Нелінійні діофантові рівняння (власт. парності)

Спочатку спробуйте  усно осмислити та пояснити: 
чому вираз  mn(m+n) - це завжди парне число, 
якщо його змінні являються цілими числами.

Завдання для самостійної роботи.

1. Розв’язати діофантове рівняння з трьома невідомими:

(6k-2)^m + (6k+3)ⁿ =2018kmn+2,

якщо  усі вирази з цілими змінними.

Вказівка. Рівність можлива тільки у єдиному випадку, коли обидві частині рівняння це парні числа. Проте при ненульових показниках степенів у двох доданках - ліва частина рівняння завжди є непарним числом. Залишається тільки випадок, коли у лівій частині рівняння показники степеня у двох доданків - це нулі, тобто  (6k-2)⁰ + (6k+3)⁰ =1+1=2

 Тому (k, m, n)= (k, 0, 0).

Завдання

Доведіть, що

А = m^tn^p(m^t + n^p) – це завжди парне число, якщо m, t, n, p – натуральні числа.

Доведіть, що

В = (n+2m+1)^t +(2m+ n)^p – це завжди непарне число, якщо

m, t, n, p – натуральні числа.

Доведіть, що

С = a⁴+a²+1=(a²+a+1)(a²-a+1) – це завжди непарне число, якщо а – натуральне числа.

Доведіть, що

D=q⁸+q⁴+1=(q²+q+1)(q²-q+1)(q⁴-q²+1) – це завжди непарне число, якщо q – натуральне числа.

Доведіть, що

С = n^t +n^p +2m+1– це завжди непарне число, якщо t, n, p, m – натуральне числа.

Довести, що будь-яке просте число, більше двійки, можна записати у вигляді суми добутку та суми двох  натуральних чисел.

Доведення: Нехай р – просте число, більше двійки. Тоді для деяких натуральних чисел х та у запишемо рівняння в  цілих числах:

xy + x + y =  р_.

Виконаємо такі перетворення:

xy + x + y+1 =  р + 1_.

х(y + 1) + (y + 1) =  р + 1_.

(х + 1)(y + 1) =  р + 1_.

Права та ліва частина рівняння  це парні натуральні числа, отже, існує такий розклад на множники р + 1 = 2 ∙ (р + 1)/2. Враховуючи це знайдемо один із один із можливих натуральних розв’язків цього рівняння:

х + 1 = 2,  звідси  х = 1

     та 

у + 1 =   (р + 1)/2, звідси  у =   (р – 1)/2.

Отже, будь-яке просте число р, більше двійки, можна записати у вигляді суми добутку та суми натуральних таких  чисел 1 та (р – 1)/2. До речі, число 2 не можна записати  у вигляді натуральних чисел: xy + x + y;

·       для чисел 3 це пара (1; 1);

·       для числа 5 це пара (1; 2) або (1;2);

·       для числа 7 це пара (1; 3) або (3; 1);

·       для числа 11 це пара (1; 5) або (5;1) або (2; 3) або (3; 2);

·       для числа 13 це пара (1; 6) або (6; 1);

·       для числа 17 це пара (1; 8) або (8; 1) або (2; 5) або (5; 2);

·       для числа 19 це пара (1; 9) або (9; 1) або (3; 4) або (4; 3);

·       для числа 23 це пара (1; 11) або (11; 1) або (2; 7) або (7; 2) або (3; 5) або (5; 3);

·       для числа 29 це пара (1; 14) або (14; 1) або (2; 9) або (9; 2) або (4; 5) або (5; 4);

·       для числа 31 це пара (1; 15) або (15; 1) або (3; 7) або (7; 3);

·       для числа 37 це пара (1; 18) або (18; 1).

·       для числа 41 це пара (1; 20) або (20; 1) або (2; 13) або (13; 2) або (5; 6) або (6; 5).

Відомі факти про подільність чисел.

Усі натуральні  числа можна записати так:  а)   5k-2,  5k-1, 5k, 5k+1, 5k+2;  б)  6k-3,  6k-2,  6k-1, 6k, 6k+1, 6k+2; 

Простими числами можуть бути числа  6k-1 та 6k+1,  якщо k  – натуральне  число.

