ЦІкаві властивості многочленів

 Приклади цікавих властивостей многочленів з цілими коефіцієнтами. Спробуйте самостійно осмислити ці властивості, навівши по декілька прикладів, які будуть відповідають умовам  кожної властивості.

Властивість 1.  Довільний многочлен від однієї змінної з цілими коефіцієнтами приймає тільки непарні значення при будь-яких цілих значеннях змінних, якщо у нього одночасно виконуються умови:

1) многочлен має вільний член, що виражений непарним числом;

2) сума усіх коефіцієнтів  многочлена, без вільного члена, парна.

Властивість 2.  Довільний многочлен від однієї змінної з цілими коефіцієнтами набуває тільки непарні значення при будь-яких цілих значеннях змінних, якщо у нього кількість непарних коефіцієнтів  многочлена, із вільним членом, непарна.

Властивість 3.   Довільний многочлен від однієї змінної з цілими коефіцієнтами немає цілих коренів, якщо у нього одночасно виконуються умови:

1) многочлен має вільний член, що виражений непарним числом;

2) сума усіх коефіцієнтів  многочлена, окрім вільного члена, парна.

Властивість 4.   Довільний многочлен від однієї змінної з цілими коефіцієнтами немає натуральнихкоренів, якщо у нього одночасно виконуються умови:

1) многочлен має вільний член;

1) усі  коефіцієнти  многочлена разом з вільним членом, одного знаку.

Властивість 5.   Довільний многочлен від однієї змінної з цілими коефіцієнтами має корінь 1, якщо у нього сума усіх коефіцієнтів рівна нулю.

Властивість 6.   Довільний многочлен від однієї змінної з цілими коефіцієнтами одного знаку має корінь х = -1, якщо у нього сума усіх коефіцієнтів, що стоять при парних степенях змінної, включаючи вільний член, рівна  сумі  усіх коефіцієнтів, що стоять при непарних степенях змінної.

Властивість 7.   Довільний многочлен від однієї змінної з дійсними коефіцієнтами  має хоча б один дійсний корінь, якщо у нього коефіцієнти при найбільшому степені  змінної  і вільний член – це два числа, що мають різні знаки.

Властивість 8.   Довільний многочлен парного степеня(окрім нульового степеня) від однієї змінної з дійсними коефіцієнтами  має хоча б два дійсних корені, якщо у нього коефіцієнти при найбільшому степені  змінної  і вільний член – це два числа, що мають різні знаки.

 при цьому знаки дійсних коренів різні.

Властивість 9.   Довільний многочлен f(x) парного степеня(окрім нульового степеня)  від однієї змінної з дійсними коефіцієнтами  має хоча б один дійсний корінь, якщо знайдеться таке натуральне n таке, що добуток f(n)f(0)< = 0. 

Властивість 10.  Якщо довільний многочлен від однієї змінної з цілими коефіцієнтами не приймає  парні значення при будь-яких цілих значеннях змінних, то у нього немає цілих коренів.

Властивість 11.  Якщо довільний парного степеня многочлен від однієї змінної з цілими коефіцієнтами приймає  значення  тільки одного знаку(або тільки додатні, або тільки від’ємні) при будь-яких цілих значеннях змінних, то у нього немає цілих коренів.

Властивість 12.   Довільний многочлен f(x) будь-якого степеня(окрім нульового степеня)  від однієї змінної з цілими коефіцієнтами  має парним значенням  наступне число f(а) + f(-а) та парне значення:  f(а):а + f(-а):(-а)=0, де а – вільний член многочлена.  Тобто, корнем многочлена

 f(х):х + f(-х):(-х)=0 є вільний член f(x).

Спираючись на відомі властивості цілої раціо­нальної функції, легко встановити відповідні властивості рівнянь, Так, зокрема, число коренів алгебраїчного рівняння, що складається з  многочлена степеня n (якщо кожний корінь лічити стільки разів, яка його кратність) дорівнює n. Справедливими будуть також і формули Вієта, що виражають залежності між коренями та коефіцієнтами алгебраїч­ного рівняння.

Розв'язати алгебраїчне рівняння алгебраїчно означає вирази­ти його корені через коефіцієнти за допомогою шести алгебраїч­них дій (додавання, віднімання, множення, ділення, піднесення до степеня та добування кореня з натуральним показником).

