Стала Капрекара

Стала Капрекара

Стала була відкрита у 1949 році індійським математиком Д.Р. Капрекаром, на честь якого і отримала свою назву.

Оберемо довільне чотирицифрове число n, що більше за 1000 та в якому не усі цифри однакові. Розташуємо цифри числа n спочатку у порядку зростання, потім у порядку спадання. Віднімемо від більшого отриманого числа менше. Стверджується, що повторюючи цей процес з отриманими різницями, не більше ніж за сім кроків ми отримаємо число, яке буде відновлювати саме себе. Таке число назвали сталою Капрекара.

Для числа 5545:  5554-4555=0999   9990-0999=8991   9981-1899=8082   8820-0288=8532    8532-2358=6174 7641-1467=6174   Отже, число 6174 є сталою Капрекара.  

Чому накладаються умова неоднаковості всіх цифр? Очевидно, при цьому різниця буде дорівнювати нулю, випадок тривіальний, а тому нецікавий.  Чому відсікаємо число 1000? В цьому випадку кроки матимуть вигляд:   1000-0001=999  999-999=0  Що також нецікаво.             

Серед трицифрових чисел аналогічну властивість має число 495. Процедура проводиться для будь-якого трицифрового числа без цифр, що повторюються. Для чисел з більшою, ніж 4, кількістю знаків, перетворення Капрекара у більшості випадків рано чи пізно приводить до циклічного повторення чисел, але не до нерухомої точки. Для 5-цифрових чисел нерухомої точки взагалі не існує. Є два шестицифрових числа, що є сталими Капрекара  (549 945   та 631 764), семицифрових чисел з такою властивістю немає.

Безпосередньою перевіркою можна довести, що будь-яке число вигляду 633...331766...664  (де кількість цифр у послідовності шісток та трійок однакова), але не будь-яка стала може бути подана у такому вигляді.

Сформулюємо задачу.

Дано довільне чотирицифрове число n, більше за 1000 та в якому не усі цифри однакові. За скільки кроків воно може перетворитися у сталу Капрекара та чому буде дорівнювати ця стала.

Контрольний приклад:

5545     →    6   і   6174.