Функціональні способи розв’язування діофантових рівнянь.

Розв’язати в цілих числах нелінійне рівняння:

 х + ух + у² + х³=0.

Розв’язання.

1)Спосіб зведення до квадратного рівняння відносно однієї змінної:

Дане рівняння розглянемо як квадратне відносно змінної у.

у²+xу + х - х³ =0,            (*)

Коефіцієнти квадратного рівняння:

   a=1, b(х)= x, c(х)= х - х³

Дискримінант D(х)=4х³+х² - 4х даного рівняння залежить від змінної х і є кубічним многочленом, що має три дійсних корені. Тому розкладемо його на множники, аби побудувати схематично графік для знаходження проміжків знакосталості функції дискримінанта:

D(х)=4х³+х² - 4х = x(4х² + х  – 4);

D(х)= 4x(x+0,125+0,125(65)^0,5) (x+0,125-0,125(65)^0,5).

Для того, щоб нулі многочлена

у²+xу + х - х³

 були не ірраціональними числами, варто накласти умову

на вираз  дискримінанта:  x(4х² + х  – 4) = m².

Квадратний многочлен 4х² + х  – 4 не розкладається на цілі множники, отже треба розглядати лише випадок взаємної рівності обох множників. А  саме, якщо х = m,  тоді 4х² + х  – 4= m,

де   m -ненульове число, а це означає наступне рівняння:

х =4х² + х  – 4= m;  

4х²– 4=0;

х²– 1=0;

х₁  =-1;

х₂  =1.

Якщо m=0, тоді  х = 0. А це означає, що

у²+0у + 0 - 0³=0, тому у² =0, у=0. Тобто пара(0;0) є розв’язок рівняння (*).

Схематично побудуємо  графік  D(х)=4х³+х² - 4х

у=4х3+х2 - 4х

х3» 0,883

х2= 0

х1» -1,132

На проміжках знакосталості,  де функція дискримінанта

D(х)=4х³+х² - 4х

невід’ємна(це умова того, що квадратне рівняння (*) має дійсні корені),  можна знайти цілі числа для змінної х ( а саме х=-1, х=0, х=+1, х=2, х=3,  і так далі). Тепер варто підставити тільки цілі значення змінної х у дане діофантове рівняння (*) для того, щоб знайти цілі  змінні у.

а)Якщо  х=-1, а це означає, що у²-1у -1- (-1)³=0,

тому  у² - у =0, отримуємо корені  у=0, у=1.

Тобто дві пари (-1;0)  (-1;1)    є розв’язками рівняння (*).

б)Якщо х=0, а  це означає, що у²+0у + 0 - 0³=0,

 тому у² =0,  отримуємо корінь у=0.

Тобто пара (0;0) є розв’язок рівняння (*).

в) Якщо х=+1, а це означає, що у²+1у + 1 - 1³=0,

тому у² + у =0,  отримуємо корені у = 0, у = -1.

Тобто дві пари (1;0)  (1;-1)    є розв’язками рівняння (*).

Випадок, коли  х>2  не будемо розглядати, бо тоді, як показали вище, квадратний корінь з дискримінанта  є ірраціональним числом, що дає  підстави для відхилення цих випадків, бо корені квадратного рівняння відносно у не будуть цілими числами.

 Відповідь:  (1;0),  (1;-1),   (-1;0),  (-1;1), (0;0) .   

2)Спосіб Вінницького( занулення доданків многочлена, якщо одна змінна відсутня в іншій частині рівняння).

У правій частині  рівняння зробимо одну змінну:

 х + ух + у² = х³

 ух + у² = х³ - х

Якщо розглянемо ліву і праву частину, які дві функції на їх проміжках існування та неперервності, то отримаємо:

а(х, у)=р(х)  

Останню рівність  треба розуміти, як рівні між собою функції на проміжках існування та неперервності.

