КРИВІ ДРУГОГО ПОРЯДКУ

КРИВІ ДРУГОГО ПОРЯДКУ

Нехай дана прямокутна система координат хОу з початком координат в точці О(0; 0). Точка М(х;у) – має координати, тобто х – це абсциса точки М, у – ордината точки М у прямокутній системі координат хОу. 

Означення. Поверхнею другого порядку в прямокутній системи координат хОу  називається геометричне місце точок М(х;у), які задовольняють рівнянню  

ax² + bxy + cy² +dx + ey + f = 0               (1)

де а²+ c² + b²≠ 0,  а, b, c, d,  e, f  – відомі дійсні числа,  х – це абсциса точки М, у – ордината точки М у прямокутній системі координат хОу. 

Основними лініями другого порядку є коло, еліпс, гіпербола і парабола.

Більшість типів ліній другого порядку відомі давно, їх досить добре вивчив Аполлоній. Він утворював основні типи ліній другого порядку, як плоскі перерізи кругового конуса, тому в математичній літературі лінії другого порядку відомі ще як конічні перерізи.

Лінії другого порядку зустрічаються в явищах навколишнього світу: по еліпсу рухаються планети Сонячної системи, по гіперболі або параболі – комети. Траєкторія руху тіла, кинутого під кутом до горизонту, є параболою; космічні кораблі, ракети, залежно від наданої їм швидкості, рухаються по колу, еліпсу, параболі чи гіперболі.

Можливо, статися так, що у прямокутній системі координат хОу для деякого рівняння (1) немає жодної  точки, що його задовольняє. Все-таки і про таке рівняння говорять, що воно є рівнянням поверхні другого порядку. Іноді таку поверхню називають уявною (або нульовою).  Наприклад, говорять, що рівняння

x²  + y² + 1= 0

є рівнянням уявного кола. Розуміється, що за такими словами не має певного геометричного змісту, поки ми розглядаємо дійсну прямокутну систему координат хОу. Проте аби не порушувати прийняту математичну термінологію  по формально-алгебраїчним узгодженням. Справа в тому, що предметом теорії поверхонь другого порядку по суті являються не стільки поверхні, скільки самі рівняння другого степеня з двома невідомими. В теорії цих рівнянь не варто виключати будь-які випадки із розгляду, по-перше, тому, що завчасно невідомо, чи визначає це рівняння яку-небудь не порожню множину точок чи не визначає. По-друге, навіть у випадках, коли воно визначає порожню множину, його ліва частина може мати деякий механічний або фізичний зміст.

В декартових координатах конічні перетини описуються загальним квадратним многочленом:

ax² + bxy + cy² + dx + ey + f = 0

Знак дискримінанта

d = b² – 4ac,

визначає вид конічного перетину.

Якщо d<0, то це еліпс, точка або порожня множина.

Якщо d=0, то це парабола, пряма або пари паралельних прямих.

Якщо d>0, то це гіпербола або пари прямих, що перетинаються.

Історія розвитку теорії конічних перерізів

Конічні перетини були відомі ще математикам Давньої Греції. Менехм займався в Академії Платона дослідженням конічних перетинів на прикладі макету конуса. Він з'ясував, що задачу про подвоєння куба можна звести до визначення точок перетину двох конічних перетинів. Евклідом було написано чотири книжки про конічні перетини, які, однак до наших часів не зберіглись. Найповнішим твором, присвяченим цим кривим, були «Конічні перетини» Аполлонія із Перги (приблизно 200 до н. е.). Представлення конічних перетинів у вигляді рівнянь належить Ферма та Декарту.

Застосування теорії конічних перерізів

Конічні перетини мають застосування в астрономії: орбіти двох масивних тіл, між якими існує гравітаційна взаємодія, є конічними перетинами, якщо їхній спільний центр мас нерухомий. Якщо вони між собою зв'язані, то рухатимуться по еліптичних орбітах; якщо рухаються окремо, то траєкторії матимуть вигляд парабол або гіпербол (дивись закони Кеплера).

