Способи доведення
нерівності
Класичні способи доведення
Класичні способи доведення
Доведіть, що a+b ≥ 2, якщо a>0, b>0, ab=1.
Вказівка. b= 1/a. a+1/a ≥2.
Скористаємося
нерівністю Коші:
a +1/a≥2(a/a)1/2=2.
Доведіть, що a+b+c ≥ 3, якщо a>0, b>0, c>0, abc=1.
Вказівка. c= 1/ab.
a+b+c – 3 = a+b
+1/ab -3 =
=( a2b+ab2+1-3ab)/ab ≥(3ab-3ab)/ab=0/ab=0.
Скористалися
нерівністю Коші: a2b+ab2+1≥3(a3b3*1)1/3=3ab.
Доведіть, що х>0, y>0, z>0, x≠y≠z виконується нерівність
(x+y)/z + (y+z)/x + (x+z)/y > 6.
Доведення. Згідно
суми двох додатних взаємно обернених чисел р/а +а/р >2. Розкриємо дужки
і згрупуємо доданки:
(x+y)/z + (y+z)/x + (x+z)/y =
=x/z +y/z + y/x +z/x +x/y +z/y =
= (x/z + z/x)+ (y/x +x/y) +(y/z +z/y)> 2+2+2=6.
Доведіть, що при
х>0, y>0, z>0, x + y + z=1 виконується нерівність
(1+1/z)(1+1/x
)(1+1/y) ≥ 64
Вказівка. 1=x +
y +
z ≥ 3(xzy)1/3. Тому 1/3≥ (xzy)1/3, найбільше значення
досягається, якщо х=у= z =1/3.
(1+1/z)(1+1/x )(1+1/y) ≥ (1+1/1/3) (1+1/1/3) (1+1/1/3)=4*4*4=64.
Доведіть, що х>0, y>0, z>0 виконується нерівність
(xy + yz + xz)2 ≥ 2xyz(x + y + z).
Доведення. До
обох частин очевидної нерівності x2y2+y2z2+x2z2≥0
варто
додати додатний вираз
2(xz2y+yx2z+xy2z)
=2xyz(x+y+z).
Використаємо формулу
(a+b+c)2
= a2+b2+c2 +2ab+2bc+2ac,
отримаємо
нерівність:
x2y2+y2z2+x2z2 + 2(xz2y+yx2z+xy2z)≥2xyz(x+y+z).
(xy+yz+xz)2 ≥2xyz(x+y+z).
Згідно
нерівності Коші можна отримати оцінку:
xy+yz+xz≥3(xzy)2/3
Обидві
частини нерівності піднесемо до
квадрату і отримаємо ще одну оцінку:
(xy+yz+xz)2 ≥9xyz(xzy)1/3.
Доведіть, що х>0, y>0, z>0 виконується нерівність
(x + y + z)2≥ x2+y2+z2≥ xy + yz + xz.
xy + yz + xz ≤ x2+y2+z2 ≤ (x + y + z)2
Доведення.
Згідно нерівності
(a-b)2= a2-2ab+
b2 ≥ 0,
(a2+b2)/2 ≥
ab.
Отримаємо
три нерівності і додати їх:
(x2+y2)/2 ≥ xy
(y2+z2)/2 ≥ zy
(z2+x2)/2 ≥ xz
x2+y2 +z2 ≥ xy+yz+xz.
До
обох частин нерівності:
2xy +
2yz +
2xz ≥
0
додамо
вираз x2+y2+z2.
Отримаємо:
x2+y2 +z2+ 2xy +
2yz +
2xz ≥ x2+y2 +z2
(x +
y +z)2 ≥ x2+y2
+z2.
Доведіть, що х>0, y>0, z>0 виконується нерівність
(x+ y + z)(xy + yz + xz) ≥ 9xyz.
Вказівка.
Згідно
нерівності Коші можна отримати оцінку:
xy+yz+xz≥3(xzy)2/3
Згідно
нерівності Коші можна отримати оцінку:
x+y+z≥3(xzy)1/3
Перемножити
почлено дві нерівності.