аb(а ± b)=2k – це парне число.

аb(а⁴ –b⁴)=30k; 

n⁵ –n =5k;    Якщо НСД(n;5)=1, тоді  n⁵ –n =30k; 

n⁷ –n =7k;   

n² + m² + r²+1=8k;

(2k+1)² –(2n-1)² =8k;

n(n+1)= 2k, тобто, добуток двох послідовних цілих чисел завжди парне число;

(n+2)(n+1)n = 3k, тобто, добуток трьох послідовних цілих чисел завжди ділиться на 3 націло;

(n-1)n(n+1) = 6k, тобто, добуток трьох послідовних цілих чисел завжди ділиться на 6 націло;

(n-1)n(n+1)(n+2) = 12k тобто, добуток трьох послідовних цілих чисел завжди ділиться на 6 націло;

(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2) = 2∙3∙4∙5k=120k, тобто, добуток п’яти послідовних цілих чисел завжди ділиться на 120 націло.

Якщо n+1 –складене натуральне  число, то   число вигляду  1×2×3×4×5×…×(n-1) ×n =n!  ділиться на n.

 Для натуральних чисел виконується  (k  + m  + n)! / (k! * m! * n! ) – натуральне число.

Якщо n  – натуральне  число, що має непарний дільник,  то   число вигляду  2ⁿ +1  складене число.

Якщо n  – натуральне  число, то число вигляду  n⁸+4 - складене число.

Якщо n  – натуральне  число, то число вигляду  n⁸+ n⁴+1 - складене непарне число.

Якщо n  – натуральне  число, то число вигляду  n^4m+ n^2m+1 - складене непарне число.

(a - b)(a - c)(b - c)=  a²b -аb² + ac²- a²c  + b²c - bc²  - цей вираз завжди парне число,  якщо усі змінні – це  цілі числа.

(a + b)(a + c)(b + c)=  a²b +аb² + ac²+ a²c  + b²c + bc² +2abc;    - цей вираз завжди парне число,  якщо усі змінні – це  цілі числа.

(a - b)(a + c)(b - c)=  a²b -аb² - ac²- a²c  - b²c + bc² +2abc; - цей вираз завжди парне число,  якщо усі змінні – це  цілі числа.

 (a - b)(a + c)(b + c)=  a²b - аb² + ac²+ a²c  - b²c - bc²;  - цей вираз завжди парне число,  якщо усі змінні – це  цілі числа.   

Формули сум:

1.     2+4+6+..+ 2k= k(k+1)   (сума перших парних натуральних чисел);

2.     1+3+5+..+ 2к -1 = k²   (сума перших непарних натуральних чисел);

3.     1+2+3+4+..+ k =0,5k(k+1)  (сума перших натуральних чисел);

4.     1²+2²+3²+4²+..+ k² =  k(k+1)(2k+1)/6  (сума квадратів перших натуральних чисел);

5.     1∙2 + 3∙2 + 3∙4 + 4∙5 + 5∙6 + … + k(k+1) = k(k+1)(2+k)/3 ;

6.     1³+2³+3³+4³+..+ k³ = 0,25k²(k+1)²   (сума кубів перших натуральних чисел); 

Властивості степенів з цілим показником

аⁿa^m=a^n+m;    аⁿ:a^m=a^n-m;     (аⁿ)^m=a^nm;     а⁰=1;     а^-n=1:aⁿ;    а=а^0,5a^0,5=1a¹ =(a^0,5)²; 0⁰- не існує.

(ab)^m = a^mb^m ;  (1/a^{– m})(1/ b^{– m} )=1/(ab)^-m;    ^m:b^m = (a:b)^m = b^{– m} a^{– m} =(b:a) ^{– m}; 0^-m - не існує. 

   

Різниця та сума квадратів

a² + b² – не розкладається  на множники на множині цілих многочленів.

a² – b² = (a – b)(a + b) – це різниця квадратів двох виразів.

х²+ху+у² = 0,5(х²+у²) +0,5(х+у)²

Різниця та сума кубів

а³ – b³ = (a – b)(a² + аb + b²) – це різниця кубів двох виразів.

