В класичній теорії чисел розглядалися такі числові рівності:
 |  |  |
(27)
|
 |  |  |
(28)
|
 |  |  |
(29)
|
 |  |  |
(30)
|
 |  |  |
(31)
|
 |  |  |
(32)
|
 |  |  |
(33)
|
 |  |  |
(34)
|
 |  |  |
(35)
|
 |  |  |
Подібні рівності можна записати безліч для будь-якого степеня.
Пропоную розглянути рівняння на множині натуральних чисел:
x3+у3+z3=u3
x3+у3+z3+ (-u)3=0
має безліч розв’язків, серед яких x;
y;
z; u попарно взаємно прості числа:
(x; y; z; u) = (x; y; z; (3xyz+(x+y+z)(x2
+ y2 +z2 –xy–yz–xz))1/3).
Цей розв’язок використовує тільки три цілі параметри x; y; z, бо виконується тотожність:
а3 + b3 + c3 = 3abc + (a+b+c)(a2 + b2 +c2 –аb–bc–ac);
а3 + b3 + c3 = (a+b+c)3 -3(a+b)(b+c)( a+c)
(c-a) 3 + (b-c)3 + ( a-b)
3 = 3(a-b)(b-c)(c-a)
Легко
перевірити, що має місце тотожність
(a+b)3 +(– a)3 +(–b)3 = 3ab(a+b).
Отже, сума трьох кубів
чисел: a+b, – a, –b завжди кратна 6.
(x;
y;
z; u)
= (a+b; -b;-a; (3ab(a+b) 1/3) - цей розв’язок
використовує два цілі параметри a
та b.
Історична
довідка:
Міллер і Вуллетт (1955) та Гардінер та ін. (1964)
досліджували цілочисельні розв’язки:
x3+у3+z3=d.
|
Тобто числа представляються як сума трьох (додатних чи від’ємних) кубічних
чисел .
Для загального раціонального рівняння
A3=B3+C3+D3
|
був знайдений Ейлером (Hardy 1999, с. 20-21; Dickson 2005, с.
550-554). Харді та Райт (1979, с. 199-201) дають рішення, яке може
грунтуватися на тотожності, що має дві змінні:
a3(a3+b3)3 = b3(a3+b3)3 + a3(a3-2b3)3+ b3(2a3-b3)3
a3(a3+2b3)3 = a3(a3-b3)3 + b3(a3-b3)3+ b3(2a3+b3)3
Це еквівалентно загальному рішенню, знайденому Рамануджаном (Berndt
1994, pp. 54 і 107; Hardy 1999, pp. 11, 68 і 237; Dickson 2005, pp. 500 і
554).
Часткова квадратична ідентичність форм також дала Рамануджан (Berndt 1994, p. 56)
Часткова квадратична ідентичність форм також дала Рамануджан (Berndt 1994, p. 56)
(3x2+5xy-5y2)3+(4x2-4xy+6y2)3
+(5x2-5xy-3y2)3 = (6x2-4xy+4y2)3
Наводимо кодування
для знаходження розв'язків
цього рівняння.
Кодування на мові Pascal
var
a,b,c,d,i,j,k,p,dd:int64;
l:real;
f:text;
const n=1000;
begin
read(k);i:=0;
assign(f,'ttt.txt');
rewrite(f);
for a:=1 to n do
for b:=a to n do
for c:=b to n do
begin
k:=a*a*a+b*b*b+c*c*c;
d:=round(exp(ln(k)/3));
if k=d*d*d then begin
p:=1; dd:=2;
while
((dd<((a div 2)+1)) and (p=1)) do
begin
if (((a mod
dd)=0) and ((b mod dd)=0) and ((c mod dd)=0) and ((d mod dd)=0))
then
p:=0
else
dd:=dd+1;
end;
if p=1
then
begin
i:=i+1;
if (i mod 5)=0
then writeln(f,a:4,' ',b:4,'
',c:4,' ',d:4)
else write(f,a:4,' ',b:4,'
',c:4,' ',d:4,' ');
end;
end;
end;
writeln(f,'i=',i);
close(f);
end.