Алгебраїчне рівняння степеня   n

а₀хⁿ + а₁x^n-1 + . . . + а _n-1 х + a_n = 0

з буквеними коефіцієнтами можна розглядати як рівняння

f(х, а_о, а₁, . . ., а_n) = 0

з параметрами а_о, а₁, ..., а_n . Значення параметрів, при яких

f(х, а_о, а₁, . . ., а_n)

має смисл, називаються допустимими.

Розв'язати рівняння з параметрами означає знайти вся його розв'язки для кожної системи допустимих значень параметрів. Якщо не зазначено меж зміни параметрів, то вважається, що вони, набувають всіх своїх допустимих значень. Допустимими значеннями параметрів – коефіцієнтів алгебраїчного рівняння n-го степеня вва­жаються сукупності дійсних або комплексних чисел. Найпростішим з алгебраїчних   рівнянь є рівняння лінійного виду

а_оx + а₁ = 0.

Воно рівносильне рівнянню

x + p₁ = 0, якщо а₀ – ненульове число.

Дещо складнішим є квадратне рівняння

а₀х² +а₁х + а₂ = 0

з параметрами  а_о, а₁, а₂. 

Поділивши   обидві   його частини  на ненульовеа_о,

дістанемо:

х² +p₁х + р₂ = 0,

Теорема (Вієтa). Якщо х₁, x₂ — корені зведеного квадратного рівняння

х² + рх + q = 0,

 то маємо: х₁+ x₂ = -р,   х₁∙x₂ = q.

Наслідок 21. Величина х² + рх + q:

·                       додатна, якщо тричлен не має дійсних коренів або значення аргументу х більше, ніж більший корінь, чи менше, ніж мен­ший корінь цього тричлена;

·                       від'ємна, якщо тричлен має дійсні корені, а значення аргумен­ту х лежить в інтервалі між ними.

Наслідок. Залежність від  р і q розташування коренів  х₁, x₂ тричле­на

 х² + рх + q

відносно нуля за умови існування коренів р² - 4q > 0 така:

якщо q > 0, то корені мають один знак, що протилежний до знака р;

якщо q < 0, то корені мають протилежні знаки, а знаки р і меншого за модулем кореня збігаються;

якщо q = 0, то коренями є 0 і - р.

Кубічне рівняння

а_ох³ + а₁х² + а₂х + а₃ = 0

 в загальному  випадку  має три   істотні   параметри,   бо  його можна звести до  вигляду, якщо поділити всі коефіцієнти на ненульове а_о

x³ + p₁x² + p₂x+ p₃ = 0  (1)

Загальне алгебраїчне  рівняння четвертого степеня

а_ох⁴ + а₁х³ + а₂х² + а₃х + а₄ = 0 = 0,

якщо поділити всі коефіцієнти на ненульове а_о, томожна записати  так:

х⁴ +  p₁x³ + p₂x² + p₃x+ р₄ = 0,      (2)

У кожному з розглянутих алгебраїчних рівнянь число істотних параметрів (коефіцієнтів) дорівнює його степеню. Очевидно, будь-яке   алгебраїчне   рівняння   n-го степеня  можна   звести   до   такого вигляду,  якщо поділити всі коефіцієнти на ненульовеа_о,

хⁿ + р₁х^n-1 + . . . + р_n-1х + р_n = 0    (3)

Тому максимально можливе в ньому число істотних параметрів до­рівнює n. Якщо в рівнянні (3) всі коефіцієнти (параметри) від­мінні від нуля інезалежні між собою, то його називають загаль­ним зведеним алгебраїчним рівнянням.

Є алгебраїчні рівняння, коефіцієнти яких – певні вирази, що містять інші   параметри 

а_о, а₁, . . ., а_n,

тобто

а_о = q(а_о, а₁, . . ., а_n)

а₁ = v(а_о, а₁, . . ., а_n)

……………………….

a_n = s(а_о, а₁, . . ., а_n).

Наприклад,   у  рівнянні  

x² + (а₁ + а₂)х + а₁а₂ = 0

є такі параметри

f_о = 1

f₁ = а_о+а₁

f₂ = а_оа_1.

