КРУГОВІ, ДОСКОНАЛІ, НЕДОСТАТНІ І НАДМІРНІ ЧИСЛА.

Задачі на властивості парності та непарності.

Завдання 1: Чи існує 25-ланкова ламана, така, що перетинає кожну свою ланка рівно один раз?

Розв’язання: Ні. Ланки повинні розбиватися на пари пересічних

Завдання 2: Чи може обертатися система з 11 шестерінок, якщо 1-а зчеплена з 2-ою, 2-а – з 3-ою і так далі, а 11-а зчеплена з 1-ою?

Розв’язання: Ні. Напрями обертання шестерінок повинні чергуватися.

Завдання 3: Чи може пряма, що не містить вершин 1001-угольника, перетинати кожну його сторону?

Розв’язання: Ні. Будь-які сусідні дві вершини 1001-кутника повинні лежати по різні сторони від прямої.

Завдання 4: На клітчастому папері намальований замкнутий шлях (по лініях сітки). Довести, що він має парну довжину (сторона клітки має довжину 1) .

Розв’язання:  При проходженні шляху кроків вгору повинно бути стільки ж, скільки кроків вниз, а кроків управо - стільки ж, скільки кроків вліво.

Завдання 5: Равлик повзе по площині з постійною швидкістю, повертаючи на 90 градусів кожні 15 хвилин. Довести, що він може повернутися в початкову точку тільки через ціле число годин.

Розв’язання: Управо равлик повинен повзти стільки ж часу, скільки вліво, а вгору - стільки ж, скільки вниз. Означає равлик проповз парне число вертикальних і парне число горизонтальних «п'ятнадцятихвилинних» відрізків. До того ж вертикальні і горизонтальні відрізки чергуються, а це означає,що загальне їх число ділиться на 4.

Завдання 6: Довести, що будь-яка вісь симетрії 45-кутника проходить через його вершину.

Завдання 7: Чи може коник за 25 стрибків повернутися в початкову позицію, якщо він стрибає:

a) по прямій в будь-яку сторону на непарну відстань.

b) по площині на відстань 1 в будь-якому з 4 основних напрямів (вгору, вниз, управо, вліво).

с) по площині ходом коня (тобто, по діагоналі прямокутника 1 х2).

d) по діагоналі прямокутника ахb (а і b фіксовані).

Розв’язання: Рішення: d) Ні. Якщо а і b обидва непарні, то кожна координата коника при стрибку міняє парність. Якщо ж одне з чисел а і b парно, а інше непарне, то сума координат при кожному стрибку міняє парність. Якщо ж а і b обидва парні, то можна зменшувати їх удвічі до тих пір, поки одне з них не стане непарним, а після цього скористатися одним з вже розібраних випадків.

Завдання 8: Коник стрибає по прямій: перший раз - на 1 см, другий раз - на 2 см і так далі. Чи може він через 25 стрибків повернутися на старе місце?

Завдання 9: Парне чи непарне число 1 + 2 + 3 +  .  + 1990?

Вказівка. Порахуйте кількість непарних чисел в цій сумі.

Завдання 10: Набір доміно виклали в ряд за правилами. На одному кінці ланцюжки - п'ятірка. Що на іншому?

Розв’язання:Теж п'ятірка. П'ятірки усередині ланцюжка розбиваються на пари. Всього їх вісім на усіх кісточках.

Завдання 11: З набору доміно викинули всі кістки з пустушками. Чи можна що залишилися викласти в ряд за правилами?

Завдання 12: У виразі 1*2*3* … *9 зірочки замінюють на  -  або  + .  a) Чи може вийти 0?  b) Чи може  вийти 1?   c) Які числа можуть вийти?

Розв’язання: с) Всі непарні числа від  - 45 до 45.

Завдання 13: У кожного марсіанина три руки. Чи можуть 7 марсіан узятися за руки?

Завдання 14: Добуток чисел 1 і  - 1 рівне 1. Довести, що їх сума не рівна нулю.