Четвірки попарно взаємно простих натуральних чисел, що є розвязками рівняння
x3+у3+z3=u3
(x; y; z; u) =
1 6
8 9
1 71
138 144
1 135
138 172
1 242
720 729
1 372
426 505
1 426
486 577
1
566 823 904
1 791
812 1010
2 12
16 18
2 17
40 41
2 142
276 288
2 270
276 344
2 514
947 995
2 744
852 1010
2 852
972 1154
3 4
5 6
3 10
18 19
3 18
24 27
3 34
114 115
3 36
37 46
3 121
131 159
3 213
414 432
3 214
309 340
3 245
340 378
3 405
414 516
4 17
22 25
4 57
248 249
4 303
482 519
4 963
972 1219
5 30
40 45
5 76
123 132
5 86
460 461
5 163
164 206
5 216
436 453
5 232
307 346
5 355
690 720
5 675
690 860
6 32
33 41
6 121
768 769
6 127
180 199
6 179
216 251
6 381
436 517
6 479
718 783
7 14
17 20
7 42
56 63
7 54
57 70
7 119
303 309
7 317
525 561
7 497
966 1008
7 945
966 1204
8 229
236 293
8 786
955 1107
9 55
116 120
9 58
255 256
9 183
220 256
9 290
583 606
9 366
580 625
9 583
894 970
9 631
642 802
10 261
323 372
10 291
648 667
10 783
953 1104
11 15
27 29
11 66
88 99
11 237
556 570
11 493
534 648
11 607
751 865
12 19
53 54
12 31
102 103
12 81
136 145
12 86
159 167
12 238
315 355
12 496
765 829
12 524
547 675
12 716
913 1041
13 51
104 108
13 65
121 127
13 78
104 117
14 23
70 71
14 189
264 293
14 301
771 786
14 545
823 896
15 42
49 58
15 64
297 298
15 82
89 108
15 114
230 239
15 213
281 317
15 276
878 887
15 383
423 509
15 614
745 864
15 651
671 833
16 23
41 44
16 47
108 111
16 51
213 214
16 213
675 682
16 470
657 729
16 593
850 937
17 40
86 89
17 57
177 179
17 102
136 153
17 135
640 642
17 175
380 392
17 191
274 302
17 519
640 738
17 564
807 890
17 687
694 870
18 19
21 28
18 121
167 186
18 137
412 417
18 167
193 228
18 193
423 436
18 349
426 493
19 53
90 96
19 60
69 82
19 92
101 122
19 93
258 262
19 114
152 171
19 203
679 685
19 362
365 458
19 528
557 684
20 54
79 87
20 89
487 488
20 109
379 382
20 151
353 362
20 198
565 573
20 322
669 693
21 43
84 88
21 46
188 189
21 198
532 541
21 435
581 653
21 490
491 618
22 51
54 67
22 57
255 256
22 75
140 147
22 320
353 425
22 342
905 921
23 81
300 302
23 86
97 116
23 94
105 126
23 102
265 270
23 138
184 207
23 140
958 959
23 171
913 915
23 178
200 239
24 159
382 391
24 197
379 396
24 249
752 761
24 389
547 606
25 31
86 88
25 38
87 90
25 48
74 81
25 68
190 193
25 92
167 176
26 55
78 87
26 312
397 453
27 30
37 46
27 46
197 198
27 64
306 307
27 232
317 354
27 275
697 711
27 285
646 664
27 338
589 624
27 406
413 516
27 485
552 656
28 53
75 84
29 34
44 53
29 75
96 110
29 174
232 261
29 342
475 528
29 439
537 621
30 266
427 459
31 33
72 76
31 64
137 142
31 95
219 225
31 186
248 279
31 248
270 327
32 54
85 93
32 310
335 407
32 370
827 851
32 385
679 718
32 457
479 590
32 753
783 968
33 70
92 105
33 212
796 801
33 424
890 921
34 39
65 72
34 123
173 192
34 249
855 862
35 77
202 206
36 38
61 69
36 147
341 350
37 222
296 333
37 279
495 523
37 360
539 588
37 396
552 613
37 564
710 813
38 43
66 75
38 48
79 87
38 57
124 129
38 295
337 400
39 146
156 191
40 141
366 373
40 203
309 336
40 273
303 364
40 381
491 558
41 114
319 324
41 244
562 577
41 246
328 369
41 700
959 1070
42 83
205 210
42 181
315 334
42 329
447 500
43 258
344 387
44 51
118 123
44 73
128 137
44 199
300 327
44 586
687 807
45 53
199 201
45 69
79 97