У загальному зведеному алгебраїчному рівнянні (3) число параметрів а_о, а₁, . . ., а_n,

не може бути меншим за n, оскільки коефіцієнти р₁, р₂, ..., р_n повинні бути незалежними між собою. Параметри а_о, а₁, . . ., а_n,  будемо   називати  допоміжними.

Якщо алгебраїчне рівняння зведено до вигляду (3), а коефіцієнти р₁, р₂, ..., р_n є залежними, тобто є функціями, то виражають його корені рівняння (3)через його коефіцієнти-функції. Проте значно складнішою буде задача побудови безпосередньо формул для коренів рівняння (3) за допомогою допоміжних параметрів (якщо, звичайно, такі формули існують). Ідея в найпростіших випадках полягає у тому, що основні параметри рівняння (3) замінюють допоміжними так, щоб корені утвореного рівняння: легко знаходились і виражались через допоміжні параметри, а ті потім від допоміжних параметрів переходять до основних. Цей метод називається методом допоміжних параметрів.

Довідник. Формули скороченого множення

для трьох змінних

Однією з таких якісних характеристик може бути парність.

Використаємо ще такі властивість парності чисел:

  2∙n + 2∙k + … + 2∙f + 2∙q = 2∙(n + k + … + f  + q) = 2∙m

СУМА БУДЬ-ЯКОЇ КІЛЬКОСТІ ПАРНИХ ЧИСЕЛ ЗАВЖДИ ПАРНА.

2∙n – 2∙k – … – 2∙f – 2∙q = 2∙(n – k – … – f  – q) = 2∙m

РІЗНИЦЯ БУДЬ-ЯКОЇ КІЛЬКОСТІ ПАРНИХ ЧИСЕЛ ЗАВЖДИ ПАРНА.

(2∙n -1)+ (2∙k-1)+ … + (2∙f-1) + (2∙q-1) = 2∙(n + k + … + f  + q)- 2s = 2∙(m-s)

СУМА ПАРНОЇ КІЛЬКОСТІ НЕПАРНИХ ЧИСЕЛ ЗАВЖДИ ПАРНА.

(2∙n -1)+ (2∙k-1)+ … + (2∙f-1) + (2∙q-1) = 2∙(n + k + … + f  + q)- 2s -1 = 2∙(m-s) - 1

СУМА НЕПАРНОЇ КІЛЬКОСТІ НЕПАРНИХ ЧИСЕЛ ЗАВЖДИ ПАРНА.

Таким чином, парність результату суми та різниці натуральних чисел не залежить від розстановки плюсів і мінусів, а залежить тільки від кількості непарних чисел в початковому наборі. Зрозуміло, що сума будь-якої кількості парних чисел є  завжди парним числом.

х²+ху+у² = 0,5(х²+у²) +0,5(х+у)^{2 - невід'ємний вираз}

Довідник. Формули скороченого множення

Властивості степенів з цілим показником

аⁿa^m=a^n+m;    аⁿ:a^m=a^n-m;     (аⁿ)^m=a^nm;     а⁰=1;     а^-n=1:aⁿ;    а=а^0,5a^0,5=1a¹ =(a^0,5)²;

(ab)^m = a^mb^m ;  (1/a^{– m})(1/ b^{– m} )=1/(ab)^-m;         a^m:b^m = (a:b)^m = b^{– m} a^{– m} =(b:a) ^{– m}       

   

Різниця та сума квадратів

a² + b² – не розкладається  на множники на множині цілих чисел.

a² – b² = (a – b)(a + b) – це різниця квадратів двох виразів.

х²+ху+у² = 0,5(х²+у²) +0,5(х+у)²

Різниця та сума кубів

а³ – b³ = (a – b)(a² + аb + b²) – це різниця кубів двох виразів.

а³ + b³ = (a + b)(a² – аb + b²) – це cума кубів двох виразів.

Різниця та сума біквадратів

а⁴ – b⁴ = (a – b)(a³ + а²b + аb² + b³) = (a – b)(a + b)( a² + b²);

а⁴ + b⁴  - не розкладається на множники

а⁵ – b⁵= (a – b)(a⁴+ а³b + а²b² + аb³ + b⁴);

а⁵ + b⁵= (a+b)( a⁴ – а³b + а²b² – аb³ + b⁴);

a^2m + b^2m  - не розкладається на множники

аⁿ – bⁿ = (a–b)( a^n-1+ а^n-2b + а^n-3b² +… + а²b^n-3 + аb^n-2 + b^n-1);

Якщо  b =1, тоді  аⁿ – 1= (a–1)( a^n-1+а^n-2  + а^n-3  +… +а² + а + 1);

Степінь суми двох виразів.