Завдання 15: Чи може 25-ланкова ламана перетинати кожну свою ланку по 3 рази?

Розв’язання: Не може. Спробуйте підрахувати кількість точок перетину.

Завдання 16: Чи можна сторони і діагоналі правильного 13-угольника розфарбувати в 12 кольорів так, щоб в будь-якій вершині сходилися всі кольори?

Завдання 17: На дошці 25х25 розставлені 25 фішок, причому їх розташування симетрично відносне обох головних діагоналей. Довести, що одна з фішок розташована в центрі.

Завдання 18: Дошка 9х9 розфарбована в 9 кольорів, причому розфарбовування симетричне щодо головної діагоналі. Довести, що на цій діагоналі всі клітки розфарбовані в різні кольори.

Розв’язання: Простіше доводити, що кожний колір зустрічається на діагоналі.

Завдання 19: На шахівниці 8х8 розташовані 8 тур, які не б'ютьодин одну. Довести, що число тур, що стоять на чорних клітках, парне.

Розв’язання: Колір клітки визначається сумою її координат. Сума ж координат всіх тур парна (вона не залежить від розстановки і рівна 2(1 + 2 +  ….+ 8)).

Завдання 20: Три коники грають в чехарду: кожну секунду один з них стрибає через якесь іншого (але не через два). Чи можуть вони через 25 секунд повернутися на свої місця?

Завдання 21: По колу розташовано 239 точок двох кольорів. Довести, що знайдуться дві точки одного кольору, розділені рівно двома точками.

Завдання 22: У вершинах куба написані числа 1 і  - 1. На кожній грані написаний добуток чисел в кутках цієї грані. Чи може сума всіх написаних чисел бути рівна нулю?

Розв’язання: Ні. Чисел всього 8+6=14, а їх добуток рівний 1.

Завдання 23: У таблиці 25х25 розставлені цілі числа так, що в кожному стовпці і в кожній строчці зустрічаються всі числа від 1 до 25. При цьому таблиця симетрична щодо головної діагоналі. Довести, що на головній діагоналі всі числа від 1 до 25 зустрічаються по одному разу.

Завдання 24: n лицарів з двох ворогуючих країн сидять за круглим столом. Число пар сусідів-друзів рівне числу пар сусідів-ворогів. Довести, що n ділиться на 4.

Розв’язання: Число пар сусідів-ворогів завжди парне.

Завдання 25: По кругу написано 4 одиниці і 5 нулів. За хід між двома однаковими цифрами пишеться одиниця, а між різними - нуль (старі цифри стираються). Чи можуть через декілька ходів всі числа стати однаковими?

Розв’язання: Ні. З чого могла вийти така позиція?

Завдання 26: У квадраті 25 х25 розташовані числа 1 і  - 1. Обчислили всі добутки цих чисел по рядках і по стовпцях. Довести, що сума цих добутків не рівна нулю.

Завдання 27: По кругу розставлені нулі і одиниці (і ті та інші присутні). Кожне число, у якого два сусіди однакові, замінюють на нуль, а решта чисел - на одиниці, і таку операцію проробляють кілька разів. a) чи можуть всі числа стати нулями, якщо їх 13 штук?  b) чи можуть всі числа стати одиницями, якщо їх 14 штук?

Завдання 28: У вершинах n-кутника стоять числа 1 і - 1. На кожній стороні написаний добуток чисел на її кінцях. Виявилось, що сума чисел на сторонах рівна нулю. Довести, що а) n парно b) n ділиться на 4.

Задачі для самостійного розв’язання

1:  На площині розташовано 11 шестерінок, сполучених по ланцюжку. Чи можуть всі шестерінки обертатися одночасно?

2:Кінь вийшов з поля a1 і через декілька ходів повернувся на поле а1. Доведіть, що він зробив парне число ходів.

3: Чи може кінь пройти з поля a1 на полі h8, побувавши по дорозі на кожному з решти полів рівно один раз?