45 428
544 621
45 508
816 877
46 47
148 151
46 126
201 217
46 197
531 540
46 326
467 515
47 75
295 297
47 97
162 174
47 282
376 423
47 350
406 479
47 358
561 606
47 392
406 503
47 604
842 935
48 85
491 492
48 109
684 685
48 133
147 178
48 137
142 177
48 268
285 349
49 80
263 266
49 84
102 121
49 122
462 465
50 61
64 85
50 67
216 219
50 74
97 113
50 172
257 281
50 173
499 506
50 184
285 309
51 82
477 478
51 152
190 219
51 232
461 480
51 430
438 547
51 445
726 778
51 461
736 792
53 58
194 197
53 153
291 305
53 318
424 477
54 80
163 171
54 152
387 395
54 163
204 235
54 183
478 487
54 200
579 587
54 843
877 1084
55 113
296 302
55 128
500 503
55 281
782 794
56 61
210 213
56 102
223 231
56 133
163 190
57 68
180 185
57 82
495 496
57 126
280 289
57 146
180 209
57 284
831 842
57 360
466 529
58 59
69 90
58 75
453 454
58 105
671 672
58 131
160 187
58 157
179 214
58 201
255 292
59 93
148 162
59 163
499 505
59 354
472 531
60 342
395 467
60 575
649 774
61 90
564 565
61 344
528 573
61 366
488 549
62 183
649 654
62 571
692 803
63 228
665 674
64 75
477 478
64 107
405 408
64 155
664 667
65 87
142 156
65 127
248 260
65 286
527 554
66 97
632 633
66 117
260 269
67 167
177 219
67 402
536 603
67 654
900 1003
68 113
166 185
68 683
964 1067
68 709
979 1090
68 807
985 1140
69 99
146 164
69 123
124 160
69 328
387 454
69 419
786 824
69 447
893 929
69 562
600 733
71 73
138 150
71 81
384 386
71 150
262 279
71 177
262 288
71 310
488 527
71 426
568 639
71 780
910 1071
72 85
122 141
72 157
446 453
72 257
327 374
72 556
915 979
73 120
314 321
73 123
431 435
73 135
170 198
73 174
207 244
73 314
498 537
73 438
584 657
73 470
503 614
73 648
759 892
74 348
475 531
75 136
989 990
75 366
410 491
75 636
989 1070
76 141
171 202
76 165
192 229
76 543
860 927
76 552
905 969
78 172
195 235
79 122
505 508
79 245
357 393
79 264
945 952
79 377
634 676
79 474
632 711
80 219
388 411
80 261
739 750
80 524
835 899
80 606
793 897
80 757
779 968
81 147
167 203
81 202
239 282
81 426
610 673
81 498
535 652
82 119
497 500
83 261
654 668
83 405
466 552
83 498
664 747
83 565
879 951
84 534
805 877
85 107
220 232
85 138
171 202
85 207
887 891
85 353
397 475
85 586
896 973
85 818
851 1052
86 95
97 134
86 769
783 978
87 150
382 391
87 297
316 388
87 369
449 521
87 730
921 1054
88 95
412 415
88 222
291 331
88 235
509 526
88 386
887 911
89 231
456 476
89 423
876 908
89 534
712 801
89 655
850 964
90 201
568 577
90 398
799 831
91 120
909 910
91 314
462 507
93 155
180 218
93 242
244 309
93 251
622 636
94 96
99 139
94 149
387 396
95 196
248 287
95 229
327 363
95 393
544 606
95 417
432 536
96 107
141 170
96 163
198 235
96 460
683 747
96 506
853 909
97 320
415 472
97 333
389 459
97 582
776 873
97 696
830 969
97 822
830 1041
98 136
207 231
98 304
623 647
98 309
955 966
99 200
349 372
99 236
349 384
99 376
837 862
99 390
533 596
99 563
951 1013
99 776
925 1080
100 173
827 830
100 213
323 354
100 242
447 471
100 565
632 757
101 178
219 258
101 211
758 764
101 488
730 797
101 606
808 909
101 730
866 1013
101 890
931 1148
102 157
192 229
102 194
279 311
102 227
277 324
102 549
907 970
102 577
863 942
103 115
659 661
103 140
204 231
103 204
672 679
103 618
824 927
104 150
429 437
105 196