(x + y + z)(xy + yz + xz) ≥ 9xyz.
Якщо
врахувати, що
(x + y + z)2≥ x2+y2+z2≥ xy + yz + xz.
тоді
(x + y + z)(x2+y2+z2) ≥ 9xyz.
(x + y
+ z)(x
+ y
+ z)2≥ 9xyz.
(x + y + z)3≥ 9xyz.
(x + y
+ z) ≥
(9xyz)1/3.
Доведіть, що х>0, y>0, z>0 виконується нерівність
(x+y+z)3≥27xyz.
Вказівка. Згідно
нерівності Коші можна отримати оцінку:
x+y+z≥3(xzy)1/3
Піднести
до кубу обидві частини нерівності.
Доведіть, що х>0, y>0, z>0 виконується нерівність
(x + y + z)(x2
+ y2 + x2) ≥
9xyz.
Вказівка. Згідно
властивості середнього арифметичного та середнього геометричного маємо:
x+y+z≥3(xyz)1/3.
(x2+y2+x2) ≥ 3(x2y2z2)1/3.
Перемножити
почлено дві нерівності з додатними лівими та правими частинами.
Доведіть, що х>0, y>0, z>0 виконується нерівність
(xy+yz+xz)3 ≥27x2y2z2.
Вказівка. Згідно
нерівності Коші можна отримати оцінку:
xy+yz+xz≥3(xzy)2/3
Перемножити
почлено тричі цю нерівність саму на себе.
Доведіть, що х>0, y>0, z>0 виконується нерівність
xy/z+ yz/x
+ xz/y ≥ (x + y + z).
Вказівка.
До
обох частин очевидної нерівності x2y2+y2z2+x2z2≥0
варто
додати додатний вираз
2(xz2y+yx2z+xy2z)
=2xyz(x+y+z).
Використаємо формулу
(a+b+c)2
= a2+b2+c2 +2ab+2bc+2ac,
отримаємо
нерівність:
x2y2+y2z2+x2z2 + 2(xz2y+yx2z+xy2z)≥2xyz(x+y+z).
(xy+yz+xz)2 ≥2xyz(x+y+z).
Згідно
нерівностей:
(x + y + z)2≥ x2+y2+z2≥ xy + yz + xz.
(x2y2+y2z2+x2z2)2≥ x2y2+y2z2+x2z2 ≥ xyz(x+y+z).
x2y2+y2z2+x2z2 ≥ xyz(x+y+z).
Поділимо
нерівність на xyz, отримаємо
xy/z+ yz/x
+ xz/y ≥ (x + y + z).
Довести,
що при a>0, b>0, c>0 виконується нерівність:
1/(a3+b3+abc) + 1/(b3+c3+abc) + 1/(c3+a3+abc) <1/ abc .
Доведення.
Нескладно впевнитися, що
a3+b3 ≥ ab(a+b).
Для
цього cпочатку покажемо, що
(a-b)2 ≥
0,
(a-b)2 = a2 +b2–2ab
≥ 0,
a2 +b2–ab ≥ ab.
Розкладемо
на множники суму кубів:
a3+b3 = (a+b)(a2 +b2–ab)
≥
(a+b)ab
Оцінимо
кожний доданок:
1/(a3+b3+abc) ≤ 1/((a+b)ab+abc) =1/ab(a+b+c)
1/(b3+c3+abc)≤1/((c+b)cb+abc) =1/cb(a+b+c)
1/(a3+c3+abc)≤1/((c+a)ca+abc) =1/ca(a+b+c)
Остаточно,
отримаємо:
1/(a3+b3+abc) + 1/(b3+c3+abc) + 1/(c3+a3+abc) ≤
≤ 1/ab(a+b+c) + 1/cb(a+b+c) +1/ca(a+b+c)
= (1/ca + 1/cb +1/ab)1/(a+b+c) = 1/abc.
Довести, що при a≥0, b≥0, c≥0 виконується нерівність:
a3 +b3+c3 ≥ a2(cb)0,5+b2(ac)0,5+c2(ab)0,5.
