Унікальна задача на обчислення

математичні ігри та сайти для англомовних школярів

http://www.topmarks.co.uk/maths-games/11-14-years/number

1. «Рівність цілих частин»

Знайдіть всі натуральні n, для яких виконується рівність:

.

2. 
   «Рівняння з параметром»

Знайдіть всі дійсні значення параметра а, при яких рівняння  має єдиний розв’язок.

3. 
   «Відновимо трикутник»

Побудуйте за допомогою циркуля та лінійки трикутник,якщо відома пряма лінія, на якій лежить одна зі сторін трикутника, і дві точки, що є центрами вписаного та зовні вписаного в трикутник кіл.

4. 
   «Цікава сума» 

Знайдіть суму: .

5. 
   «Розмальована дошка»

Клітчаста дошка 2013х2013 розфарбована шаховим чином у білий і чорний колір. За один крок дозволяється вибрати довільний квадрат розміром 2х2 і замінити в ньому колір кожної клітини на протилежний. Чи можна за декілька таких кроків добитися того, щоб усі клітини таблиці виявилися зафарбованими в один колір? 

6. 
   «Рівнобедрений трикутник»

В рівнобедреному трикутнику АВС з основою АС кут при вершині дорівнює . На сторонах ВС та АВ взяті відповідно точки М та К так, що і. Знайдіть величину кута АМК.

7. 
   «Максимум»

Розглянемо всі гострокутні трикутники з заданою стороною а і кутом . Чому дорівнює максимум суми квадратів довжин сторін b та c? 

8. 
   « Нерівність» 

Нехай а, b, с – додатні дійсні числа. Доведіть, що

.

Задания для районного этапа турнира юних математиков

1. 
   «Равенство целых частей»

Найдите все натуральные n, для которых выполняется равенство:

.

2. 
   «Уравнение с параметром»

Найдите все действительные значения параметра а, при которых уравнение  имеет единственное решение.

3. 
   «Восстановим треугольник»

Постройте с помощью циркуля и линейки треугольник, если известны прямая линия, на которой лежит одна из сторон треугольника, и две точки, являющиеся центрами вписанной и вневписанной в треугольник окружностей.

4. 
   «Суммирование» 

Найдите сумму: .

Зразки параметричних рівнянь та нерівностей

http://alg11klas.blogspot.com/2015/01/blog-post_25.html

Зразки олімпіадних задач на парність

http://ru.calameo.com/read/005031991810b82827763





Задачі на парність.

1. Як ви гадаєте, якими — парними чи не парними — будуть сума та добуток а) двох парних чисел; б) двох непарних чисел; в) парного та непарного чисел?
2. Чи можна дошку завбільшки 5 × 5 покрити кісточками доміно розміру 1 × 2?
3. Вчителька написала на дошці число 2011, після чого кожен із 20 учнів класу виходив до дошки по разу й або додавав, або віднімав від написаного числа одиницю (після чого витирав старе число й записував нове). Чи могло на дошці в підсумку опинитися число 2012?
4. Контрольну з математики писали 40 ліцеїстів. Чи могло статися так, що відмінні оцінки (10, 11 або 12 балів) за контрольну одержали на 7 ліцеїстів менше, ніж усі інші оцінки?
5. На дошці 25 × 25 розставлено 25 шашок, причому їхнє розташування симетричне відносно діагоналі. Доведіть, що одна з шашок розташована на діагоналі.
6. На дереві ростуть 10 бананів і 15 груш. Якщо зірвати з дерева банан, на ньому миттєво виростають три нові груші, а якщо зірвати грушу, виростають п’ять нових бананів. Чи можна зірвати з дерева фрукти так, щоб кількість бананів та груш, які ростуть на дереві, стала однаковою?

Додаткові задачі

1. На площині розташовані 11 коліс із зубцями так, що перше колесо зчеплене з другим, друге — з третім і т. д., а останнє колесо зчеплене з першим. Чи можуть крутитися колеса в такому механізмі?
2. Знайдіть два таких простих числа, що і їхня сума, і їхня різниця — теж прості числа.
3. Уздовж кола записано 7 натуральних чисел. Доведіть, що серед них знайдуться два сусідніх числа, сума яких є парною.

Зразки олімпіадних  задач  на  парність

1. На чудо-дереві ростуть банани і ананаси. За один раз дозволяється зірвати з неї два плоди. Якщо зірвати два банани або два ананаси, то виросте ще один ананас, а якщо зірвати один банан і один ананас, то виросте один банан. У результаті залишився один  плід. Який це плід, якщо відомо, скільки бананів і ананасів росло спочатку?