290 321
106 185
335 356
106 227
229 292
106 269
670 685
107 108
136 171
107 209
337 365
107 230
277 326
107 280
922 931
107 292
362 419
107 306
381 440
107 642
856 963
107 706
890 1019
107 766
813 996
108 109
150 181
108 142
165 205
108 163
170 219
108 197
768 773
108 267
365 410
108 424
603 667
109 170
475 484
109 293
437 479
109 602
840 933
109 654
872 981
110 394
417 513
111 148
465 472
111 198
577 586
111 291
685 703
111 600
905 986
113 116
271 284
113 124
220 241
113 146
166 209
113 166
207 246
113 264
463 492
113 368
727 758
113 387
985 1005
113 678
904 1017
114 229
798 805
114 261
355 400
114 298
755 771
114 465
703 766
115 122
149 188
115 186
612 619
115 366
384 475
116 121
607 610
116 217
656 665
116 271
305 368
118 160
485 493
118 225
324 361
118 268
929 937
119 268
321 378
119 812
865 1058
120 207
622 631
121 122
360 369
122 372
535 591
122 729
816 977
123 125
208 234
123 136
453 460
123 168
490 499
123 197
388 408
123 250
909 916
123 276
316 379
123 319
563 597
123 675
841 967
123 853
893 1101
124 251
620 635
124 795
933 1096
125 562
563 710
126 839
849 1064
127 188
432 447
127 204
321 352
127 330
521 564
127 482
617 704
127 521
552 678
128 279
844 855
129 327
820 838
131 212
445 464
131 261
400 438
132 471
622 703
133 451
680 742
134 151
353 368
135 164
304 327
135 177
376 394
135 188
414 431
135 377
748 780
135 620
738 863
138 145
375 388
138 178
407 423
138 200
223 279
138 239
418 447
138 601
695 822
139 309
428 480
139 509
753 825
140 151
161 218
141 164
691 696
141 226
600 613
141 272
330 389
141 473
733 795
142 159
569 576
142 362
369 465
142 509
859 916
144 179
405 422
144 227
277 330
144 265
606 625
145 179
267 303
145 198
714 721
146 536
727 815
147 157
186 238
147 232
357 394
147 564
826 907
149 166
411 426
149 256
363 408
149 336
427 492
149 508
579 690
149 584
970 1037
149 668
739 890
150 248
877 885
150 485
496 621
151 162
272 303
151 416
600 663
152 158
229 269
152 219
270 323
152 333
603 638
152 337
578 617
152 505
519 648
153 174
568 577
153 256
716 729
153 534
607 724
153 670
743 894
154 251
357 402
155 357
700 732
156 719
820 975
157 446
870 909
158 171
228 275
158 241
295 352
158 493
619 712
159 214
228 295
159 513
766 838
159 565
569 717
159 582 1000 1063
159 617
852 950
160 191
356 383
160 243
389 426
160 326
387 459
160 386
913 937
162 173
282 317
162 393
671 716
162 419
517 600
162 745
956 1089
163 164
197 254
163 396
696 739
164 274
577 601
164 586
695 815
165 530
576 701
165 680
859 984
167 436
513 606
167 562
825 906
168 268
321 385
168 553
698 801
169 234
380 417
170 348
501 557
170 384
577 633
170 419
706 755
171 236
736 747
171 282
349 412
171 345
635 671
171 384
653 698
172 318
537 577
172 336
441 505
173 214
267 324
173 232
339 384
173 243
898 906
174 239
297 356
174 247
284 351
174 436
837 877
175 396
761 798
177 225
551 569
177 276
343 406
177 495
730 802
178 188
401 425
178 295
329 406
178 297
639 664
179 188
229 290
179 267
447 485
179 482
565 668
179 640
933 1026
180 197
379 408
180 509
904 957
181 315
462 514
181 643
800 922
183 192
290 335
183 201
220 292
185 207
346 384
185 218
271 332
185 428
511 602
185 639
904 1002
186 236
313 369
187 261
524 552
187 302
725 746
