Розклад на
множники діофантового рівняння
другого
степеня з двома невідомими
на лінійні
множники
Для рівняння
ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0 (1)
знайдемо умову розкладу на множники:
(sx +
ty + v)(px + gy + q) = 0 (2)
Для спрощення технічних викладок деякі параметри можна задати довільними,
тому зведемо розклад (2) до двох ненульових цілих параметрів n та m. Нехай
v = 1, q = f, s = am-1, t = cn-1, p = m, g = n. (3)
Після підстановки у рівняння (2) отримаємо
(am-1x + cn-1y + 1)(mx + ny + f) = 0 (4)
Розкриємо дужки у рівності (4). Матимемо:
am-1mx2
+ am-1nxy
+ am-1fx + cnn-1y2 + cmn-1xy + cn-1f
y+ mx + ny + f = 0
ax2
+ (am-1n + cmn-1)xy + cy2 + (am-1f + m)x + (cn-1f + n)y +
f =
= ax2
+ bxy + cy2 + dx + ey + f. (5)
Користуючись неперервністю лівої частини у рівнянні (1), можна прирівняти коефіцієнти при xy у лівій та правій частинах рівності (5):
am-1n + cmn-1 = b. (6)
Користуючись неперервністю лівої частини у рівнянні (1), можна прирівняти
коефіцієнти при x у лівій та правій частинах
рівності (5):
am-1f + m = d. (7)
Користуючись неперервністю лівої частини у рівнянні (1), можна прирівняти
коефіцієнти при x у лівій та правій частинах
рівності (5):
cn-1f + n = е. (8)
Рівняння (6) запишемо у вигляді
квадратного рівняння стандартного вигляду відносно невідомого m-1n:
a(m-1n)2 – b(mn-1) + с= 0. (9)
Рівняння (7) запишемо у вигляді квадратного рівняння стандартного вигляду
відносно невідомого m:
m2 – dm + af = 0.
(10)
Рівняння (8) запишемо у вигляді квадратного рівняння стандартного вигляду
відносно невідомого n:
n2 – en + cf = 0 (11).
Розклад на множники (4) можливий при виконанні трьох умов (9), (10), (11).
Алгоритм розкладу рівняння (1) на множники (4).
1.Розв’язати квадратне рівняння ak2 – bk + с= 0.
2.Розв’язати квадратне рівняння m2 – dm + af= 0.
3.Розв’язати квадратне рівняння an2 – еn + cf= 0.
4. Виконати перевірку. Якщо
k = m-1n, (12)
то розклад (4) існує, якщо рівність
(12) не виконується, то розклад (4) не можливий.
Немає коментарів:
Дописати коментар