Вінницька олімпіада з математики 2017 року

Розвязки   задач

Завдання

6 клас    

1.     Дано п’ятицифрове число 25762. Яку цифру і на якому місці слід записати, щоб дістати число, яке ділиться на 36?

Примітка.(так, як 36=4*9, сума цифр повинна поділитися на 9, а дві останні цифри утворюють число, яке ділиться на 4, тому до двійки в розряді одиниць варто дописати або 8 або 4 або 0. Однак, сума цифр: 2+5+7+6+2=22, тому 27-22=5, отже, цифру 5 треба поставити перед останньою 2, тобто дві останні цифри 52, 52:4=13, 257652:9=28628, 257652:4=64413)

2.     Якщо клас з 30 учнів розсадити в залі, то в будь-якому випадку хоча б в одному ряду буде не менше двох однокласників. Якщо теж саме зробити з класом, в якому 26 учнів, то принаймні три ряди будуть порожніми. Скільки рядів в залі? 
Відповідь: 29 рядів.  Розглянемо середнє арифметичне двох чисел 26 та 30 дорівнює 28. 28=4*7, спочатку перевіримо умову задачі для 28 рядів, якщо  у кожному ряді по 1 місцю буде зайнято учнем, то існує хоча б ряд, де  не менше двох учнів. Якщо на 26 рядах посадити по  одному учневі, адже усіх учнів 26 учнів, цей випадок, коли треба зайняти якомога найбільше рядів у залі. 28-26=2, а нам треба згідно умови  три  вільні ряди. 28 рядів не задовольняє умову. Отже у залі 29 рядів, і в кожному ряді більше двох стільців ).

3.      Число 13*045* (де зірочки це цифри) ділиться на 72. Знайти це число.

Відповідь.1 випадок. Розглянемо подільність на множині натуральних чисел. 72=8*9. Число, що утворює останні три цифри, тобто 45*, повинно поділитися на 8 націло. Отже, 456. Сума цифра цього числа повинна поділитися на 9, тому 1+3+*+0+4+5+6=19+*. Отже після цифри три має стояти цифра 8. Остаточно, число 1380456:72=19173. 
2 випадок.   Розглянемо подільність на множині раціональних чисел. Звертаю увагу на те, що в умові задачі не вказано, що дане число має поділитися націло 72. Тому можна перевіряти тільки подільність на 9, адже на множині раціональних числах подільність на 8 виконується за обмежену кількість операцій(тому у частці кількість знаків після коми буде обмежена).  Отже, нас цікавить випадок, коли  частка не являється періодичним дробом. Тому варто задати умову на дане число в умові, що сума його цифр дорівнювала числам, що мають суму цифр: 9 або 18, або 27, або 36, або 45 і так далі, сума цифр кратна 9.
Наприклад: 
1350459:72=18756,375
1300455:72=18061,875
1310454; 
1340451; 
1320453; 
1330452; 
1350450; 
1380456; 
1370457;
 1360458.

4.     Миколці так набридли мухи, що він вирішив їх усіх переловити. За чотири дні він наловив 216 мух, причому кожного дня він ловив стільки мух, скільки за всі попередні дні. Скільки мух Миколка ловив кожного з чотирьох днів?

Відповідь: 1-ого - 27 мух, 2-ого - 27, 3-ого - 54, 4-ого - 108.
  Якщо х - це кількість мух, які зловив Микола за 1 день або за 2 день, то можна за умовою скласти рівняння:
 х+х+2х+4х=216, 
8х=216, 
х=27.

 7 клас               

1.     Знайти найбільше трицифрове число, яке при діленні на 43 дає остачу, що дорівнює частці.(  43m+m<1000, тому 43m+m=968)

2.     Розв’язати рівняння: (див умову зверху).  (виконати заміну числового виразу, який в дужках на букву, константу а, зрозуміло, що константа а - ненульове раціональне число, тоді x=2).

3.     Двоє гравців почергово записують цифри – 1 до 8 – у смужку з 12 клітинок до тих пір, доки не отримають 12-цифрове число. Довести, що другий гравець завжди може забезпечити його подільність без остачі на 77.  
Примітка. (Другий гравець може отримати число вигляду abcabcabcabc=abc*1001001001=abc*1000001*7*11*13)
Перенумеруємо клітинки смужки зліва направо числами: 1,2, ..., 12.  Перша половина смужки це шість клітинок з номерами k={1,...,6}, друга половина смужки це клітинки з номерами: р={k+1,...,k+6}. Після кожного ходу першого гравця,  другий гравець притримується такого правила: числа в клітинках з номерами  k  та k+6 мають  суму, що дорівнює 9. Тоді отримаємо число вигляду  а*10^6+(999999-a)= 999999(a+1). Перевіряємо  на кратність 77 для числа 999999. Виконується.
4.     Після того як пішохід пройшов 1 км і половину шляху, що залишилася, йому ще залишилось пройти третину всього шляху і 1 км. Чому дорівнює весь шлях? 
Вказівка. За умовою задачі маємо рівняння: х-(1+(х-1):2)=х:3+1, де х –весь шлях,  тоді х=9, тому відповідь 9 km)

8 клас 

1.Відповідь: 18153.
Вказівка. 9*2017=18513. 189*6666....6666=9*21*6/9*(10^2017-1)=126*(10^2017-1)=125*(999....999)*874. Шукаємо суму цифр: 1+2+5+9*2017+8+7+4=2017, тому 9*2017=18153.

2.     Помітка. Згідно умови варто розглядати різні випадки:
Виразити із даного дробу а/b   та с/d, для цього поділити чисельник і знаменник на 2b,  для цього поділити чисельник і знаменник на 3d,  і використати оцінки для утвореного виразу.

3.      Відповідь: 1)1-3:8=5:8; 2)5:8-3:8=2:8;  3) 60*2:8=15 км/год

4.   Відповідь: 1.

5. Відповідь: не можна, бо при кожному склеюванні зникає парна кількість граней: 6n-2k=2m, а це число парне і не дорівнює 2017.