Завдання на оцінювання цілих та дробових виразів

Часто вживані оцінки для цілих виразів при доведенні нерівностей:

0≤ х²у² ≤ 0,0625=1/16, якщо  х>0, y>0,  y=1- x.

0≤ х²у² ≤ ху≤0,25=1/4, якщо  х>0, y>0,  y=1- x.

0,5≤ х² + у²≤ 1, якщо  х>0, y>0,  y=1- x.

-1≤ х² - у²≤ 1, якщо  х>0, y>0,  y=1- x.

0,25≤ х³ + у³≤ 1, якщо  х>0, y>0,  y=1- x.

-1≤ х³ - у³≤ 1, якщо  х>0, y>0,  y=1- x. 

 0,125≤ х⁴ + у⁴≤ 1, якщо  х>0, y>0,  y=1- x.

0,0625≤ х⁵ + у⁵≤ 1, якщо  х>0, y>0,  y=1- x. 

0,03125≤ х⁶ + у⁶≤ 1, якщо  х>0, y>0,  y=1- x. 

1/2^k-1≤ х^k + у^k≤ 1, якщо  х>0, y>0,  y=1- x.

0≤ х^kу^k≤ 1/2^k, якщо  х>0, y>0,  y=1- x. 

-1≤ х^k - у^k≤ 1, якщо  х>0, y>0,  y=1- x. 

2≤ 2^k-х^k + 2^k-у^k≤ 2^k, якщо  х>0, y>0,  y=1- x.

0,75≤ х² + ху + у²≤ 1, якщо  х>0, y>0,  y=1- x.

(47-14(7)^0,5/27≤ х³ + х²у + у³≤ 1, якщо  х>0, y>0,  y=1- x.

(47-14(7)^0,5/27≤ х³ + ху² + у³≤ 1, якщо  х>0, y>0,  y=1- x.

 3/16≤ х⁴ + х²у² + у⁴≤ 1, якщо  х>0, y>0,  y=1- x.

   3/32≤ х⁵ + х³у² + у⁵≤ 1, якщо  х>0, y>0,  y=1- x.

3/64≤ х⁶ + х³у³ + у⁶≤ 1, якщо  х>0, y>0,  y=1- x.

3/2^2k≤ х^2k + х^kу^k + у^2k≤ 1, якщо  х>0, y>0,  y=1- x. 

 

3/2^k≤ х^k + х^k-nуⁿ + у^k≤ 1, якщо  х>0, y>0,  y=1- x.    

Спосіб обгрунтування оцінки для виразу ху.

Якщо  х>0, y>0,  y=1- x,  тоді

Добуток двох змінних  xу =х(1-х)=х-х²

Квадратична функція  f(x)= х-х² має вершину параболи  (з вітками вниз) в точці (0,5; 0,25), тому  ху=х(1-х)=х-х²≤0,25.

Отже, якщо  х>0, y>0,  х+у =1, то  0<ху≤0,25, при цьому

x = 0,5,  y = 0,5.

Аналогічно доводяться оцінки для інших виразів.

Наприклад використаємо оцінку для виразу:

(1+1/х)(1+1/y)=(1+(х+у)+ху)/ху=2/ху+1 ≥2:0,25+1=9.

Узагальнення оцінок  цілих виразів для випадку  х + у = m.

Довести

Нехай х, y – додатні дійсні числа, для яких х + у = m. Доведіть, що (1+¹/_х) (1+¹/_y) ≥ (²/_m +1)².

Доведення. Оцінимо  цілі вирази:  ху, х²у², х³у³, хⁿуⁿ, х² + у², х²у², х² +ху+ у²    на найбільше  та найменше значення,  а саме

0 ≤ х²у² ≤ 0,0625m²=m²/16, якщо  х>0, y>0,  y=m - x.

0 ≤ ху ≤ 0,25m²=m²/4, якщо  х>0, y>0,  y=m - x.

0,5m² ≤ х² + у² ≤ m², якщо  х>0, y>0,  y=m- x.

-m² ≤ х² - у² ≤ m², якщо  х>0, y>0,  y=m- x. 

0,75m²≤ х² + ху + у²≤ m², якщо  х>0, y>0,  y=m- x.

0 ≤ хⁿуⁿ ≤ 0,25ⁿmⁿ=mⁿ/4ⁿ, якщо  х>0, y>0,  y=m- x. 

3m²/2^2k≤ х^2k + х^kу^k + у^2k≤ m^2k, якщо  х>0, y>0,  y=m- x. 