Доведення.
Нескладно впевнитися, що
a3+b3 ≥ ab(a+b).
Для
цього cпочатку покажемо, що
(a-b)2 ≥
0,
(a-b)2 = a2 +b2–2ab
≥ 0,
a2 +b2–ab ≥ ab.
Розкладемо
на множники суму кубів:
a3+b3 = (a+b)(a2 +b2–ab)
≥
(a+b)ab
c3+b3 = (c+b)(c2 +b2–cb)
≥
(c+b)cb
a3+c3 = (a+c)(a2 +c2–ac)
≥
(a+c)ac
Почленно додамо три останні нерівності, отримаємо:
2(a3 +b3+c3) ≥ (a+b)ab + (c+b)cb +
(a+c)ac =
= a2b+b2a + c2b+b2c +
a2c+c2a= a2(c+b) +b2(a+c) +c2(a+b).
Застосуємо до кожного доданку нерівність Коші:
2(a3 +b3+c3) ≥ a2(c+b) +b2(a+c) +c2(a+b) ≥
≥ (cb)0,5a2 + (ca) 0,5b2 +
(ab)0,5c2.
Доведення нерівності методом дослідження властивостей функціональних виразів:
1.
Доведіть нерівність a² + b² + 1 ≥ ab + a + b.
Доведення. Покажемо, що a² + b² + 1 - ab - a - b≥0.
Розглянемо функціональний вираз, як квадратний тричлен від змінної а:
F(a;b)=a²–(b +1)a +b² - b+ 1.
Дослідимо цей функціональний квадратний
тричлен на властивості знаків.
Дискримінант цього квадратного тричлена не додатний, бо D(b)= -3(b-1)2≤0.
Так, як старший коефіцієнт у квадратному
виразі, додатний(=1), то
даний квадратний тричлен
набуває додатних значень( адже вітки параболи напрямлені вгору) при будь-яких дійсних значеннях (a;b),окрім таких значень змінних а=1; b=1. До речі F(1;1)=0.
Тому F(a;b)=a²–(b +1)a +b² - b+ 1≥0. Що і треба було довести.
Доведення
нерівності методом інтервалів
Доведіть,
що
a)x2y3+2018xy3+2019x2y2+2018×2019xy2
≤ 0,
якщо
-2018≤ y ≤ 0, -2018 ≤ х ≤ 0.
b) x2y3+2018xy3+2019x2y2+2018×2019xy2
≥ 0,
якщо
-2019 ≤ x ≤ -2018, -2019 ≤ y ≤ -2018.
Вказівка.
a)Розкласти на множники ліву частину способом
групування:
x2y3+2019x2y2+2018xy3+2019×2018xy2 =
=(x2y3+2018xy3)+(2019x2y2+2019×2018 xy2)=
=(x2+2018x)y3+2019y2(x2+2018x)
=
= x(x+2018)y2(y+2019) = f(x)f(y).
Методом
інтервалів знаходимо, що функції f(x)
та f(y) не змінюють свого знаку на заданих числових проміжках,
тобто
f(x) = x(x+2018)≤0, -2018≤х≤0 та
f(y) =
y2(y+2019) ≥ 0,
-2018≤y≤0;
Тому
f(x)f(y)= x(x+2018)y2(y+2019)=(-)(+) ≤ 0,
якщо -2018≤ y ≤ 0, -2018 ≤ х ≤ 0. Що і треба було довести.
б) Розкласти на множники ліву частину способом
групування:
x2y3+2019x2y2+2018xy3+2019×2018xy2 =
=(x2y3+2018xy3)+(2019x2y2+2019×2018 xy2)=
=(x2+2018x)y3+2019y2(x2+2018x)
=
= x(x+2018)y2(y+2019) = f(x)f(y).
Методом
інтервалів знаходимо, що функції f(x)
та f(y) не змінюють свого знаку на заданих числових проміжках,
тобто
f(x) = x(x+2018) ≥ 0, -2019≤х≤-2018та
f(y) =
y2(y+2019) ≥ 0,
-2019≤y≤-2018;
Тому
f(x)f(y)= x(x+2018)y2(y+2019)=(+)(+) ≥ 0,
якщо -2019≤ y ≤ -2018, -2019 ≤ х ≤ -2018. Що і треба було довести.