(a±b)⁰ = 1;        (a±b)¹ = a±b;  1:aⁿ ±(1:bⁿ) =a^-n±b^-n=(ab)^-n(aⁿ ± bⁿ) =a^-n ± b^-n 

Квадрат  двочлена:

(a + b)² =(b + a)² = a² + 2ab + b² –  це квадрат суми двох чисел.

(a – b)² =(b – a)² = a² – 2ab + b² –  це квадрат різниці двох чисел.

Куб  двочлена:

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³  – це куб суми двох чисел;

(a – b)³ = a³ – 3a²b + 3ab² – b³  – це куб суми або різниці двох чисел;

Іноді стають у нагоді такі формули:

(a±b)⁴ = a⁴±4a³b +6a²b² ±4ab² + b⁴;

(a±b)⁵ = a⁵±5a⁴b +10a³b² ±10a²b³ +5ab⁴ ± b⁵;

(a±b)⁶= a⁶±6a⁵b +15a⁴b² ±20a³b³ +15a²b⁴ ±6ab⁵ +b⁶.

Для непарних n: аⁿ + bⁿ = (a+b)( a^n-1-а^n-2 b + а^n-3b² -… +а²b^n-3 - аb^n-2 + b^n-1);

Якщо  b =1, тоді a²ⁿ⁺¹ + 1= (a+1)( a^n-1- а^n-2  - а^n-3  +… +а² - а + 1);

Сума трьох квадратів і сума трьох кубів.

а³ + b³ + c³ - 3abc = (a+b+c)(a² + b² +c² –аb–bc–ac);

(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2аb + 2bc +2ac;

Три способи запису квадратного тричлена

ax² + bx + c = а(х – х₁)(х – х₂)= а(х - 0,5b:a)² – 0,25D:a.

Дискримінант D = b² – 4ac.  Два корені:   х₁ = (‒ b ‒ (b² ‒ 4ac)^0,5 )/(2a),  х₂ = (‒ b + (b² ‒ 4ac)^0,5 )/(2a).   Координати вершини  квадратичної  параболи: х_в = - 0,5b:a;  у_в =  - -0,5b:a.

х²+ху+у² = 0,5(х²+у²) +0,5(х+у)²

 xy + x + y  + а = (х + 1)(y + 1) + а - 1_. 

 xy + x + y  + 1= (х + 1)(y + 1)

aху + bх + cу + d = (x + c:a)(ау + b) + d – (cb:a).

Якщо b² ‒ 4ac – невід’ємний,  то ax² + byх + cy² = а(х ‒ k₁y) (х ‒ k₂y),

де k₁, k₂ ‒ корені квадратного рівняння  ak² + bk + c = 0.

Добутки двох множників, що містять три змінні

(a + b + c)² = (a + b + c)(a + b - c)=  a² + b² + c² + 2аb + 2bc +2ac;

(a + b + c)(a + b - c)= (a + b)² – c² = a² + 2ba+ b² – c²;

(a - b + c)(a + b - c)= a² - b² + 2bc – c² = a² -(c - b)²;

(a - b - c)(a - b - c)=    a² + b² + c² + 2bc – 2ab -2ac  = a² -(c - b)²;

(a - b - c)(a + b - c)=    a² - b² + c² -2ac  =(a - c)² -b²;

Добутки трьох множників, що містять три змінні

Завдання 1.

Чому не існує трійки цілих чисел ( a; b; c),  яка задовольняє такі рівняння:

А) (a+ b)(a + c)(b + c)= 1;     Б) (a - b)(a - c)(b - c)= 1;

В) (a + b)(a - c)(b - c)= 1;      В) (a + b)(a - c)(b - c)= 1;

Г) (a + b)(a + c)(b - c)= 1?

Відповідь.  (a+ b)(a + c)(b + c) - цей вираз завжди парне число,  якщо усі змінні – це  цілі числа.