Розв’язання. Парність числа бананів не міняється, тому, якщо число бананів було парним, то плід, що залишився, –  ананас, якщо число бананів було непарним, то – банан.

2. У одній клітці квадратної таблиці 4x4  стоїть знак мінус, а в інших стоять плюси. Дозволяється одночасно міняти знак у всіх клітках, розташованих в одному рядку або в одному стовпці. Доведіть, що, скільки б ми не проводили таких змін знаку, нам не вдасться отримати таблицю з одних плюсів.

Розв’язання. Замінимо знак «+» на число 1 і знак «—» на число  – 1. Відмітимо, що добуток всіх чисел в таблиці не міняється при зміні знаку у всіх чисел стовпця або рядка. У початковому положенні цей добуток рівний - 1, а в таблиці з одних плюсів добуток рівний  +1, чим і доведена неможливість переходу.

3. Одним ударом Шварцнегер може розбити будь-який шматок бетону на 3 частини. Скільки ударів йому знадобитися, щоб розбити бетонну плиту  а) на 5 частин;  б) на 111 частин?

Розв’язання. Після кожного розбивання одного шматочка на 3 частини загальна кількість шматків збільшується на 2. Тому,  якщо виконано n розбивань, то кількість шматків має бути рівною 1+ 2n. Таким чином, 1+2n = 5, звідси n = 2, тобто два удари треба, щоб мати 5 кусків, а якщо 1+2n =111, звідси n =55, тобто 55 ударів треба, щоб мати 111 кусків.

4. Петро купив загальний зошит на 96 аркушів і пронумеру­вав всі його сторінки по порядку числами від 1 до 192. Василь вирвав з цього зошита 25 аркушів і додав всі 50 чисел, що на них були написані. Чи міг він дістати 1990?

 Відповідь: ні, не могло.  Вказівка. На кожному аркуші сума номерів сторінок непарна, а сума 25 непарних чисел непарна.

5. Добуток 22 цілих чисел дорівнює 1. Доведіть, що їх сума не дорівнює нулю.

Вказівка. Серед цих чисел – парне число "мінус одиниць", а для того, щоб сума дорівнювала нулю, їх має бути рівно 11.

6. Розмістити в квадратній таблиці 3х3,  натуральні числа від 1 до 9 так, щоб виконувалась така умови: сума  по усіх рядках, по усіх колонках, по двох діагоналях була однакова.

2	7	6		2	9	4		4	3	8		4	9	2
9	5	1		7	5	3		9	5	1		3	5	7
4	3	8		6	1	8		2	7	6		8	1	6
6	1	8		6	7	2		8	1	6		8	3	4
7	5	3		1	5	9		3	5	7		1	5	9
2	9	4		8	3	4		4	9	2		6	7	2

Вказівка.  Зрозуміло, що якщо додати усі дані то отримаємо  45. Це число вказує потроєну суму кожного рядка або кожного стовпця. Тому 45 розділимо на 3, отримаємо число 15, яке називають для числового квадрату 3х3 магічна константа. Отже,  сума по горизонталям, по вертикалям, по обом діагоналям у числовому квадраті 3х3 рівна 15.  Звертаємо увагу, що 9+1 = 8+2 = 7+3 = 4 + 6 = 10, отже числа розділилися на пари, і без пари залишилося тільки число 5.  Таким чином, середнє серед цих чисел  повинно стояти в центральній клітинці. Тоді в сусідній з нею клітинках повинні стояти або пара непарних чисел, або пара парних чисел. В кутових клітинках повинні  стояти парні числа. Знайшовши один  такий набір можна отримати ще вісім  таких квадратів за допомогою повороту навколо центральної клітинки.

7. В ряд записано числа від 1 до 10. Чи можна розставити між ними знаки "+" та "–" так, щоб значення отриманого виразу дорівнювало нулю?

Відповідь: ні, не можна. І справді, сума чисел від 1 до 10 дорівнює 55, і змінюючи в неї знаки, ми змінюємо весь вираз на парне число.  Зауваження. Врахуйте, що від'ємні числа також бувають парними та непарними.

8. Чи можна скласти магічний квадрат з перших 36 простих чисел?

Відповідь: ні, не можна. Серед цих чисел одне (це 2) – парне, а інші непарні. Тому в тому рядку, де стоїть двійка, сума чисел непарна, а в інших – парна.

9. В ряд записано числа від 1 до 10. Чи можна розставити між ними знаки "+" та "–" так, щоб значення отриманого виразу дорівнювало нулю?

