пʼятниця, 2 січня 2015 р.

Довідник з геометрії прямокутного трикутника

Довідник з геометрії прямокутного трикутника

Властивості  прямокутних трикутників

  1. У прямокутному трикутнику сума гострих кутів рівна 900.
  2. Рівнобедрений прямокутний трикутник має рівні гострі кути по 450.
  3. У прямокутному трикутнику напроти кута 300 лежить катет, що дорівнює половині гіпотенузи.
  4. Площа прямокутного трикутника рівна половині добутку  його катетів.
  5. У прямокутному трикутнику медіана, що проведена до гіпотенузи рівна половині гіпотенузи.
  6. У прямокутному трикутнику кут між бісектрисами гострих кутів рівний 1350.
  7. У прямокутному трикутнику бісектриса прямого кута ділить кут між медіаною та висотою, що проведені з вершини прямого кута навпіл.
  8. У прямокутному трикутнику висота, що проведена з прямого кута розділяє трикутник його на два прямокутних трикутники, у яких рівні кути.
  9. У прямокутному трикутнику медіана, що проведена з прямого кута розділяє трикутник його на два необов’язково рівних рівнобедрених трикутники..
  10. У прямокутному трикутнику кут між медіаною та висотою, що проведені з вершини прямого кута дорівнює різниці гострих кутів трикутника.
  11. У прямокутному трикутнику кут між медіаною та бісектрисою, що проведені з вершини прямого кута дорівнює піврізниці гострих кутів трикутника.
  12. У прямокутному трикутнику кут між бісектрисою та висотою, що проведені з вершини прямого кута дорівнює піврізниці гострих кутів трикутника.
  13. У прямокутному трикутнику центр описаного кола  лежить в центрі гіпотенузи, а радіус цього кола дорівнює  половині гіпотенузи.
  14. У прямокутному трикутнику центр вписаного кола  лежить в точці перетину двох бісектрис, а радіус цього кола дорівнює  половині сумі катетів без гіпотенузи.
  15. У прямокутному трикутнику квадрат висоти, що проведена до гіпотенузи,  рівний добутку проекцій катетів на гіпотенузу.
  16. У прямокутному трикутнику квадрат катета рівний добутку довжини проекції цього катета на гіпотенузу на довжину гіпотенузи.
  17. У прямокутному трикутнику точка перетину висот  лежить у вершині прямого кута.
  18. У прямокутному трикутнику квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів його катетів.
  19. У прямокутному трикутнику площа кола побудованого на гіпотенузі, як на діаметрі, дорівнює сумі площ кіл, що побудовані на його катетах, як на діаметрах.
  20. У прямокутному трикутнику площа квадрату побудованого на гіпотенузі, як на стороні, дорівнює сумі площ двох квадратів, що побудовані на його катетах, як на сторонах.
  21. Прямокутний трикутник можна розрізати на три тупокутних трикутники.
  22. Прямокутний трикутник можна розрізати на гострокутні трикутники.
  23. Прямокутний трикутник можна розрізати на три трапеції.
  24. Прямокутний трикутник не можна розрізати на паралелограми.
  25. Прямокутний трикутник можна розрізати на три чотирикутники, діагоналі яких перпендикулярні..
  26. У прямокутному трикутнику , якщо гострі кути відносяться, як 1:3, то бісектриса прямого кута рівна одному з катетів цього трикутника.
  27. У прямокутному трикутнику , якщо гострі кути відносяться, як 1:2, то медіана прямого кута рівна одному з катетів цього трикутника.
  28. У прямокутному трикутнику, якщо висота, проведена на гіпотенузу, ділить її на відрізки, різниця яких рівна одному з катетів трикутника, то гострі кути відносяться, як 1:2.
  29. У прямокутному трикутнику, якщо сторони утворюють арифметичну прогресію, то різниця цієї прогресії рівна радіусу вписаного в цей трикутник кола.
  30. Висота, що виходить з вершини прямого кута трикутника, рівна добутку катетів, поділеному на гіпотенузу.
  31. Відношення проекцій катетів на гіпотенузу дорівнює відношенню квадратів катетів.
  32. Якщо сторона трикутника являється діаметром його описаного кола, то протилежний їй кут – прямий, тобто трикутник прямокутний.
  33.  Якщо квадрат найдовшої сторони трикутника рівний сумі квадратів двох інших сторін цього трикутника, то трикутник прямокутний.
  34. Теорема Гіппократа: Сума площ „місяців”, що лежать між дугою напівкола, яке побудоване на гіпотенузі як на діаметрі, і дугами кіл, що побудовані на катетах як на діаметрах, дорівнює площі даного трикутника.
  35. У прямокутному трикутнику з гострим кутом 300 найменша висота  ділить гіпотенузу у відношенні 3:1, починаючи з вершини меншого кута.
  36. У прямокутному трикутнику з гострим кутом 300  бісектриса середнього кута ділить середню сторону у відношенні 1:2 починаючи від вершини прямого кута.
  37. У прямокутному трикутнику з гострим кутом 300  найменша висота рівна половині більшого катета.
  38. У прямокутному трикутнику з гострим кутом 750  найменша висота рівна чверті гіпотенузи.
  39.  У прямокутному трикутнику з гострим кутом 750  найменша висота рівна половині радіуса описаного кола.
  40. У прямокутному трикутнику з гострим кутом 150  найменша квадрат найменшої висоти рівний половині площі трикутника.
  41. У прямокутному трикутнику з гострим кутом 600  кожна сторона поділена точкою на дві частини  у відношенні 1:2, починаючи з вершини більшого кута. Ці три точки поділу сторін утворюють правильний трикутник, площа якого становить дві дев’ятих площі прямокутного трикутника. Ці три точки поділу сторін є точками дотику вписаного кола в даний прямокутний трикутник.
  42. У прямокутному трикутнику з гострим кутом 600  найменша висота ділить бісектрису середнього кута навпіл.
  43. У прямокутному трикутнику з гострим кутом 600  найменша медіана перпендикулярна до бісектриси середнього кута.
  44. У прямокутному трикутнику з гострим кутом 600  бісектриса середнього кута ділить навпіл найменшу медіану.
  45. У прямокутному трикутнику найменша медіана ділить навпіл площу цього трикутника.
  46. У прямокутному трикутнику сторони можуть виражаюти натуральними числами за формулами: а = m2n2b = 2mn; c = m2 + n2 .
m/n
2
4
6
8
10
12
1
3, 4, 5
15, 8,17
35,12,37
63,16,65
99,20,101
143,24,145
3
5,12,13.
7, 24.25
-------------
55.48.73
91.60,109
--------------
5
21.20.29
9.40.41
11, 60, 61
38, 80, 89
-------------
169,120,119
7
45.28.53
33.56.65
13.84.85
15.112.113
51.140.149
95.169.193
9
77.36.85
65.72.97
------------
17.144.145
19.180.181
-------------
11
44.117.125
88.105.137
85.132.157
57.176.185
21.220.221
23.264.265
13
52.165.173
104.153.135
133.156.175
105.208.233
69.260.269
25.312.313
15
60.221.229
120.209.241
-----------
161.240.289
-------------
--------------
17
68.285.293
136.273.305
204.253.325
225.273.353
189.340.380
145.408.433
19
76.357.365
152.345.377
228.325.397
297.304.425
261.380.461
217.456.505
21
84.437.445
168.425.457
------------
366.377.505
341.420.541
--------------
23
92.525.533
184.513.540
276.493.565
368.468.593
429.460.629
385.552.673
25
100.621.629
200.609.641
589.300.661
400.561.689
-------------
481.600.769