4:  Чи може пряма, що не містить вершин замкнутої 11-ланкової ламаної, перетинати всі її ланки?

5:  На хокейному полі лежать три шайби А, В і С. Хоккєїст б'є по одній з них так, що вона пролітає між двома іншими. Так він робить 25 разів. Чи можуть після цього шайби опинитися на початкових місцях?

6 а):  Катя і її друзі встали по кругу. Виявилось, що обидва сусіди кожної дитини – однієї статті. Хлопчиків серед Катіних друзів п'ять. А скільки дівчаток?

6 б):  Чи можна розміняти 25 рублів за допомогою десяти купюр гідністю в 1, 3 і 5 рублів?

7:  Петя купив загальний зошит об'ємом 96 листів і пронумерував всі її сторінки по порядку числами від 1 до 192. Вася вирвав з цього зошита 25 листів і склав всі 50 чисел, які на них написані. Чи могло у нього вийти 1990?

8:  Добуток 22 цілих чисел рівний 1. Доведіть, що їх сума не рівна нулю.

9: Чи можна скласти магічний квадрат з перших 36 простих чисел?

10:  У ряд виписані числа від 1 до 2015. Чи можна розставити між ними знаки « + » і « - » так, щоб значення отриманого виразу було рівне нулю?

Зауваження: врахуйте, що від’ємні числа також бувають парними і непарними.

11: Коник стрибає по прямій, причому вперше він стрибнув на 1 см в якусь сторону, удруге - на 2 см і так далі. Доведіть, що після 1985 стрибків він не може опинитися там, де починав.

12: На дошці написані числа 1, 2, 3, …, 2017. Дозволяється стерти з дошки будь-які два числа і замість них записати модуль їх різниці. Врешті-решт на дошці залишиться одне число. Чи може воно дорівнювати нулю?

Розбиття на пари

Завдання 1: Чи можна намалювати а)5ланкову, б)6-ланкову, в)7ланкову, г)8-ланкову, д)9-ланкову замкнуту ламану, кожна ланка якої перетинається рівно з одним з решти ланок?

Вказівка. Ламану з непарною кількістю ланок так накреслити не можна. Самостійно накресліть випадки г) і Д).

Завдання 2: Чи можна дошку розміром 5х5 заповнити доміношками розміром 1х2?

Завдання 3: Даний осесимметрічний опуклий 101-кутник. Доведіть, що вісь симетрії проходить через одну з його вершин. Що можна сказати у разі 10-кутника?

Завдання 4: Всі кісточки доміно виклали в ланцюг. На одному кінці опинилося 5 очок. Скільки очок на іншому кінці?

Завдання 5: З набору доміно викинули всі кістки з «пустушками». Чи можна кістки, що залишилися, викласти в ряд?

Завдання 6:  Чи можна опуклий 13-кутник  розрізати на паралелограми?

Завдання 7:  На дошці 25х25 розставлені 25 шашок, причому їх розташування симетричне щодо діагоналі. Доведіть, що одна з шашок розташована на діагоналі.

Завдання 8: Допустимо тепер, що розташування шашок в завданні 13 симетрично відносно обох головних діагоналей. Доведіть, що одна з шашок коштує в центральній клітці.

Завдання 9: У кожній клітці квадратної таблиці розміром 25х25 записане одне з чисел 1, 2, 3,..., 25. При цьому, по-перше, в клітках, симетричних щодо головної діагоналі, записані рівні числа, і по-друге, ні в якому рядку і ні в якому стовпці немає двох рівних чисел. Доведіть, що числа на головній діагоналі попарно різні.

Парність  і непарність в прикладних задачах

Завдання 10: Чи можна розміняти 29 гривнів за допомогою десяти купюр номіналом в 1, 3 і 5 гривні?

Завдання 11: Петя купив загальний зошит об'ємом 96 листів і пронумерував всі її сторінки по порядку числами від 1 до 192. Вася вирвав з цього зошита 25 листів і склав усі 50 чисел, які на них написані. Чи могло у нього вийти 1990?