Відповідь: ні, не можна. І справді, сума чисел від 1 до 10 дорівнює 55, і змінюючи в неї знаки, ми змінюємо весь вираз на парне число. Зауваження. Врахуйте, що від'ємні числа також бувають парними та непарними.

10. Коник-стрибунець стрибає вздовж прямої, причому пер­шого разу він стрибнув на 1 см в якийсь бік, другого – на 2 см і так далі. Доведіть, що після 1985 стрибків він не може зупинитися там, де починав.

Вказівка. Доводиться так само, як і в задачі 20, бо сума 1 + 2 + … + 1985 непарна.

11. На дошці виписано числа 1,2,3,..., 1984, 1985. Дозволя­ється стерти з дошки будь-які два числа і замість них записати модуль їх різниці. Врешті-решт на дошці залишається одне число. Чи може воно дорівнювати нулю?

Відповідь: ні, не може. Перевірте, що при зазначених операціях парність суми всіх написаних на дошці чисел не змінюється.

12. Чи можна покрити шахматну дошку доміношками розмі­ром 1x2 так, щоб вільними залишились тільки клітинки а1 і, h8?

Відповідь: не можна. Кожна доміношка покриває одне чорне і одне біле поле, а при викиданні полів а1 і h8 чорних полів залишається на 2 менше, ніж білих.

13. До 17-цифрового числа додали число, яке записано тими ж цифрами, але в зворотному порядку. Доведіть, що хоча б одна цифра суми, що отримана, є парною.

Вказівка. Розгляньте два випадки: сума першої і останньої цифр числа менш 10, і сума першої і останньої цифр числа не менш 10. Якщо припустити, що всі цифри суми непарні, то в першому випадку не може бути жодного переносу в розрядах (що, очевидно, приводить до суперечності), а в другому випадку наявність переносу при русі справа наліво або зліва направо чергується з відсутністю переносу, внаслідок чого ми одержимо, що цифра суми в дев'ятому розряді обов'язково парна.

14. В народній дружині є 100 чоловік, і кожного вечора троє з них йдуть чергувати.   Чи може після деякого часу виявитися, що кожен чергував з кожним рівно один раз?

Відповідь: ні, не може. Бо в кожному чергуванні, в якому бере участь дана людина, вона чергує з двома іншими, отже, всіх інших можна розбити на пари. Проте 99 – непарне число.

15.  На прямій відмічено 45 точок, що лежать зовні відрізка АВ. Доведіть, що сума відстаней від цих точок до точки А не дорівнює сумі відстаней від цих точок до точки В.

Вказівка. Для будь-якої точки X, що лежить поза АВ, маємо АХ-ВХ= ±АВ. Якщо припустити, що суми відстаней рівні, то ми отримаємо, що вираз ±АВ ± АВ ± … ± АВ, в якому 45 доданків, дорівнює нулю. Але це неможливо..

16. По колу розставлено 9 чисел – 4 одиниці і 5 нулів. Кожну секунду над числами роблять таку операцію: між сусідніми числами ставлять нуль, якщо вони різні, та одиницю, якщо вони рівні. Чи можуть усі числа через деякий час стати рівними?

Вказівка. Зрозуміло, що комбінація з дев'яти одиниць раніше, ніж з дев'яти нулів, утворитися не може.   Якщо ж утворилося дев'ять нулів,   то в попередньому ході нулі і одиниці повинні були чергуватися,  не можливо, бо їх всього непарна кількість.

17. 25 хлопчиків і 25 дівчаток сидять за круглим столом. До­ведіть, що у когось із них обидва сусіди – хлопці.

Доведення. Проведемо наше доведення від супротивного. Пронумеруємо всіх, що сидять за столом, по порядку, починаючи з якогось місця Якщо на к-му місці сидить хлопчик, то ясно, що на (к - 2)-му і на (к+ 2) му місцях сидять дівчатка. Але оскільки хлопчиків і дівчаток порівно, то і для будь-якої дівчинки, що сидить на n-му місці, вірно, що на (n— 2)-му і на (n + 2)-му місцях сидять хлопчики. Якщо ми тепер розглянемо тільки тих 25 чоловік, що сидять на "парних" місцях, то одержимо, що серед них хлопчики і дівчатка чергуються, якщо обходити стіл в якомусь напрямі. Але 25 – непарне число.

18. Равлик повзе по площині із сталою швидкістю і кожні 10 хвилин повертає під прямим кутом. Доведіть, що повернутись до початкової точки він зможе лише після цілого числа годин.