Завдання 2.

Чи існують трійки цілих чисел ( a; b; c),  які задовольняє 

А) (a - b)(a - c)(b - c)= 2;     А) (a - b)(a - c)(b - c)= 0;

Відповідь. А) Існують такі трійки чисел: (n; n-1; n-2)   (n; n-1; n+1) (n; n+2; n+1), де  n - ціле числа.   Б) Існують такі трійки чисел: (n; n; k)   (k; n; n) (n; k; n), де  n, k - цілi числа.  

(a - b)(a - c)(b - c)=  a²b -аb² + ac²- a²c  + b²c - bc²  - цей вираз завжди парне число,  якщо усі змінні – це  цілі числа.

(a + b)(a + c)(b + c)=  a²b +аb² + ac²+ a²c  + b²c + bc² +2abc;    - цей вираз завжди парне число,  якщо усі змінні – це  цілі числа.

(a - b)(a + c)(b - c)=  a²b -аb² - ac²- a²c  - b²c + bc² +2abc; - цей вираз завжди парне число,  якщо усі змінні – це  цілі числа.

 (a - b)(a + c)(b + c)=  a²b - аb² + ac²+ a²c  - b²c - bc²;  - цей вираз завжди парне число,  якщо усі змінні – це  цілі числа.   

Завдання 3.

Знайти трійку чисел ( a; b; c)  яка задовольняє   (a - b)(a - c)(b - c)= -1 

Сума трьох квадратів із трьох змінних

(a + b + c)² +(a - b - c)² +(a + b - c)² = 3a² + 3b²+ 3c²+ 2а²b + 2аb² -2a²c

  цей вираз буде непарним числом, якщо тільки одна змінна є  непарне число  або  усі три змінні є непарними числами.

(a + b + c)(a - b - c)(a + b - c) = a³ - b³ +c³ + а²b - аb² -a²c - c²a - b²c + c²b+2abc;

а³ + b³ + c³ - 3abc = (a+b+c)(a² + b² +c² –аb–bc–ac);

(a + b - c)² = a² + b² + c² + 2аb - 2bc -2ac;

(a - b - c)² = a² + b² + c² - 2аb + 2bc -2ac;

(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2аb + 2bc +2ac;

(a + b + c)³ = a³ + b³+ c³+ 3а²b + 3аb² +3a²c +3ac²+3b²c+3bc²+6abc;

(a - b - c)³ = a³ - b³- c³- 3а²b + 3аb² -3a²c +3ac²-3b²c-3bc²+6abc;

(a + b - c)³ = a³ + b³- c³+ 3а²b + 3аb² -3a²c +3ac²-3b²c+3bc²-6abc;

(a + b + c)(a + b - c)(a - b + c)(a + b + c) = (a² – (b - c)²) (a + b + c)²

(a + b + c)(a + b - c)(a - b + c)(b + c- а) = 2a²c² +2b²c² +2b²a² – a⁴– b⁴– c⁴

Комбіновані способи розкладання на  множники

Є багато таких многочленів від декількох змінних, розкладання яких на множники вимагає неабиякої кмітливості.

Наприклад, розкласти на множники многочлен (a – b)³ + (b – c)³ + (c – a)³

Розв’язання: 1 спосіб:

(a – b)³ + (b – c)³ + (c – a)³ = ((a – b)³ + (b – c)³) + (c – a)³ =

= ((a -b) + (b - c))((a - b)² - (a - b) (b - c) + (b- c)²) + (c – a)³ =

= (a – c)((a-b)²-(a-b)(b-c) + (b-c)² )-(a-c)³ =

= (a – c)((a – b)² – (a – b)(b – c)+(b – c)² – (a – c)²) =

= (a – c) (a² – 2ab + b² – ab + ac + b² – bc + b² – 2bc + c² – a² + 2ac – c²) =

= (a – c)(3b² – 3ab + 3ac – 3bc) =  = 3 (a – c)(b² – ab + ac – bc) =

= 3(a – c)((b³ – ab ) – (bc – ac)) =  = 3(a – c) (b(b – a) – c (b – a)) =

= 3(a – c)(b – a)(b – c) =

= 3 (a – b)(b – c)(c – a).