а³ + b³ = (a + b)(a² – аb + b²) – це cума кубів двох виразів.

Різниця та сума біквадратів

а⁴ – b⁴ = (a – b)(a³ + а²b + аb² + b³) = (a – b)(a + b)( a² + b²);

а⁴ + b⁴  - не розкладається на множники на множині цілих многочленів.

а⁵ – b⁵= (a – b)(a⁴+ а³b + а²b² + аb³ + b⁴);

а⁵ + b⁵= (a+b)( a⁴ – а³b + а²b² – аb³ + b⁴);

a^2m + b^2m  - не розкладається на множники на множині цілих многочленів.

аⁿ – bⁿ = (a–b)( a^n-1+ а^n-2b + а^n-3b² +… + а²b^n-3 + аb^n-2 + b^n-1);

Якщо  b =1, тоді  аⁿ – 1= (a–1)( a^n-1+а^n-2  + а^n-3  +… +а² + а + 1);

Степінь суми двох виразів.

(a±b)⁰ = 1;   (a±b)¹ = a±b;  1:aⁿ ±(1:bⁿ) =a^-n±b^-n=(ab)^-n(aⁿ ± bⁿ) =a^-n ± b^-n 

Квадрат  двочлена:

(a + b)² =(b + a)² = a² + 2ab + b² –  це квадрат суми двох чисел.

(a – b)² =(b – a)² = a² – 2ab + b² –  це квадрат різниці двох чисел.

Куб  двочлена:

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³  – це куб суми двох чисел;

(a – b)³ = a³ – 3a²b + 3ab² – b³  – це куб суми або різниці двох чисел;

Іноді стають у нагоді такі формули:

(a±b)⁴ = a⁴±4a³b +6a²b² ±4ab² + b⁴;

(a±b)⁵ = a⁵±5a⁴b +10a³b² ±10a²b³ +5ab⁴ ± b⁵;

(a±b)⁶= a⁶±6a⁵b +15a⁴b² ±20a³b³ +15a²b⁴ ±6ab⁵ +b⁶.

Для непарних n: аⁿ + bⁿ = (a+b)( a^n-1-а^n-2 b + а^n-3b² -… +а²b^n-3 - аb^n-2 + b^n-1);

Якщо  b =1, тоді a²ⁿ⁺¹ + 1= (a+1)( a^n-1- а^n-2  - а^n-3  +… +а² - а + 1);

Сума трьох квадратів і сума трьох кубів.

а³ + b³ + c³ - 3abc = (a+b+c)(a² + b² +c² –аb–bc–ac);

(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2аb + 2bc +2ac;

Три способи запису квадратного тричлена

ax² + bx + c = а(х – х₁)(х – х₂)= а(х - 0,5b:a)² – 0,25D:a.

Дискримінант D = b² – 4ac.  Два корені:   х₁ = (‒ b ‒ (b² ‒ 4ac)^0,5 )/(2a),  х₂ = (‒ b + (b² ‒ 4ac)^0,5 )/(2a).   Координати вершини  квадратичної  параболи: х_в = - 0,5b:a;  у_в =  - -0,5b:a.

   xy + x + y  + а = (х + 1)(y + 1) + а - 1_.                xy + x + y  + 1= (х + 1)(y + 1)

aху + bх + cу + d = (x + c:a)(ау + b) + d – (cb:a).

Якщо b² ‒ 4ac – невід’ємний,  то ax² + byх + cy² = а(х ‒ k₁y) (х ‒ k₂y),

де k₁, k₂ ‒ корені квадратного рівняння  ak² + bk + c = 0.

Завдання для самостійного дослідження

1. Чи вірно, що  рівняння

А) (n - 7)(n + 1)(n + 7)(n - 1) + 455 = 0;

Б) (k - 2)(k + 1)k(k - 1) - 24  = 0;

В) (m - 7)(m + 1)(m + 7)(m - 1) + 432 = 0;

Г) (a - 3)(a + 1)(a + 3)(a - 1) - 105 = 0

мають єдиний розв’язок в натуральних числах?

