Розглянемо діофантове рівняння вигляду
mxk+lyk=-nxyk, якщо k, m, l, n - відомі цілі числа.
Спочатку продемонструємо декілька прикладів розв’язування квадратних рівнянь з двома невідомими в цілих числах, якщо с та р – невідомі числа:
mxk+lyk=-nxyk, якщо k, m, l, n - відомі цілі числа.
Спочатку продемонструємо декілька прикладів розв’язування квадратних рівнянь з двома невідомими в цілих числах, якщо с та р – невідомі числа:
1. с2+р2=2ср.
Розв’язання.
с2+р2-2ср=0;
Виділити повний квадрат двочлена.
(c-p)2 =0;
c-p=0;
c=p=a – ціле число.
Відповідь: (с;р)= (а; а), де а – ціле число.
2. с2+р2=-2ср.
Розв’язання.
Виділити повний квадрат двочлена.
с2+р2+2ср=0;
(c+p)2 =0;
c+p=0;
c=-p=a – ціле число, тоді р=-а.
Відповідь: (с;р)= (а; -а), де а – ціле число.
3. с2+р2=ср.
Розв’язання. с2+р2-ср=0;
Виділити повний квадрат двочлена.
(c-0,5p)2 +0,75р2 =0;
p=0; c=0,5p=0 – ціле число.
Відповідь: (с;р)= (а; а), де а – ціле число.
4. с2+р2=-ср.
Розв’язання. с2+р2-ср=0;
Виділити повний квадрат двочлена.
(c+0,5p)2 +0,75р2 =0;
p=0; c=-0,5p=0 – ціле число.
Відповідь: (с;р)= (0; 0).
5.
с2+5р2=-4ср.
Розв’язання. с2+р2-4ср=0;
Виділити повний квадрат двочлена.
(c-2p)2 +р2 =0;
(c-2p)2 =р2 =0;
0= c-2p; 0=р;
с =p=0 – ціле число.
Відповідь: (с;р)= (0; 0).
6.
2с2+3р2=-ср.
Розв’язання. с2+р2-4ср=0;
Виділити повний квадрат двочлена.
2(c-0,25p)2 +2,875р2 =0;
(c-0,25p)2 =р2 =0;
0= c-0,25p; 0=р;
с =p=0 – ціле число.
Відповідь: (с;р)= (0; 0).
хс2+ур2=2хуср;
Відповідь: (х0,5а; у0,5а),
якщо а – ціле число, х, у- точні квадрати цілих чисел/
Розв’язати в цілих числах рівняння
mxk+lyk=-nxyk,
якщо k, m, l,
n - відомі цілі числа.
Розв’язання. Заміна х на у та
заміна у на х змінює вигляд рівняння, як являє собою деяку множину точок в
декартовій площині. А тому розглянемо випадок, коли розв’язки лежать на прямих у = pх, які покривають
усю координатну площину хОу. Отримаємо рівняння з одним
невідомим:
mxk+lрkхk=-nрkхk+1;
(m+lрk)хk+nрkхk+1=0;
хk (m+lрk +
nрkх)=0;
(m+lрk +
nрkх)=0; хk=0;
х1=(-m-lрk)/nрk;
х2=0.
Тоді
у1=(-m-lрk)/nрk-1;
у2=0.
Накладаємо додаткову умову:
Дробові вирази (-m-lрk)/nрk та (-m-lрk)/nрk-1
– це цілі числа.
Відповідь: ((-m-lрk)/nрk; (-m-lрk)/nрk-1), (0; 0).
Немає коментарів:
Дописати коментар