 

3m²/2^k≤ х^k + х^k-nуⁿ + у^k≤ m², якщо  х>0, y>0,  y=m- x.    

-m²≤ х² - у²≤ m², якщо  х>0, y>0,  y=m- x.

0,25m³≤ х³ + у³≤ m³, якщо  х>0, y>0,  y=m- x.

-m³≤ х³ - у³≤ m³, якщо  х>0, y>0,  y=m- x. 

 0,125m⁴≤ х⁴ + у⁴≤ m⁴, якщо  х>0, y>0,  y=m- x.

0,0625m⁵≤ х⁵ + у⁵≤ m⁵, якщо  х>0, y>0,  y=m- x. 

0,03125m⁶≤ х⁶ + у⁶≤ m⁶, якщо  х>0, y>0,  y=m- x. 

m^k/2^k-1≤ х^k + у^k≤ m^k, якщо  х>0, y>0,  y=m- x.

0≤ х^kу^k≤ m^k/2^k, якщо  х>0, y>0,  y=m- x. 

-1≤ х^k - у^k≤ 1, якщо  х>0, y>0,  y=m- x. 

2≤ 2^k-х^k + 2^k-у^k≤ 2^k, якщо  х>0, y>0,  y=m- x.

0,75≤ х² + ху + у²≤ 1, якщо  х>0, y>0,  y=m- x.

(47-14(7)^0,5/27≤ х³ + х²у + у³≤ 1, якщо  х>0, y>0,  y=m- x.

(47-14(7)^0,5/27≤ х³ + ху² + у³≤ 1, якщо  х>0, y>0,  y=m- x.

 3m⁴/16≤ х⁴ + х²у² + у⁴≤ m⁴, якщо  х>0, y>0,  y=m- x.

   3m⁵/32≤ х⁵ + х³у² + у⁵≤ m⁵, якщо  х>0, y>0,  y=m- x.

3m⁶/64≤ х⁶ + х³у³ + у⁶≤ m⁶, якщо  х>0, y>0,  y=m- x.

Якщо  х>0, y>0,  y=m- x,  тоді

Добуток двох змінних  xу =х(m-х)=mх-х²

Квадратична функція  f(x, m)= mх-х² має вершину параболи  (з вітками вниз) в точці (0,5m; 0,25m²), тому 

0≤ ху = х(m-х) = mх-х² ≤ 0,25m².

Отже, якщо  х>0, y>0,  х+у = m, то  0<ху≤0,25m², при цьому

x = 0,5m,  y = 0,5m.

Аналогічно доводяться оцінки для інших виразів.

Остаточно, отримаємо

(1+1/х)(1+1/y)=(1+(х+у)+ху)/ху=(1+m)/ху+1 ≥

≥ (1+m)/0,25m²+1= 4/m² +4/m +1 =(2/m +1)²

 (²/_m +1)²≤ (1+1/х)(1+1/y) <+oo

Завдання на мінімум без похідної

Нехай a, b, c додатні дійсні числа такі, що

a+b+c=1;  k, m, n - натуральні числа.

Знайти мінімальні значення виразів:

1)A = (2 – a³)/a  + (2 – b³)/b  +(2 – c³)/c   

2)D = (2018 – a^k)/a^m  + (2018 – b^m)/bⁿ  +(2018 – cⁿ)/c^k   

Розв’язання. Відомо,  що a≥0,  b≥0,  c≥0,    a+b+c=1.  

Тоді  0<a≤1,  0<b≤1, 0<c≤1,  тоді

0<ab≤1, 

0<bc≤1,

0<ac≤1.

0<аb + bc +ac≤1/3.

0<a²≤1,    0<a³≤1,  …,  0<aⁿ≤1,  0< b^kaⁿ≤1/2^n+k,   

0<b²≤1,    0<b³≤1, …,  0<bⁿ≤1,   0< b^kcⁿ≤1/2^n+k,   ,    

0<c²≤1,    0<c³≤1,  …,  0<cⁿ≤1,   0< a^kcⁿ ≤1/2^n+k,   ,  

0≤ a^kbⁿc^m≤1/2^n,        1< 1/a^kbⁿc^m <+oo,  

1≤ 1/a <+oo,     1< 1/a^k <+oo,  

1≤ 1/b<+oo,      1< 1/b^k<+oo,     

1≤ 1/c <+oo,      1< 1/c^k <+oo,    

0<а² + b²+c²≤1/3.       0<аb + bc +ac ≤ а² + b²+c² ≤ 1/3

0<а³ + b³+c³≤1/3(3)^0,5.       0<а²b + b²c +ac² ≤ а³ + b³+c³ ≤ 1/3(3)^0,5. 