Доведіть, що
(-2x3y +x3y2+x3)/(y3+y4-xy4-xy3) ≤ 0, якщо 0<x<1, 0<y<1.
Вказівка.
Розкласти на множники ліву частину і розділити змінні.
(-2x3y +x3y2+x3)/
(y3+y4-xy4-xy3) =
= x3(1-2у+у2)/(1-х)(у4+у3)
=
= x3/(1-х) *(1+у)
2/у3(1+у) =
= f(x)f(y).
Методом
інтервалів знаходимо, що функції f(x)
та f(y) не змінюють свого знаку на заданих числових проміжках,
тобто
f(x) = x3/(1-х) ≥ 0,
0≤х≤1 та
f(y) =
(1+у)2/у3(1+у) ≤ 0, 0≤y≤1;
Тому
f(x)f(y)= x3/(1-х) *(1+у)2/у3(1+у)
=(+)(-) ≤ 0,
якщо 0 <
x <
1, 0 < y
< 1. Що і треба було довести.
Каталог олімпіадних задач з алгебри.
Рівень С. Нерівності.
0. При яких значеннях a
та b можна стверджувати, що виконується
ланцюжок нерівність:
min{
a;
b} < 2ab(a + b)-1 <
(ab)0,5< 0,5(a + b) < 0,5(a2+ b2) 0,5 < max{ a; b}
1. При яких значеннях b
та a можна стверджувати, що виконується
нерівність: max{ b; - b} < min{ a; - a}? Відповідь
обґрунтувати.
2.При
яких значеннях b та a
можна стверджувати, що виконується нерівність:
·
max{ b; - b} - min{ a; - a} < /a/ + /b/;
·
max{ a; b} - min{ 1:a; 1:b } > 2;
·
max{ ab; ba} - min{ 1:ab; 1:ba } > 2;
·
max{ ab; a:b} + min{ ab;
a:b } > 2;
·
max{ a; b} + max{ 1:a; 1:b } > 2;
·
min{ ab; ba} + min{ 1:ab; 1:ba } > 2;
·
max{ ab; a:b} + min{ ab;
a:b } > 2;
·
max{ b; - b} + min{ a; - a} < /a/ + /b/;
·
max{ b; - b} + min{ a; - a} < -a – b;
·
max{ a; - a} + min{ b; - b} < /a/ - /b/;
·
max{ b;a- b} + min{ a; b - a} < -a + b;
·
max{ b; - b} + max { a; - a} < -a – b;
·
max{ b; - b} + max { a; - a} < /a/ + /b/;
·
max { b; - b} + max { a; - a} < b – a;
·
min { b; - b} + min{ a; - a} < -a – b;
·
min { b; - b} + min{ a; - a} < -/a/ - /b/;
·
min { a- b; a:b } < 0,5[a- b+ a:b -/a-b
- a:b/];
·
max{ a- b; a:b } < 0,5[a- b+ a:b +/a-b
- a:b/];
·
min { ab; a- b; a:b; a+b } < -a + b;
·
max { ab; a- b; a:b; a+b } < -a + b;
·
min { ab; a- b; a/b; a+b; b/a; a- b; ab; ba
} < ab+ ba;
·
max { ab; a- b; a/b; a+b; b/a; a- b; ab; ba
} < ab+ ba;
3.При
яких значеннях b та a
можна стверджувати, що виконується нерівність:
max{ b; - b}*min{ a; - a} < ab;
max{ b; - b}*mах{ a; - a} < ab;
min{ b; - b}*min{ a; - a} < ab?
4.При яких значеннях b
та a можна стверджувати, що виконується
нерівність:
max{ b; - b; a; - a } - min{ a; - a; b; - b} < b – a;
max{ a+b; b - a; a - b } – min{ a+b;
b - a; a - b} < b – a;
max{ b; - b; a; - a } - min{ a; - a; b; - b} < b - a?