Доведення. Зрозуміло, що кількість а дільниць, на яких равлик повз угору або вниз, рівна кількості дільниць, на яких він повз вправо або вліво. Залишилось тільки зауважити, що а – парне.

Відношення порядку на множині натуральних чисел.

Розподілити  двадцять  тверджень на три групи:

·         перша група тверджень, які завжди правильні на множині натуральних чисел;

·         друга група тверджень, які завжди неправильні на множині натуральних чисел;

·         третя група тверджень, які не входять до першої та до другої групи.

1. Існує  натуральне число між двома числами 2m  та  2m - 1,  де  m  − натуральне число.
2. Серед  обмеженої кількості  натуральних чисел  є  найбільше та найменше число, які можна записати  або 5m,  або 5m + 1, або 5m + 2, або  5m + 3,  або 5m  - 1,  де  m − натуральне число.
3.  Серед  необмеженої кількості  натуральних чисел  є  найменше число, які можна записати  або 9m,  або 9m + 1, або 9m + 2, або  9m + 3,  або 9m + 4,  9m + 5, або 9m + 6, або  9m + 7,  або 9m - 1,  де  m − натуральне число.
4. Серед будь-яких двох парних   натуральних  чисел  вигляду  існує  непарне число, яке можна записати або 9m - 1, або  9m - 3,  або 9m - 5, або  9m -7,  ,  де  m − натуральне число.
5. Не можливо  знайти  парне числа серед будь-яких двох непарних   натуральних  чисел,  які записуються  у вигляді  або 5m,  або 5m+2, або 5m+4,  де  m − натуральне число.
6. Одиниця не є наступним елементом жодного з чисел натурального ряду.
7. Для довільного натурального числа існує наступне натуральне число.
8. Якщо для довільних двох  натуральних чисел відповідні їм на­ступні числа збігаються, то самі ці елементи рівні.
9. Якщо множина М складається з натуральних чисел і містить одиницю ряду натураль­них чисел та для кожного натурального числа множини М наступне для нього також належить до М, то ряд натуральних чисел являється  підмножиною М.
10.  Серед будь-яких  натуральних чисел вигляду 4m  або  4m +1, або 4m + 2, або  4m + 3   не можливо  знайти  найменшого числа,  яке записуються  у вигляді  7m +1, або 7m+2,  де  m − натуральне число.
11. Серед будь-яких  натуральних чисел вигляду 4m  або  4m+1, або 4m+2, або  4m+3  можна  знайти найбільше число,  яке  записуються  у вигляді  або  3 m, або 3m -1, або 3m - 2,  де  m − натуральне число.
12. Серед будь-яких  трьох натуральних чисел вигляду 3m  або  3m - 1, або 3m - 2   можна  два послідовні парні числа знайти числа,  які записуються  у вигляді  або 2m + 2, або 2m,  де  m − натуральне число.
13. Якщо число парне, тоді його попереднє і наступне непарні числа, які записується  у вигляді  або  9m,   або  9m-2, або  9m-4,  або  9m-6, або 9m-8,  де  m − натуральне число.
14. Якщо натуральне число ділиться на 3, тоді воно записується  у вигляді  або 3m - 1, або  3m - 2, де  m − натуральне число.
15. Якщо натуральні  числа записується  у вигляді  або  6m - 1, або  6n - 2, або 6p - 5, або  6k - 4,  або 6g - 3,  тоді серед них немає рівних чисел.
16. Якщо натуральні числа записуються у вигляді 5n - 4 і 3m - 1, тоді вони можуть бути рівними між собою і записуються або  6m+1, або  6m+2, або 6m+5, або  6m+4,  або 6m+3, де  m − натуральне число.
17. Якщо три натуральні числа записується  у вигляді  6m+1,   6m+2,  6m+3,  тоді  три наступні натуральні числа  відповідно  записуються  у такому порядку 6n+5,  6n+4,  6n+3, де  m, n − натуральні числа.
18. Якщо  натуральні числа записується  у вигляді  7m+1,  7m+2,  7m+3  тоді  три попередні натуральні числа  записуються у такому порядку 7k,  7k -1, 7k  -2, де  m, k − натуральні  числа.
19. Якщо натуральні числа записується  у вигляді  8m+8,  4m+4,  тоді   їхні попередні  числа  є непарними і  записуються  відповідно 8m - 7,  4m+3, де  m − натуральне число.
20. Якщо натуральні числа записується  у вигляді 2m+1,  4m+2,  тоді   вони  ніколи не можуть бути рівними,  де  m − натуральне число.