Для того, щоб уявляти повну картину відносно рівняння (1) поставимо собі запитання.

Яку геометричну фігуру задає дане рівняння в декартовій площині хОу?

Відповідь на це запитання неоднозначна. Адже рівняння є нелінійним і має два невідомих, тобто рівняння (1) є складним для знаходження цілих розв’язків (х, у). І ось чому.

Якщо а = с, b = 0,  d,  e, f - відомі ненульові цілі числа, то рівняння (1) визначає коло в декартовій площині хОу.  За цієї умови рівняння (*) можна тотожними перетвореннями звести до стандартного рівняння кола:

(x- n)² + (y - m)² =  R².

Якщо а ≠ 0, b²+c² = 0, d,  e, f - відомі ненульові цілі числа, то рівняння (1) визначає квадратичну параболу в декартовій площині хОу. За цієї умови рівняння (1) можна тотожними перетвореннями звести до стандартної квадратичної функції:

 y = qx² + px + g.

Якщо b ≠ 0, а²+ c² + d²+ e²+f ² = 0 - відомі ненульові цілі числа, то рівняння (1) визначає параболу в декартовій площині хОу. За цієї умови рівняння (1) зводиться до двох рівнянь прямих:

 х = 0, у = 0.

Якщо b ≠ 0, f ≠ 0,  а² + c² + d²+ e² = 0 - відомі ненульові цілі числа, то рівняння (1) визначає гіперболу в декартовій площині хОу. За цієї умови рівняння (*) зводиться до оберненої пропорційності:

 у = k/х.

Якщо а =1, с = 1, b = -1,  d = 2,  e = -4, f  = 0, то рівняння (1) визначає еліпс в декартовій площині хОу.  За цієї умови рівняння (1) можна тотожними перетвореннями звести до стандартного рівняння еліпса:

k(x- n)² + l(y - m)² =  R.

Якщо a = c,  f ² + b ² + d²+ e² = 0, то рівняння (1) визначає одну точку (0; 0) в декартовій площині хОу. За цієї умови рівняння (1) зводиться до рівняння:

 х² + y² = 0.        

Якщо a =  c,  f  >0,  b ² + d²+ e² = 0, то рівняння (1) не визначає точок  в дійсній декартовій площині хОу. За цієї умови рівняння (1) зводиться до рівняння:

 х² + y² = - f.        

Нас цікавлять цілі розв’язки діофантового рівняння (1). Отже, із вище зазначених прикладів маємо зробити висновок: цілих розв’язків у даного рівняння може: не існувати, бути обмеженою кількістю і бути безмежною множиною.  Якщо у рівняння (1) існують розв’язки, то серед них можуть виявитися(або не виявитися) цілі розв’язки – це точки, що лежать на фігурі, яку задає рівняння, і мають цілі значення абсциси та ординати.

На еліпсі, гіперболі та колі в   дійсній декартовій площині хОу можуть існувати точки з обома цілими координатами, або не існувати.

На еліпсі, гіперболі та колі в   дійсній декартовій площині хОу при умові існування точок з обома цілими координатами їх обмежена кількість. Їх шукають методом перебору цілих значень на деякому обмеженому проміжку із областей значень та визначень даного рівняння.

На квадратичній параболі, на прямій  в   дійсній декартовій площині хОу область визначення та область значень необмежена, тому існують випадки, коли можуть існувати точки з обома цілими координатами, та випадки, коли не існує таких точок. 

На прямій  в   дійсній декартовій площині хОу при умові існування хоча б однієї точки з обома цілими координатами, тоді  таких цілочисельних точок на даній прямій необмежена кількість. І відповідні координати (і абсциси і ординати) цілих точок на прямій мають закономірності двох арифметичних прогресій. Тому розв’язок діофантового рівняння (1) може бути записаний лінійними формулами, які задають цілі числа арифметичної прогресії через один цілий параметр k. Відстань між сусідніми точками з обома цілими координатами на прямій завжди однакова і ця відстань залежить від значення різниці арифметичної прогресії. Отже, щільність таких точок постійна величина.