6. При яких значеннях b
та a можна стверджувати, що виконується
нерівність: max{ b; - b}:min{ a; - a} < b:a?
7. При яких значеннях b
та a можна стверджувати, що виконується
нерівність: (ab)0,5
+1 < (a + 1)0,5(b + 1)0,5 Відповідь
обґрунтувати.
8. Доведіть, що якщо сума двох взаємно обернених чисел не менше двох, тобто для добутку
чисел a∙b=1, тоді
а/b+ b/a > = 2
9. Доведіть, що якщо для невід’ємних
b: 1/b+ b > = 2
10.Доведіть, що якщо для невід’ємних чисел a∙b=1,
тоді
(a+b)
2.
2.
11.
Доведіть, що якщо для невід’ємних m чисел a∙b∙c∙d∙e∙…∙f=1,
тоді
(a + b + c + d + e +…+f)>= m.
12. Доведіть, що для довільного а вірно:
а2>= 0.
13.Доведіть,
що для додатного числа а>0 та
від’ємного дискримінанта: b2-4aс<0
завжди
виконується квадратна нерівність:
ax2+bx+c>0.
14. Доведіть,
що для від’ємного числа а<0 та від’ємного дискримінанта: b2-4aс<0
завжди
виконується квадратна нерівність:
ax2+bx+c<0.
15.При
яких значеннях х та а можна стверджувати, що виконується
нерівність: 5x(2а - 5x) - а2 ≥ 1?
Відповідь
обґрунтувати.
16.При
яких значеннях х та y
можна
стверджувати, що виконується нерівність: х2 – 2(х – y) + у2 ≤ 2? Відповідь
обґрунтувати.
17.При
яких значеннях х та a
можна стверджувати, що виконується нерівність: /х - a/ + /х + a/ ≤ 2?
Відповідь
обґрунтувати.
18.
При
яких значеннях х та а не можна
стверджувати, що виконується нерівність: x2 + 2ax + a2 > 0?
Відповідь
обґрунтувати.
19. При
яких значеннях х та а можна стверджувати, що виконується
нерівність: x4 + 2x2 + a4 +2a2 > -2?
Відповідь обґрунтувати.
20. При
яких значеннях х та а можна стверджувати, що виконується
нерівність: x4 + 2x2 + a4 +2a2 > -2?
Відповідь обґрунтувати.
21. При
яких значеннях х та а не можна
стверджувати, що виконується нерівність: x + 1/x + 1/a + a < -4?
Відповідь обґрунтувати.
22. При
яких значеннях х не можна стверджувати, що виконується
нерівність: x2 + 1/x2 >7? Відповідь
обґрунтувати.
23. При
яких значеннях х можна стверджувати,
що виконується нерівність: 4x2(х3-1) - 3(1 – 2х2) > 4 (х5-1)?
Відповідь обґрунтувати.
24. При
яких значеннях a можна стверджувати, що виконується
нерівність: a-a/-a2 -1/ < 1 – a2(a - 1)? Відповідь
обґрунтувати.
25. Побудувати
множину точок в прямокутній системі координат: у2
< ух2.
26. Побудувати
множину точок в прямокутній системі координат: x3 < y5.
27. Побудувати
множину точок в прямокутній системі координат: у2
< /2yx/ - х2.
28. Побудувати
множину точок в прямокутній системі координат: /x3/ < y5.
29. Довести, що а3 + а2с – abc + b2c + b3 = 0, якщо a + b + c = 0.
30. Довести, що ах + 2х + ау +2у +4 = а2, якщо a - 2 = х
+ у.
31. Доведіть нерівності способом зведення до
класичної нерівності Коші:
а) (a + b)(b + c)(c + a) >= 8abc;
б)
(k + 4m)(m + 4n)(n + 4k) >= kmn;
в)
(2x + 2y)(2y + 2z)(2z + 2x) >=xyz;
32.
Розв’язати графічно нерівність : /2x-3y/+ /3x-2y/≤5.
Знайти площу отриманої геометричної фігури.