Завдання 12: Добуток 28 цілих чисел рівний 1. Доведіть, що їх сума не рівна нулю.

Завдання 13:  Чи можна скласти магічний квадрат з перших 25 натуральних  чисел так, щоб у кожоному рядку знаходилися числа однієї парності?

Завдання 14: У ряд виписані числа від 1 до 2016. Чи можна розставити між ними знаки « + » і « - » так, щоб значення отриманого виразу було рівне а)нулю, б)парному числу, в) непарному числу?

Зауваження: врахуйте, що від’ємні числа також бувають парними і непарними.

Завдання 15: Коник стрибає по прямій, причому вперше він стрибнув на 1 см в якусь сторону, удруге - на 2 см і так далі. Доведіть, що після 1985 стрибків він не може опинитися там, де починав.

Завдання 16:  На дошці написані числа 1, 2, 3, …, 2085. Дозволяється стерти з дошки будь-які два числа і замість них записати модуль їх різниці. Врешті-решт на дошці залишиться одне число. Чи може воно дорівнювати нулю?

Завдання 17:  Чи можна покрити шахівницю доміношками 1 х 2 так, щоб вільними залишилися тільки клітки a1 і h8?

Завдання 18:  До 17-значного числа додали число, записане тими ж цифрами, але в зворотному порядку. Доведіть, що хоч би одна цифра отриманої суми парна.

Завдання 19: У народній дружині 100 чоловік і кожного вечора троє з них йдуть на чергування. Чи може через деякий час опинитися так, що кожен з кожним чергував рівно один раз?

Завдання 20:  На прямій відмічено 45 точок, лежачих поза відрізком AB. Доведіть, що сума відстаней від цих точок до точки A не рівна сумі відстаней від цих точок до точки B.

Завдання 21: По кругу розставлено 9 чисел – 4 одиниці і 5 нулів. Кожну секунду над числами проробляють наступну операцію: між сусідніми числами ставлять нуль, якщо вони різні, і одиницю, якщо вони рівні; після цього старі числа стирають. Чи можуть через деякий час всі числа стати однаковими?

Завдання 22: 25 хлопчиків і 25 дівчаток сидять за круглим столом. Доведіть, що у когось з тих, що сидять за столом обидва сусіди - хлопчики.

Завдання 23: Равлик повзе по площині з постійною швидкістю, кожні 45 хвилин повертаючи під прямим кутом. Доведіть, що повернутися в початкову точку вона зможе лише через ціле число годинника.

Завдання 24:  Три коники грають на прямій в чехарду. Кожного разу один з них стрибає через інше (але не через два відразу!). Чи можуть вони після 1991 стрибка опинитися на колишніх місцях?

Завдання 25: Є 101 монета, з яких 50 фальшивих, таких, що відрізняються за вагою на 1 грам відсправжньої. Петя узяв одну будь-яку монету і за одне зважування на вагах із стрілкою, що показує різницю вагів на чашках, хоче визначити чи фальшива вона. Чи зможе він це зробити?

Завдання 26: Чи можна виписати в ряд по одному разу цифри від 1 до 9 так, щоб між одиницею і двійкою, двійкою і трійкою ,…, вісімкою і дев'яткою було непарне число цифр?

Завдання 27: Знайдіть останню та передостанню цифри для чисел: а)3⁹⁹⁹; б)2⁸⁸⁸; в)7⁶⁶⁶.

КРУГОВІ ЧИСЛА

Цікавими є кругові числа. Ці числа мають дивовижні властивості, але їх го­ловна особливість полягає в так званій круговій послідовності. Наприклад, число 142 857, помножене на 2, 3, 4, 5, 6 (тільки не на 7), дає добуток, який складається з цих самих цифр, але розміщених в іншому порядку, зберігаючи циклічність черги запису:

142 857∙2 = 285 714,

142 857∙3 = 428 571,

142 857∙4 = 571428.