До речі, у цьому випадку ліва частина рівняння (1) має розкладатися на два лінійних множники вигляду kx + my + n.

Варто мати на увазі, що одна і та ж арифметична прогресія може бути записана різними лінійними формулами вигляду

х_m = am  + b_n,

де  b_n – довільний член даної арифметичної прогресії, а – різниця цієї арифметичної прогресії.

На квадратичній параболі   в   дійсній декартовій площині хОу при умові існування точок з обома цілими координатами їх необмежена кількість. І відповідні координати цілих точок на параболі  мають закономірності послідовності типу квадратичної. Відстань між сусідніми точками з обома цілими координатами постійно змінюється і вона залежить від значення номера члена послідовності. Отже, щільність таких точок непостійна.

Далі покажемо штучні прийоми, які дозволяють загальне рівняння (1) зводити до спеціальних видів, коли рівняння є неповним та канонічним. Якщо ліву частину рівняння (1) розглядати, як функцію від двох змінних, то можна виконувати на нею  повороти та паралельне перенесення, не деформуючи саму поверхню другого порядку, однак при цьому змінюється деякі коефіцієнти формули.

Згідно відомих фактів із теорії руху фігур на площині, при паралельному  переносі початок координат змінюється  за формулами:

х = х_{початок} + х_нові,

у = у_{початок} + у_нові,

де  (х; у) – старі координати довільної точки,

(х_поч; у_поч) – координати нового початку в старій системі координат, (х_нов; у_нов) – нові координати довільної точки.

Покажемо як технічно знаходити значення (х_поч; у_поч) координати нового початку в старій системі координат  так,  щоб спростити вигляд лівої частини (1).

Розглянемо  квадратичну функцію від двох змінних:

Q(х; у) = ax² + bxy + cy² + dx + ey + f                 (2)

Виконаємо паралельне перенесення системи координат по формулам (3) для того, щоб у позбутися лінійних доданків dx та ey у записі Q(х; у):

х = m + х_н,  

                       у = n + у_н,                   (3)

де  (х; у) – старі координати довільної точки,

(m; n) – координати нового початку в старій системі координат,

(х_н; у_н) – нові координати довільної точки.

У функції (2) виконаємо заміну (3), тобто точку (х; у) замінимо відповідно на точку (m + х_н; n + у_н):                      .

                                                             

Q(х; у) = Q(m + х_н; n + у_н) =

=а(m + х_н)² + b(m + х_н)(n + у_н) + c(n + у_н)² + d(m + х_н) + e(n + у_н) + f =  aх_н ² + 2amх_н + am²  +

+ bх_ну_н + bnх_н + bmу_н + bmn +

+ cy_н ² + 2cny_н + cn² +

+ dm + dх_н + en + eу_н + f =

= aх_н ² + bх_ну_н + cy_н ² +

+ 2(am + 0,5bn + 0,5d)х_н +

+ 2(cn + 0,5bm + 0,5e)y_н +

+ am²  + bmn + cn² + dm + en + f.                   (4)

Для того, щоб зникли  лінійні доданки  2(am + 0,5bn + 0,5d)х_н та

2(am + 0,5bm + 0,5e)y_н, треба прирівняти до нуля коефіцієнти:

am + 0,5bn + 0,5d = 0,

cn + 0,5bm + 0,5e = 0.                        (5)

Два рівняння (5) являють собою неоднорідну систему лінійних рівнянь з двома невідомими m та n.

am + 0,5bn = - 0,5d,

0,5bm  + cn = - 0,5e.                         (6)                   

Якщо (ac-0,25b²)^-1 ≠ 0, тоді існує єдиний розв’язок системи рівнянь (6), який  має вигляд:

m = (0,25be -0,5dc)(ac-0,25b²)^-1,

n = (0,25bd -0,5ae)(ac-0,25b²)^-1.

Якщо (ac-0,25b²)^-1 = 0, тоді можливі два випадки:

а)існує безліч розв’язків системи рівнянь (6),

б) не існує розв’язків системи рівнянь (6).