2. Які цілі вирази  

А) (n - 7)(n + 1)(n + 7)(n - 1) + 576;

Б) (m- 2)(m + 1)m(m - 1) + 1;

В) (k - 3)(k + 1)(k + 3)(k - 1) + 16;

Г) (p - 4)(p + 2)(p + 4)(p - 2) + 36;

Д) (t - 5)(t + 3)(t + 5)(t - 3) + 64;

Е) (x - 1)(x + 3)(x + 2)(x - 2)(x + 1)(x - 3) + 36;

Є) (y - 5)(y + 1)(y + 5)(y - 1) + 144

являються точними квадратами цілих виразів з цілими коефіцієнтами?

3. Невід’ємні цілі числа x, y, z задовольняють рівність

30х + 32у + 33z = 447. Знайдіть  значення виразу х + у + z.

4.Чи існують такі натуральні а і b, що аb(а - b) +аb(а + b) = 4900049?

5.Довести, що при непарному натуральному k сума (1^k + 2^k +...+ + n^k) ділиться на (1 +2+...+ n).

КОНГРУЕНТНІ ЧИСЛА ЗА МОДУЛЕМ m

ТА ЇХНІ ВЛАСТИВОСТІ.

Означення. Два цілих числа а і b називаються конгруентними за модулем m, якщо числа а і b при діленні на m дають однакові остачі.

Конгруентні числа за модулем m можна записати у вигляді:

a = mg+r, 

 b = mk+r,

де 0 < r < m.

Модуль m є натуральним числом.

Конгруентність за модулем m чисел  a  та   b записуємо так:

а º b (mod m).

Конгруентність чисел а і b за модулем m рівнозначна:

а) рівності а = b + mk, де k=0, ± 1, ± 2, ... ;

б) подільності а ‒ b на m; тобто, а ‒ b ділиться націло на m.

Приклади конгруентних чисел за модулем 5

-7 º -2 (mod 5).

3 º 8 (mod 5).

13 º -12 (mod 5).

5 º 0 (mod 5).

Перевірити конгруентність за модулем 5 можна таким чином, відняти від лівої частини конгруенції -7 праву частину  конгруенції -2, тобто -7-(-2)=-5, це число ділиться націло на 5. Отже числа -7 та -2 є представниками одного класу лишків, а конкретно Z₃.

Приклади конгруентних чисел за модулем 7

6 º -1 (mod 7).

-4 º 3 (mod 7).

13 º 6 (mod 7).

7 º 0 (mod 7).

ВЛАСТИВОСТІ КОНГРУЕНТНИХ ЧИСЕЛ

1. Два цілих числа, які конгруентні третьому за модулем m, конгруентні між собою за цим самим модулем.

Якщо

а ºb (mod m),

с º b (mod m)

то

а º с (mod m).

Зауваження. У конгруенції будь-яке число можна замінити конгруентним йому.

Наприклад,

5 = 2 (mod 3),

5 = 8 (mod 3) .

Отже,

8 = 2 (mod 3).

2. Числа, конгруентні за модулем m, належать до одного й того самого класу чисел.  Отже, множину чисел розбиваємо на класи  Z_r за модулем m.
Всіх класів буде m, їх позначають:  Z₀, Z₁, Z₂, _{, …,} Z_m-1.

3. Конгруенції за одним і тим самим модулем можна почленно додавати або віднімати.

Наприклад,

а º b (mod m).

c º d (mod m).

а±c º b±d (mod m).

4.  Конгруенції за одним і тим самим модулем можна почленно множити.

Наприклад,

а º b (mod m).

c º d (mod m).

а∙c º b∙d (mod m).

5. Члени конгруенції можна переносити з однієї частини в другу, змінюючи їх знак на протилежний.

Якщо

а º b + с(mod m),

то також вірно

а-с º b (mod m),

або

а-b º с (mod m),

або

а - b- c º 0 (mod m).

6. До кожної з частин конгруенції можна додати (або відняти) число, кратне модулю.

Якщо

а º  b (mod m),

то

а + km º  b (mod m)

а º  b + km (mod m),

або

а - km º  b (mod m)

а º  b - km (mod m).

7. Обидві частини конгруенції можна помножити на одне й те саме ціле число.

Якщо

а º b (mod m),

то

аk º bk (mod m),

де k – ціле число.