142 857∙5 = 714285

142 857∙6 = 857142

„Розгадкою", що може привести до розкриття таємниці кругових чисел, є добуток

142 857∙7 = 999 999.

Число 142 857 є періодом числа  1:7 записаного у вигляді десяткового. Усі властивості числа 142 857 можна знайти у кожному числі, яке є періодом дробу типу 1/р, якщо цей період має (р -1) цифру, а р– просте число.

Наприклад, 1/17 =0,(0588235294117647).

Якщо період цього дробу позначити через а, то:

1∙а = 0588235294117647,

2∙а = 1176470588235294,

3∙а = 1764705882352941,

…………………………..,

16∙а = 9411764705882352,

………………………………

17∙а = 9999999999999999.

Такі самі властивості має період дробу 1/29 та 1/1913.

Повернемося до числа 142 857. Дві „половинки" числа 142 857 дають в сумі 999:   142 + 857 = 999. Таке саме відбувається з усіма круговими числами.

ДОСКОНАЛІ,   НЕДОСТАТНІ   І   НАДМІРНІ  ЧИСЛА.

Піфагорійці в усьому шукали досконалість.

Означення. Доскональними числами називаються такі числа, в яких сума дільників (без даного числа) дорівнює самому числу.

Наприклад,  6 = 1 + 2 + 3;      28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14.

Ще Евклід у III ст. до н.е. займався проблемою доско­налих чисел. З того часу справа не набагато зрушилась вперед, хоча досконалим числам велику увагу приділяли великі математики, серед них Декарт та Ейлер.

Досконалими деякі грецькі математики називали числа, що дорівнюють добутку своїх дільників (самі числа, як дільники до уваги не беруться).

Наприклад,    8= 1∙2∙4;    10 = 1∙2∙5;    14 = 1∙2∙7.

Грецькі математики, зокрема Евклід (VII кн., стор. 22) називали число досконалим, якщо сума всіх його дільників (виключаючи саме число) рівно цьому числу. Їм були відомі чотири такі числа: 6, 28, 496, 8128. Легко перевірити, що ці числа відповідають визначенню довершеного числа:

6=1+2+3;                 28=1+2+4+7+14.

Користуючись вказаною в попередньому розділі формулою для знаходження суми дільників числа, можна перевірити, що числа 496 і 8128 суть довершені числа.

Для числа 496 маємо: 496 = 24∙31; сума всіх його дільників рівна

[(2⁵ –1)/(2-1) ] ∙ [(31⁵ –1)/(31-1)] = 31∙ 32 = 992;

сума   дільників   числа

496 без самого числа 992 – 496 = 496.

Числа, сума дільників яких більше або менше самого числа, називалися грецькими авторами відповідно надмірними і недостатніми. Так, наприклад, число 12 – надмірне, а число 8 – недостатнє: сума дільників числа 12 більше самого числа:

1+2 + 3 + 4 + 6=16

сума дільників восьми менше його: 1+2 + 4 = 7

Грецький математик 1 в. н.е. Никомах Геразській пише: «Довершені числа красиві. Але відомо, що красиві речі рідкісні і нечисленні, потворні ж зустрічаються удосталь. Надмірними і недостатніми є переважна більшість чисел, тоді як довершені числа небагато. Серед одиниць (однозначних чисел) їх тільки одне — 6, серед десятків (двозначних), сотень (тризначних) і тисяч (чотиризначних) їх теж поодинці: 28, 496, 8128. Характерний для них, що вони поперемінно закінчуються на 6 і 8».