Рівень А
1. При
яких цілих значеннях х значення виразу (5х + 10 – 2х2 )(2х-1)-1 є
натуральним числом?
2. Доведіть,
що при всіх натуральних m
число (m-1)m(m+1)(m+2)+1 - cкладене
число.
3. Розкласти
на множники (m-1)m(m+1)(m+2) – 24.
4. Розв’язати
рівняння: (m-2)(m-1)m(m+1) – 3 = 0.
5. Розв’язати
рівняння в цілих числах: mn = n + m.
6. Розв’язати
рівняння в цілих числах: mn + n + m +1 = 0.
7. Розв’язати
рівняння: 2m2 + n2 = 2nm+4m.
8. Розв’язати
рівняння в цілих числах:
a)/n/+
/m/ - 2 = 0;
b)/n-2/+
/m-2/ - 2 = 0;
c)/n-2/+
/n+2/ - 2 = 0.
9. Розв’язати
рівняння в цілих числах: xy + x - 5y +6 =
0.
10. Розв’язати
рівняння: (m-1)0,5+ 2(n-1)0,5 = 0,5(n+m).
11. Доведіть,
що amn +
bn + cm +d = (m + c:a)(an +b)+d – cb:a.
12. Доведіть,
що am2
+ bnm + cm2 = a(m - k1n)(m - k2n),
де k1 ,
k2 корені квадратного
рівняння ak2 + bk+ c=0.
13. Доведіть, що 19m3 - 17m2 = 51
не
має розв’язків в натуральних числах.
14. Розв’язати параметричне рівняння з
невідомим х:
(x2 + ax + a2)(x – ax + a2)-1= a2x-2.
15. Розв’язати рівняння: 2у =
1+ х + x2 + х3.
16. Розв’язати рівняння: x2 + x -2 + 0,5x – 0,5x -1 = 5.
17.
Розв’язати рівняння: [х +3 - 4(х-1) 0,5]0,5+ [х + 8 - 6(х-1)
0,5]0,5= 1.
18. Доведіть,
що mn + n + m + d = (m + 1)(n +1)+ d –
1.
19.
Розв’язати нерівність в
натуральних числах:
1/11
< m/n
< 1/10.
20. Доведіть,
що 22013 -1 складене число.
21. Відомо, що a +
b + c
< 0 і
що ax2 + bx + c =
0 не має дійсних коренів. Визначити знак числа с.
22. Доведіть, що
п’ятий степінь кожного натурального числа закінчується такою самою цифрою, як і
перший степінь.
23. Знайти невідомі
цифри *, якщо (**)(**)=1*1.
24. Знайти невідомі
цифри *, якщо (**)(92)=***.
25. Знайти невідомі
цифри *, якщо (**)+(**)=*97.
26. Знайти невідомі
цифри *, якщо (**)(45)=*3*.
27. Знайти невідомі
цифри , якщо: КУТ = БАк.
28. Знайти невідомі
цифри , якщо: ЦИФРА = ДВа.
29. Знайти невідомі
цифри , якщо: ВОДА+ВОДА+ВОДА = ОКЕАН.
30. Розв’язати
рівняння в цілих числах: 6х2-3xy -7x +2y +15 = 0.
31. Розв’язати рівняння: [х2 +3 - 4х]0,5+ 2[9 - 3х]0,5=3[ 2х-2]0,5+ [24]0,5.
32. Розв’язати рівняння: 2x4+ 5x3- 4x2 – 10x -3= 0.
33.
При яких значеннях параметра а рівняння
x4-(2а-1)x2 – а2 -1= 0 має два різних
корені?
34.
Розв’язати в цілих числах рівняння: X! +У! = 144,05, де степеневий факторіал означає
таку суму взаємно обренених чисел N! = N!+ 1/N!.
35. При
яких значеннях х та a
можна стверджувати, що виконується нерівність: max{х; - x} = min{a; - a}?
Відповідь
обґрунтувати.
36. Розв'язати
рівняння (1 + 4х2) (1 + 9у2) =
24ху.
Немає коментарів:
Дописати коментар