними і непарними.

Завдання 15: Коник стрибає по прямій, причому вперше він стрибнув на 1 см в якусь сторону, удруге - на 2 см і так далі. Доведіть, що після 1985 стрибків він не може опинитися там, де починав.

Завдання 16:  На дошці написані числа 1, 2, 3, …, 2085. Дозволяється стерти з дошки будь-які два числа і замість них записати модуль їх різниці. Врешті-решт на дошці залишиться одне число. Чи може воно дорівнювати нулю?

Завдання 17:  Чи можна покрити шахівницю доміношками 1 х 2 так, щоб вільними залишилися тільки клітки a1 і h8?

Завдання 18:  До 17-значного числа додали число, записане тими ж цифрами, але в зворотному порядку. Доведіть, що хоч би одна цифра отриманої суми парна.

Завдання 19: У народній дружині 100 чоловік і кожного вечора троє з них йдуть на чергування. Чи може через деякий час опинитися так, що кожен з кожним чергував рівно один раз?

Завдання 20:  На прямій відмічено 45 точок, лежачих поза відрізком AB. Доведіть, що сума відстаней від цих точок до точки A не рівна сумі відстаней від цих точок до точки B.

Завдання 21: По кругу розставлено 9 чисел – 4 одиниці і 5 нулів. Кожну секунду над числами проробляють наступну операцію: між сусідніми числами ставлять нуль, якщо вони різні, і одиницю, якщо вони рівні; після цього старі числа стирають. Чи можуть через деякий час всі числа стати однаковими?

Завдання 22: 25 хлопчиків і 25 дівчаток сидять за круглим столом. Доведіть, що у когось з тих, що сидять за столом обидва сусіди - хлопчики.

Завдання 23: Равлик повзе по площині з постійною швидкістю, кожні 45 хвилин повертаючи під прямим кутом. Доведіть, що повернутися в початкову точку вона зможе лише через ціле число годинника.

Завдання 24:  Три коники грають на прямій в чехарду. Кожного разу один з них стрибає через інше (але не через два відразу!). Чи можуть вони після 1991 стрибка опинитися на колишніх місцях?

Завдання 25: Є 101 монета, з яких 50 фальшивих, таких, що відрізняються за вагою на 1 грам відсправжньої. Петя узяв одну будь-яку монету і за одне зважування на вагах із стрілкою, що показує різницю вагів на чашках, хоче визначити чи фальшива вона. Чи зможе він це зробити?

Завдання 26: Чи можна виписати в ряд по одному разу цифри від 1 до 9 так, щоб між одиницею і двійкою, двійкою і трійкою ,…, вісімкою і дев'яткою було непарне число цифр?

Завдання 27: Знайдіть останню та передостанню цифри для чисел: а)3⁹⁹⁹; б)2⁸⁸⁸; в)7⁶⁶⁶.

Дослідження властивості парних і непарних чисел

Розподілити  тридцять тверджень на три групи:

·         перша група тверджень, які завжди правильні на множині натуральних чисел;

·         друга група тверджень, які завжди неправильні на множині натуральних чисел.

·         третя група тверджень, які не входять до першої та до другої групи.

1. Якщо число непарне, тоді його можна записати, як добуток двох непарних чисел.
2. Якщо число непарне, тоді його можна записати, як суму парного і непарного  чисел.
3. Якщо число парне, тоді його можна записати, як суму непарних  чисел.
4. Якщо число парне, тоді його можна записати, як суму парних чисел.
5. Якщо число ділиться на  три, тоді сума його цифр ділиться на дев’ять.
6. Якщо число парне, тоді його можна записати, як суму трьох непарних чисел.
7. Якщо число непарне, тоді кожна цифра цього числа непарна.
8. Якщо число непарне, тоді сума цифр є число парне.
9. Якщо число парне, тоді добуток його цифр  є парним числом.
10. Якщо натуральне число парне, тоді попереднє і наступне  число непарне.
11. Якщо число кратне п’яти, тоді добуток цифр є ненатуральним число.
12. Якщо число парне, тоді добуток першої і останньої цифр є число парне.
13. Якщо число непарне, тоді добуток першої і останньої цифр є число непарне.
14. Якщо число парне, тоді сума першої і останньої цифр  є число парне.
15. Якщо число кратне трьом, тоді добуток його цифр є число кратне трьом.
16. Якщо число кратне десяти, тоді добуток цифр є число ненатуральне.
17. Якщо число непарне, тоді його кількість цифр непарна.
18. Якщо число парне, тоді кількість його цифр є число парне.
19. Якщо число кратне чотирьом, тоді добуток цифр є число непарне.
20. Якщо число кратне шести, тоді добуток його цифр є число парне.
21. Якщо парне число має лише два ділиники, тоді сума дільників цього числа непарна.
22. Якщо число парне, тоді куб цього числа є число, яке ділиться на 8.
23. Якщо число парне, тоді куб цього числа є число кратне восьми.
24. Якщо число непарне, тоді квадрат цього числа є число непарне.
25. Якщо число складається з десяти різних цифр, тоді сума цифр рівна 45.
26. Якщо число складається з десяти різних цифр, тоді сума цифр ділиться на дев’ять.
27. Якщо число ділиться на кожну свою цифру, тоді добуток його цифр рівний нулю.
28. Якщо число ділиться на суму своїх цифр, тоді добуток його цифр є число парне.
29. Якщо число складається тільки з непарних цифр, тоді добуток його цифр є непарне число.
30. Якщо число складається тільки з парних цифр, тоді сума квадратів його цифр є число кратне чотирьом.
31. Якщо число парне, тоді сума усіх цифр цього числа є парне число.
32. Якщо число непарне, тоді сума цифр є число кратне  трьом..
33. Якщо число парне, тоді сума цифр є число непарне.
34. Якщо число непарне, тоді добуток цифр є число парне.
35. Якщо число парне, тоді його можна записати, як суму непарних чисел.
36. Якщо число непарне, тоді його можна записати, як добуток двох непарних чисел.
37. Якщо число парне, тоді його можна записати, як суму парного і непарного  чисел.
38. Завжди парні числа  є наступними для чисел n, 3n + 3, 2n-1, 2n+1.
39. Завжди  ділиться натуральне число n(n+1) на 2.
40. Завжди ділиться добуток чотирьох послідовних натуральних чисел (n -1)n(n+1)(n+2) на 24.
41. Добуток трьох непарних послідовних чисел  завжди ділиться на 3.
42. Сума чотирьох послідовних парних чисел ділиться на два складених числа..
43. Сума п'яти послідовних натуральних чисел ділиться на два простих числа.
44. Сума семи парних послідовних чисел не ділиться на 4.
45. Сума шести послідовних непарних чисел не ділиться на 8.
46. Сума чотирьох послідовних натуральних чисел може бути простим числом.
47. Добуток двох чисел дорівнює 150. Перше число упівтора рази більше другого. Тоді ці числа парні.
48. Додали два числа. Їх сума виявилась на 26 більше від другого доданку. Тоді пер­ший доданок рівний 6.
49. Сума двох чисел  19, а їх різниця  9. Добуток цих чисел 70.
50. Цифрами 2, 4, 7, 9 не може закінчуватися такі суми: 1+2=…; 1+2+3=…;  1+2+3+4=…; 1+2+3+4+5=…;  і так далі.

Цифрами 2, 3, 7, 8 не може закінчуватися такі суми: 1+3=…; 1+3+5=…;  1+3+5+7=…; 1+3+5+7+9=…;  і так далі.