Довершені числа зустрічаються в грецьких переказах. У казковій державі золотого століття, в Атлантиді, описаному Платоном в різних місцях його діалогів, особливо в діалозі «Тімей», в різних встановленнях фігурує переважно число 6. В наші дні в Римі, при споруді метро, під землею була виявлена дивна комбінація приміщень: загальний зал і навколо нього 28 келій, що виходять в цей зал. Виявилось, що це приміщення неопифагорейской академії, яка існувала в Римі в перші століття нашої ери. Очевидно, що в академії цій було 28 членів. У деяких суспільствах (академіях) до нашого часу по колись встановленому положенню, обгрунтування якого нині вже ніхто не знає, є 28 дійсних членів, подібно до того, як у французькій «Академії безсмертних» їх сорок. Мабуть, при встановленні такого числа членів підставою є той факт, що число 28 – довершене число.

У римлян на бенкетах найпочеснішим місцем було шосте (6 – довершене число), на якому по сатирі Горація лежав Меценат, добродійник Горація (див. «Римська сатира», М., 1957, стор. 299).

Евклід в IX книзі «Початків» (пропозиція 36) доводить теорему: якщо сума

1 + 2 + 2² + 2³ + ... + 2ⁿ,

рівна 2ⁿ⁺¹ – 1,

є число просте, те число

N = (1 + 2 + 2² + 2³ + ... + 2ⁿ)• 2ⁿ

рівне 2ⁿ •(2ⁿ⁺¹ – 1), є число здійснене. Ця пропозиція вважається вінцем, останнім досягненням арифметичних книг Евкліда.

Ейлер доводить зворотну теорему: всяке парне довершене число має вигляд:

2ⁿ •(2ⁿ⁺¹ – 1), де 2ⁿ⁺¹ – 1

є число просте.

Питання про те, чи існують взагалі непарні довершені числа, залишається до цих пір невирішеним, хоча Декарт запевняв, що вирішить питання про їх існування, якщо він матиме 3 місяці «творчої відпустки». Проте пройшло з тих пір більше трьохсот років, дуже багато математиків займалися питанням про непарні довершені числа, але до ніяких доводів ні за, ні проти існування таких чисел не прийшли. На користь думки про те,   що   таких   чисел   немає, можна привести   лише   довід, що якби вони існували, напевно, були б вже виявлені, проте   цей   довід є      переконливим. Дуже багато математиків   (з радянських   А.   З.   Турчанінов, З. Градштейн)    встановлювали властивості таких чисел за умови їх існування.

Легко доводиться, що всі парні довершені числа закінчуються    або цифрою 6, або цифрою 8, але затвердження Нікомаха про те, що вони

поперемінно закінчуються цифра і 6 і 8, виявилося невірним, як видно з приведеної нижче таблиці відомих в даний час довершених чисел. Неправильне   затвердження Нsкомаха, повторене надалі дуже багатьма авторами, є одним з помилкових численних прикладів висновків аналогічно і по неповній індукції, тобто тільки на підставі таблиць всіх відомих в даний момент випадків, що є перед очима. Такі висновки дуже багато раз приводили до помилок. Займалися довершеними числами дуже багато математиків, зокрема Ферма, Декарт, Мерсень, Ейлер. Сильвестер, Чезаро, Каталан. В даний час відомо 18 довершених чисел:

1)        6 = 2 • (2²– 1) = 2•3;                   2)       28 = 2²• (2⁴– 1) = 4•7;

3)        496 = 2⁴•(2⁵ – 1)= 16•31;           4)      8128 = 2⁶•(2⁷– 1)== 64•127.

Ці чотири довершені числа було відомо стародавнім.

5)        33 550 336 = 2¹² • (2¹³ – 1)= 2¹² • 8191;

6)        8 589 869 055 = 2¹⁶ •(2¹⁷ – 1)= 2¹⁶ • 131 071.

П'яте і шосте   відоме, як довершені   числа. Регіомонтану в XV в., доказ вивів Ейлер.

7)        137 438 691 328 = 2¹⁸•(2¹⁹ – 1)= 2¹⁹•524 237.

Шосте і сьоме числа вказав Катальді  в XVI в., привів доказ Ейлер.

8)        2 305 843 003 139 952 128 = 2³⁰•(2³¹–1)= 2³⁰•2 147 483 647. Вивів і довів Ейлер.