а(х, у)=  р(х)= ух + у²

а(х, у)=  р(х) = х³ - х

Перетворимо однозмінну функцію у двозмінну функцію, зануливши відсутню у виразі змінну:

р(х) =  х³ - х = х³ – х+ 0 = р(х, 0) = р(х, 0у)=  х³ – х+0у

Правило таке: якщо змінна відсутня, то її замінюємо нулем(добуток нуля на цю змінну).

Таким чином

а(х, у)=р(х)= р(х, 0)=  р(х, 0у)= а(х, 0)= ух + у²=0

Аналогічно,

 а(х, у)=  р(х) = р(х, 0у)= а(х, 0)=  х³ – х=0.

Отже маємо систему двох рівнянь: ух + у²=0;  х³ – х=0.

Друге рівняння з однією змінною:

х³ – х=0;   х(х²-1)=0,  х(х-1)( х+1)=0,     

 х=0,  х=1,  х= -1.

Отримаємо три рівняння з невідомим у:

Якщо х=0, то  у0 + у²=0;   у=0;  отже  (0;0).

Якщо х=1, то  1у + у²=0;  у=0; у=-1; отже (1;0) (1;-1).

Якщо х=-1, то  -1у + у²=0;  у=0; у=1;  отже (-1;0) (-1;1).

Відповідь:  (1;0),  (1;-1),   (-1;0),  (-1;1), (0;0) . 

Задача. Знайти всі такі многочлени Р_n(х) та Q_m(х) (які не дорівнюють постійним числам), що задовольняють рівність:

Р²_n(х)+ Q²_m(у)= Р_n(у²)+ Q_m(х²)       (**)

Розв’язання. Будь-який многочлен можна розкласти на множники на полі комплексних чисел.

Р_n(х)=(х-р₁)(х-р₂)(х-р₃)… (х-р_n-2)(х-р_n-1)(х-р_n)

Р_n(у²)=(у²-р₁)(у²-р₂)(у²-р₃)… (у²-р_n-2)(у²-р_n-1)(у²-р_n)

Р²_n(х)=(х-р₁)²(х-р₂)²(х-р₃)²… (х-р_n-2)²(х-р_n-1)²(х-р_n)²

Q_m(х)=(х-q₁)(х-q₂)(х-q₃)… (х-q_m-2)(х-q_m-1)(х-q_m)

Q_m(х²)=(х²-q₁)(х²-q₂)(х²-q₃)… (х²-q_m-2)(х²-q_m-1)(х²-q_m)

Q²_m(у)=(у-q₁)²(у-q₂)²(у-q₃)²… (у-q_m-2)²(у-q_m-1)²(у-q_m)²

Розведемо змінні х та у по різним сторонам рівності, отримаємо:

Р²_n(х) - Q_m(х²) = Р_n(у²) - Q²_m(у)

Многочлени( це неперервні функції)від різних змінних рівні між собою, це можливо, якщо одночасно виконуються рівності:

Р²_n(х) - Q_m(х²) = 0,   тому Р²_n(х)= Q_m(х²)

Р_n(у²) - Q²_m(у) = 0,   тому Р_n(у²)= Q²_m(у)

Рівність різно іменних многочленів означає, що

у многочленів Р²_n(х)  та Q_m(х²) – рівні між собою усі нулі(корені), тобто будь-який корінь  ще задовольняє умову:

(х-q_і)² =(х²-q_і);

  х²-2хq_і+ q_і² = х²-q_і;

q_і² - хq_і = 0;

(q_і – х)q_і = 0;

q_і = х,  - не задовольняє умови, бо многочлен не є константою

q_і = 0;

Отже,  два многочлени мають тільки нульові корені, тому

вони записуються  у вигляді:  Р_k(х)= Q_k(х)= х^k , де k – натуральне число. Безпосередня перевірка многочленів  виконується для рівності (**).

Відповідь: Р_k(х)= Q_k(х)= х^k_, де  k – натуральне число.