Нерівність 0<a^k≤1 помножимо на -1. Тоді

 -1≤ - a³<0.

До нерівності  -1≤- a³<0 додамо 2. Тоді

 2-1≤2- a³<0+2,  1 ≤ 2- a³< 2, 

Перемножимо почленно дві додатні нерівності:

 1≤1/a <+oo,   та  1 ≤ 2- a³< 2, 

Отримаємо: 1≤ (2 – a³)/a<+oo.

Аналогічно,  нерівність 0<b³≤1 помножимо на -1. Тоді

 -1≤ - b³<0.

До нерівності  -1≤- b³<0 додамо 2. Тоді

2-1≤2- b³<0+2,  1 ≤ 2- b³< 2, 

Перемножимо почленно дві додатні нерівності:

 1≤1/b <+oo,   та  1 ≤ 2- b³< 2, 

Отримаємо: 1≤ (2 – b³)/b<+oo.

Аналогічно,  нерівність 0<c³≤1 помножимо на -1. Тоді

  -1≤ - c³<0.

До нерівності  -1≤- c³<0 додамо 2. Тоді

2-1≤2- c³<0+2,  1 ≤ 2- c³< 2, 

Перемножимо почленно дві додатні нерівності:

 1≤1/c <+oo,   та  1 ≤ 2- c³< 2, 

Отримаємо: 1≤ (2 – c³)/c<+oo.

Додамо почленно три подвійні нерівності:

1≤ (2 – a³)/a<+oo.

1≤ (2 – b³)/b<+oo.

1≤ (2 – c³)/c<+oo.

Отримаємо:

  3≤ (2 – a³)/a  + (2 – b³)/b  +(2 – c³)/c <+oo.

   

 Найменше значення виразу досягається при а=1, b=1, b=1.

min A =(2 – 1³)/1  + (2 – 1³)/1  +(2 – 1³)/1 =1+1+1=3

Нерівність 0<a^k≤1 помножимо на -1. Тоді

 -1≤ - a^k<0.

До нерівності  -1≤- a^k<0 додамо 2018. Тоді

 2018-1≤2018- a^k<0+2018,  2017 ≤ 2018- a^k< 2018, 

Перемножимо почленно дві додатні нерівності:

 1≤1/a^m <+oo,   та  2017 ≤ 2018- a^k< 2018, 

Отримаємо: 2017≤ (2018- a^k)/a^m<+oo.

Аналогічно,  нерівність 0<b^m≤1 помножимо на -1. Тоді

 -1≤ - b^m<0.

До нерівності  -1≤- b^m<0 додамо 2018. Тоді

 2018-1≤2018- b^m<0+2018,  2017 ≤ 2018- b^m< 2018, 

Перемножимо почленно дві додатні нерівності:

 1≤1/bⁿ <+oo,   та  2017 ≤ 2018- b^m< 2018, 

Отримаємо: 2017≤ (2018- b^k)/bⁿ<+oo.

Аналогічно,  нерівність 0<cⁿ≤1 помножимо на -1. Тоді

 -1≤ - cⁿ<0.

До нерівності  -1≤- cⁿ<0 додамо 2018. Тоді

 2018-1≤2018- cⁿ<0+2018,  2017 ≤ 2018- cⁿ< 2018, 

Перемножимо почленно дві додатні нерівності:

 1≤1/c^k <+oo,   та  2017 ≤ 2018- cⁿ< 2018, 

Отримаємо: 2017≤ (2018- cⁿ)/c^k<+oo.

Додамо почленно три подвійні нерівності:

2017≤ (2018- a^k)/a^m<+oo.

2017≤ (2018- b^k)/bⁿ<+oo.

2017≤ (2018- cⁿ)/c^k<+oo.

Отримаємо:

  6051≤ (2018 – a^k)/a^m + (2018 – b^m)/bⁿ +(2018 – cⁿ)/c^k <+oo.

   

 Найменше значення виразу досягається при а=1, b=1, b=1.

min D =(2018 – 1^k)/1^m + (2018 – 1^m)/1ⁿ +(2018 – 1ⁿ)/1^k=2017+2017+2017=6051