188 393
478 561
188 463
569 662
189 267
682 700
190 279
449 492
190 531
773 852
191 278
697 716
191 290
361 428
191 332
409 482
191 354
376 471
192 249
263 344
192 261
955 964
193 276
446 489
193 366
447 526
193 366
495 562
193 411
941 969
193 461
631 709
194 732
859 1011
197 346
872 893
197 620
979 1058
198 219
818 827
198 467
717 782
199 393
510 586
200 239
388 431
201 284
526 561
202 261
396 445
203 309
612 644
203 588
733 846
205 384
822 853
206 211
526 547
206 625
743 872
207 209
862 870
207 250
786 799
207 417
850 886
207 516
848 911
207 705
839 983
210 469
531 640
211 662
677 848
212 445
894 933
212 643
882 987
213 268
542 573
213 287
735 755
213 323
334 432
215 218
409 446
216 523
764 843
217 780
935 1092
217 875
881 1109
218 411
412 531
218 566
967 1031
218 573
708 821
218 670
991 1087
218 699
880 1011
219 223
443 477
219 269
370 432
219 538
596 723
219 544
669 778
219 940
990 1219
220 443
773 824
220 919
977 1198
221 507
760 834
223 281
776 794
223 569
960 1026
225 287
588 620
225 383
606 662
226 417
647 708
226 501
755 828
227 230
277 356
227 471
579 677
229 256
506 541
229 270
474 517
229 284
643 670
230 421
454 565
232 279
930 943
232 327
452 519
232 396
591 655
232 698
929 1049
233 279
424 480
233 344
958 977
233 376
458 545
233 596
703 830
233 658
951 1050
234 260
397 453
234 452
763 819
235 236
362 419
235 341
680 716
236 393
394 513
236 475
526 643
237 275
580 612
239 753
906 1058
240 271
305 396
241 483
875 927
241 522
636 745
242 262
285 381
242 274
467 515
242 376
955 979
243 304
660 691
243 358
389 492
243 408
628 691
245 421
453 567
245 446
547 644
246 425
591 668
248 251
886 899
249 514
759 838
249 626
670 825
250 803
933 1104
252 271
953 966
252 541
675 784
253 458
739 802
254 327
412 495
254 718
873 1017
255 548
577 720
255 590
706 831
256 311
398 479
256 621
923 1014
256 717
891 1030
259 410
509 602
259 534
885 952
259 842
965 1148
260 369
375 494
261 412
803 846
261 803
898 1080
262 459
557 660
262 711
881 1020
263 363
907 933
263 649
710 866
264 291
542 587
265 267
465 517
265 567
672 796
265 606
894 985
266 484
545 665
268 321
668 705
268 362
369 489
268 719
890 1031
269 382
472 565
269 435
856 900
269 648
795 926
270 404
471 575
271 288
561 604
271 438
876 919
272 282
475 531
272 687
846 983
275 328
933 954
275 414
733 786
276 303
313 430
279 346
905 930
279 490
842 903
281 322
399 492
281 591
898 984
282 439
450 583
282 857
879 1100
283 294
357 454
284 305
727 758
284 444
471 599
285 318
436 517
285 386
552 629
288 398
475 579
289 432
530 633
290 617
895 992
291 502
794 867
291 540
661 778
294 490
831 895
295 306
681 718
295 348
578 639
295 681
726 898
296 521
580 713
297 454
942 985
297 592
678 817
297 619
695 843
298 405
827 870
299 390
709 762
300 411
589 670
300 424
701 765
300 515
597 722
302 307
421 508
303 482
814 879
305 358
671 722
306 653
795 932
307 318
890 915
309 363
562 634
309 789
953 1115
311 412
905 944
312 481
482 633
314 408
739 795
314 463
569 680
314 729
892 1041
315 322
389 498
315 500
582 707
316 731
904 1051
317 619
645 813
318 797
891 1076
319 329
525 597
319 379
425 547
319 513
608 732
323 334
405 516
326 543
601 744
326 549
790 885
326 661
803 944
327 476