Набагато простіше і природніше таке розв’язання:

2 спосіб:

(a – b)³ + (b – c)³ + (c – a)³ =

a³ – 3a²b + 3ab² – b³+ b³ – 3b²c + 3bc² – c³ + c³ – 3c²a + 3ca² – a³ =

= -3a²b + 3ab² – 3b²c + 3bc² – 3c²a + 3ca² =

=  -3ab(a – b) + 3c(a² – b²) – 3c² (a – b)  =

= 3(a – b)((a + b)c – ab – c²) = 3(a –b)(a(c – b) + c(b – c)) =

= 3(a – b)(b – c)(c – a).

Пропонуємо розглянути  такі приклади:

1. a⁴ + 4 = a⁴ + 4a² + 4 – 4a² = (a² + 2)² – 4a² = (a² – 2a + 2)(a² + 2a + 2);

2. a⁴ + a² + 1 = a⁴ + 2a² + 1 – a² = (a² + a + 1)(a² – a + 1);

3. а⁵ + a +1 = a⁵ + a⁴ – a⁴ + a³ – a³ + a² – a²  + a + 1 = = (a⁵ + a⁴ + a³) – (a⁴ + a³ + a²) + (a² + a + 1) = (a² + a + 1)(a³ – a² + 1);

4. a¹⁰ + a⁵ + 1 = (a¹⁰ + a⁹+ a⁸) – (a⁹ + a⁸ + a⁷) + (a⁷ + a⁶ + a⁵) – (a⁶ + a⁵ + a⁴) +

+ (a⁵ + a⁴ + а³) – (a³ + a² + a) + (a² + a + 1) = (a² + a + 1)(a⁸ – a⁷ + a⁵ – a⁴ + a³ – a + 1);

5. a³ + b³ + c³ – 3abc = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ + c³ – 3abc –3a²b – 3ab² =

= ((a + b)³+ c³) – 3ab(a + b + c) = = (a + b + c)(a² + 2ab + b²  – ac – bc + c²) –3ab(a +b + c) = (a + b +  c)(a³ + b³ + c² – ab – ac – bc).

6. a⁴ + 4b⁴ = a⁴ + 4a²b² + 4b⁴– 4a²b² = (a² +2b²)² – (2ab)² = (a² – 2ab + 2b²)(a² + 2ab + 2b²);

7. 4a⁴ + b⁴ = 4a⁴ + 4a²b² + b⁴– 4a²b² = (2a² +b²)² – (2ab)² = (2a² – 2ab + b²)(2a² + 2ab + b²);

Завдання для самостійного розв’язання

1.    Розкласти на множники многочлени:

(a – b)³ + (b – c)³ + (c – a)³ =  3(a – b)(b – c)(c – a)

а) (k – m)³ + (m – n)³ + (n – k)³ ;               б) (k – m)³ + (m – n)³ + (n – k)³ ;  

в) (x – y)³ + (y – z)³ + (n – z)³ ;                  г) (k – m)³ + (m – n)³ + (n – k)³ ; 

д) (2p – 3q)³ + (3q – 4g)³ + (4g – 2p)³ ;     е) (7 – 5s)³ + (5s – 6t)³ + (6t – 7)³ ;

є) (8p – 9)³ + (9 – 5g)³ + (5g – 8p)³ ;         ж) (1 – 4s)³ + (4s – 3t)³ + (3t – 1)³ .                               

2.    Розкласти на множники многочлени:

a⁴ + 4 = (a² – 2a + 2)(a² + 2a + 2)

A) а)  b⁴ + 4;  б)  m⁴ + 4; в)  4+ х⁴;  г) 4+ у⁴; д)  k⁴ + 4; е)  q⁴ + 4;  є)  4+ p⁴;  

Б)а)  16b⁴ + 4;  б)  4+ 81m⁴; в)  256q⁴ + 4;   г)  625p⁴ + 4; д)  10000x⁴ + 4; 

В)а) (¹/₈₁)y⁴ +4; б) (¹/₁₆)k⁴ +4; в) (¹⁶/₈₁)a⁴ +4; г) 0,0016g⁴ +4; д)  0,0081m⁴ + 4.  