Розвязування  трикутників


Розвязування рівностороннього трикутника
a
(2h∙30,5):3
Р/3
2p/3
R∙30,5
2r∙30,5
2/3(3S∙30,5)0,5
h
(a∙30,5)/2
(P∙30,5)/6
(p∙30,5)/3
3r/2
3r
(S∙30,5)0,5
P
3a
2h∙30,5
2p
3R∙30,5
6r∙30,5
2(3S∙30,5)0,5
p
3a/2
h∙30,5
p/2
(r∙30,5)/2
3r∙30,5
(3S∙30,5)0,5
R
(a∙35)/3
2h/3
(P∙30,5)/9
(2p∙30,5)/9
2r
2/3 ∙(S∙30,5)0,5
r
(а∙30,5)/6
h/3
P∙30,5/18
(P∙3)0,5/18
R/2
((S∙30,5)0,5)/3
S
(a2∙30,5)/4
(h2∙30,5)/3
(P2∙30,5)/36
(P2∙30,5)/9
(3R2∙30,5)
3r2∙30,5
Розвязування прямокутного трикутника
a= 0,5c
b=30,5/2
b=30,5∙a
S=0,5∙30,5∙a2
S=30,5∙b2/6
S=30,5∙c2/8
S= r2+2Rr
Площа прямокутного трикутника(а і b катети)
S=0,5ab
S=0,5a2 tgβ
S=0,5a2ctgα
S=0,5b2tgα
S=0,5b2ctgβ
S=0,25c2sin2α
S=0,25c2sin2β
Рівнобедрений прямокутний  трикутник
b= a =20,5c;   ha =  hb = a =b;    ma= mb=0,5∙50,5∙a; mc= hb= lc= 0,5∙c;   S = 0,5∙a2 = 0,25c2
Прямокутний  трикутник

Немає коментарів:

Дописати коментар