504 647
327 513
748 838
329 375
796 840
330 365
411 536
330 529
972 1033
331 402
501 610
331 596
608 779
331 738
885 1042
332 366
471 575
333 422
579 674
333 444
536 653
333 804
955 1126
334 395
597 678
335 781
969 1125
337 404
503 614
339 348
421 538
339 544
660 787
339 610
749 882
340 346
665 721
340 489
636 745
345 486
607 724
346 404
485 605
346 471
537 670
347 374
541 632
347 580
717 846
348 373
590 669
349 379
383 535
349 792
867 1060
352 740
785 977
353 583
978 1056
354 430
771 835
354 524
565 717
355 372
626 699
355 456
669 760
355 536
768 867
356 385
448 577
356 475
620 731
357 406
531 640
357 518
940 1005
357 788
994 1149
359 369
622 696
359 640
641 830
359 758
850 1031
360 463
537 670
361 431
768 834
361 611
867 975
363 461
534 668
363 510
821 902
363 749
798 992
365 374
562 653
365 562
699 828
367 456
966 1015
367 569
960 1038
367 630
777 916
368 757
810 1005
370 518
763 859
372 651 1000 1099
373 552
558 733
373 600
752 885
373 891
894 1138
376 401
538 649
376 492
915 979
381 443
646 744
381 788
958 1125
385 866
876 1113
388 539
560 731
389 402
547 660
391 458
569 698
394 719
872 1031
398 837
894 1109
401 526
738 849
401 571
825 933
401 598
604 793
405 556
963 1042
407 514
604 751
409 527
567 735
411 613
888 1000
412 459
461 642
413 446
547 686
413 508
803 896
414 643
876 1003
417 488
558 713
417 640
647 846
418 667
722 907
418 698
905 1049
419 453
760 846
419 517
912 990
419 694
844 1003
419 726
912 1067
422 451
908 971
422 505
703 820
423 536
678 815
423 593
694 852
425 540
727 852
426 555
970 1051
430 461
723 822
437 603
778 918
437 734
907 1070
438 439
740 831
443 544
694 835
445 452
899 968
445 566
707 854
446 677
862 1013
451 485
674 800
453 464
634 765
453 664
942 1069
453 774
955 1126
456 567
916 1015
457 580
842 961
458 667
720 915
463 576
950 1047
466 629
674 869
466 773
940 1117
466 838
899 1123
467 525
658 810
469 504
674 813
470 502
657 801
471 769
894 1084
473 621
859 993
474 549
907 1006
476 567
730 879
478 495
873 964
484 632
699 891
486 764
865 1065
487 534
657 820
489 738
919 1090
492 503
649 804
493 619
926 1048
495 676
702 919
501 538
659 828
501 563
850 972
501 614
708 893
501 657
977 1103
510 545
823 948
511 588
729 898
514 753
759 1000
515 815
823 1073
519 618
769 940
519 620
642 863
522 800
811 1059
523 764
804 1035
524 726
835 1035
529 762
951 1132
531 773
856 1074
537 592
911 1038
537 610
911 1044
547 569
783 939
555 582
965 1082
557 612
811 978
558 835
884 1131
564 674
955 1107
564 842
895 1143
568 591
921 1054
571 573
822 976
571 605
760 946
573 758
891 1100
574 623
657 894
577 797
911 1133
578 619
829 1000
579 629
982 1116
581 634
987 1122
582 685
710 957
588 662
805 1005
592 941
988 1261
596 617
703 926
599 652
801 1002
599 691
823 1033
601 695
726 978
603 705
739 991
607 608
984 1119
607 632
857 1034
607 654
932 1095
622 771
981 1180
649 794
974 1193
653 734
907 1124
657 694
935 1128
665 802
999 1218
670 743
753 1044
675 805
924 1174
698 701
835 1082
732 765
859 1138
750 776
849 1145
756 777
895 1174
756 971
973 1314
757 779
824 1136
760 831
905 1206
778 851
885 1212
803 872
934 1259
804 805
963 1246
809 837
901 1227
813 822
914 1229
Немає коментарів:
Дописати коментар