3.     Розкласти на множники многочлени:

4a⁴ + b⁴ = (2a² – 2ab + b²)(2a² + 2ab + b²)

a⁴ + 4b⁴ = (2b² – 2ab + a²)(2b² + 2ab + a²)

A) а)k⁴ + 4m⁴; б) y⁴ + 4x⁴; в) p⁴ + 4q⁴; г) t⁴ + 4s⁴; д) 3u⁴ + 12w⁴; е)9x⁴ + 36q⁴;   

Б) а) 4x⁴ + z⁴; б) 4x⁴ + y⁴;  в)4p⁴ + q⁴; г) 4t⁴ +s⁴; д) 20u⁴ + 5w⁴; е)36x⁴ +9q⁴;   

В) а) 81p⁴ +4; б) 64п⁴+ 4; в)16k⁴ + 4; г) 9y⁴ + 36; д) 36q⁴ + 9u⁴; е)4b⁴ +81;    Г) а)4m⁴ + m⁸; б) x⁸ + 4x⁴;  в)36p¹⁶ +9q⁸; г)81p⁸ + 64p¹⁶; д) 4k⁸+625k⁴.

4.       Розкласти на множники многочлени:

a⁴ + a² + 1 = (a² + a + 1)(a² – a + 1)

 а) b⁴ + b² + 1; б) x⁴ + x² + 1; в) q⁴ + q² + 1; г) p⁸ + p⁴ + 1.

5.    Розкласти на множники многочлени:

а⁵ + a +1 = (a² + a + l)(a³ – a² + 1)

а) b⁵ + b + 1; б) x⁵ + x + 1; в) q⁵ + q + 1; г) p¹⁰ + p² + 1.

6.    Розкласти на множники многочлени:

a¹⁰ + a⁵ + 1 = (a² + a + 1)(a⁸ – a⁷ + a⁵ – a⁴ + a³ – a + 1)

а) b¹⁰ + b⁵ + 1; б) x¹⁰ + x⁵ + 1; в) q¹⁰ + q⁵ + 1; г) p²⁰ + p¹⁰ + 1.

7.    Розкласти на множники многочлени:

a³ + b³ + c³ – 3abc =(a + b +  c)(a² + b² + c² – ab – ac – bc).

а) x³ + y³ + z³ – 3xyz;      б) k³ + m³ + n³ – 3kmn.

РОЗКЛАД  НА МНОЖНИКИ МНОГОЧЛЕНІВ

СТУПЕНІ БІЛЬШЕ 2

Для будь-якого многочлена степеня більше 2 доводиться, що існує квадратний тричлен, на який даний многочлен ділиться без остачі.

Для многочлена третього ступеня

Р₃(х) = ах³ + bх² + сх + d  

можливе одне з двох:

a) або він розкладається в добуток трьох лінійних двочленів, тобто

Р₃(х) = а(х – x₁)(х – x₂)(х – x₃),

де числа  x_1,  x_2,  x₃  - нулі многочлена  третього ступеня не обов'язково різні

б)  або він розкладається в добуток двочлена і квадратного тричлена, тобто

Р₃(х) = а(х - x₁)(х² + px + q).

Приклад.   Розкласти многочлени на множники:

а) х³ + х – 2;      б) х³ – 3х + 2.

Розв’язання.

а) х³ + х – 2 = (х³ – 1) + (х – 1) = (x - 1)(х² + x +1)+(х +1)= (x - 1) (х² + x +2).

Дискримінант квадратного тричлена х² + x +2 менше нуля; тому на множники він не розкладається.

б) х³ – 3x + 2 = х³ – x – 2x + 2  =  х (х² – 1) – 2(х – 1) = (х–1)(х+1)х–2(х–1) =  (х–1)(х² + х – 2) = (х–1)(х² – 1+ х – 1)= (х-1)(х-1)(х + 2) = (x-1)²(х+2).

Многочлен четвертого степеня

Р₄ (х) = ах⁴ + bх³ + сх² + dх + f

розкладається:

а) або  на добуток чотирьох двочленів:

Р₄(х) = а(х – x₁)(х – x₂)(х – x₃)(х – x₄),

де числа x_1,  x_2,  x_{3 ,} x₄  нулі многочлена четвертого ступеня  не обов'язково різні;

б) або на добуток двох двочленів і   квадратного тричлена:

Р₄(х) = а(х – x₁)(х – x₂)(х² + pх +q),

де числа x_1,  x₂  не обов'язково різні;

в) або на добуток двох квадратних тричленів:

Р₄(х) = a(х² + cх + b)(х² + px + q),

де одночасно можлива рівність с = p  і b = q.