8.  Обидві частини конгруенції можна піднести до одного й того самого степеня, показник якого є ціле невід'ємне число.

Якщо

 а º b (mod m),

то

а^k º b^k (mod m),

                       

9.     Обидві частини конгруенції можна поділити на їх спільний дільник, якщо він взаємно простий з модулем m.

Якщо

а º b (mod m),

 НСД(k, m)=1, то

a:k º b:k (mod m),

10. Обидві частини конгруенції і модуль можна помножити на одне й те саме натуральне число.

Якщо

а º b (mod m),

то

аk º bk (mod km),

11.  Обидві частини конгруенції і модуль можна поділити на будь-який їх спільний дільник.

Якщо

а º b (mod m),

то

а:k º b:k (mod m:k),

12. Якщо конгруенція має місце за модулем m, то вона матиме місце за будь-яким дільником k¹1 цього модуля.

а º b (mod m),

то

а º b (mod k),

13.  Якщо конгруенція має місце за кількома модулями, то вона матиме місце і за модулем, що дорівнює їх найменшому спільному кратному:  НСК (m;n) = k.

Якщо

a º b (mod m),

а º b (mod n),

то

а º b (mod k).

14. Якщо одна частина конгруенції і модуль діляться на яке-небудь ціле число, то й друга частина конгруенції повинна ділитись на це число.

15. Якщо в многочлені f(х₁ х₂,..., х_n) від n цілих величин х₁ х₂,..., х_n з цілими коефіцієнтами ці величини і коефіцієнти замінити конгруентними з ними величинами і числами за модулем m, то в результаті дістанемо новий многочлен, конгруентний з попереднім за тим самим модулем m.

16. Китайська теорема про остачі. Якщо цілі числа m₁, m₂, m₃, m₄ , … , m_{k ,} то для довільних цілих чисел а₁, а₂, а₃, а₄ , … , а_k існує ціле число х, яке задовольняє умови х º а_і (mod m_і), де i=1,k,  При цьому число х можна вважати числом, яке належить довільному наперед заданому півінтервалу довжиною, дорівнює добутку  m₁∙m₂∙m₃∙m₄∙ … ∙m_k.

17. Теорема. Будь-яке натуральне число когруентне сумі своїх цифр у десятковій системі числення за модулем 9.

18. Теорема Ейлера. Функція кількості взаємно простих чисел для натурального числа n називається функцією Ейлера j(n), для неї виконується конгруенція

a^j(n)º1(mod n).

20. Теорема Ферма.  Для простого числа р виконується конгруенція

а^р-1º1(mod р)

або

а^рºа(mod р).

Задачі для самостійного осмислення.

1. Знайти остачу відділення 9⁴⁵+17 на 56.
2. Знайти остачу від ділення 7⁵⁰+3 на 43.
3. Знайти остачу від ділення 8¹⁰⁰+11¹⁰⁰ на 19.
4. Довести, що вираз 6⁵⁰+7²⁵ ділиться без остачі на 11.
5. Знайти останні три цифри числа 123⁴⁰².
6. Довести, що вираз 8¹⁶+8 ділиться без остачі на число 19.

10.          Довести, що вираз 4²⁰+4² ділиться без остачі на число 17.

11.         Знайти таке а, при якому вираз 5²⁴+7а ділиться без остачі на число 23.

12.         Знайти остачу від ділення 9⁹⁵+27 на 89.

13.         Довести, що остача від ділення 3¹⁹+5⁴⁸ на 23 дорівнює 10.

14.         Довести, що остача від ділення 7∙5⁶+21 на 29 дорівнює 8.

15.         Довести, що остача від ділення 8∙12⁸+3 на 23 дорівнює 21.

16.         Довести, що остача від ділення 9∙15¹¹+2 на 37 дорівнює 25.

      17. Довести, що остача відділення 17∙14⁹+5 на 45 дорівнює 33.

Зауваження. Нехай натуральне число m, більше 2. Зрозуміло, що різні цілі числа при ділення на m можуть давати довільні із остач: 1,2, 3,4, …, m-1. Проте степені цілих чисел з фіксованим натуральним показником n>1 не обов’язково знову даватимуть при діленні на m будь-яку з цих остач.