Приклад.   Розкласти на множники:

а) х⁴ – 5х² + 6;       б) х⁴ + 5х² + 6;      в) х⁴ + х³ – х – 1;  г) х⁴ + 4.

Розв’язання.

а) х⁴ - 5х² + 6 =  (х² - 3)(х² - 2) =  (х - 3^0,5)(х + 3^0,5)(х– 2^0,5)(х + 2^0,5);

б) х⁴ + 5х² + 6 =  (х² + 3)(х² + 2);

в) х⁴ + х³ – х – 1= х³(х+1) – (х+1) =  (х+1)(х³-1) = (х+1)(x -1)(х² + х+1);

г) х⁴ + 4 = х⁴ + 4х² + 4 – 4х² = (х² + 2)² – (2х)² =  (х² – 2^0,5х + 2)(х² + 2^0,5х + 2).

У загальному випадку  многочлен n-го степеня

Р_n(х) = а₀ хⁿ + a₁ х^n-1 + a₂ х^n-2 + a₃ х^n-3 +… + a_n

Можна записати єдиним чином у вигляді добутку многочленів, степінь кожного з яких не більше 2, тобто кожний з яких або двочлен лінійного вигляду, або квадратний тричлен, що не має коріння.

Можливість виділення у многочлена лінійних множників пов'язана з  наявністю у  цього многочлена  коріння.

Твердження  про коріння многочлена:

Многочлен n-й ступеня має не більш n дійсного коріння (з урахуванням їх кратностей).

Многочлен непарного степеня має хоч би один дійсний корінь.

Довести такі твердження:

1. а)Рівняння виду   з цілими коефіцієнтами

(2n-1)∙ xy + (2k-1)∙x +(2p-1)∙y  +  2m = 0

та невідомими (х,у) на множині непарних чисел розв’язку немає, а має розв’язок виду (2g; 2q).

б)Рівняння виду  з непарними коефіцієнтами

(2n-1)∙ xy + (2k-1)∙x +(2p-1)∙y  +  2m+1 = 0

та невідомими (х,у) на множині парних чисел розв’язку немає, а має розв’язок виду (2g +1; 2q+1).

в). Рівняння виду  

2n∙xy + 2k∙x +2p∙y  +  2m +1 = 0

з невідомими (х,у) на множині цілих  чисел немає розв’язку.

2. Рівняння виду  

с₁∙xy + с₂∙x + с₃∙y  +  с₄ = 0

з невідомими (х,у) на множині цілих  чисел має розв’язок, якщо добуток середніх коефіцієнтів  с₂  та с₃  відовідно дорівнює добутку крайніх коефіцієнтів  с₁  та с₄ .  Тобто виконується  рівність

с₁∙с₄  = с_{2 ∙} с₃ ,

або виконується пропорція: 

с₁/с₂  = с₃ / с_4.

4. Рівняння виду  

с₁∙xy + с₂∙x + с₃∙y  +  с₄ = 0

з невідомими (х,у) на множині дійсних  чисел має розв’язок (х, 1/х) тоді і тільки тоді, коли середнє геометричне середніх коефіцієнтів, тобто  (с₂∙с₃)^0,5  дорівнює крайнім коефіцієнтам  с₁  та с₄ .  Тобто виконується  подвійна рівність

(с₂∙с₃)^0,5  = с₁  = с₄.

Деякі факти про розклад цілих многочленів на множники

Нехай а₁, а₂, а₂, …, а_n – попарно різні цілі числа. Тоді:

А) многочлен (х - а₁) (х - а₂)(х - а₂) … (х -  а_n) - 1 – незвідний, тобто не розкладається на многочлени меншого степеня;

Б) многочлен (х - а₁)(х - а₂)(х - а₂) … (х -  а_n) + 1 – незвідний, тобто не розкладається на многочлени меншого степеня, окрім наступних випадків:

(х – а)(х – а - 2) + 1 = (х – а - 1)²;

(х - а) (х – а - 1) (х – а - 2 )(х -  а - 3 ) + 1 =

= ((х – а - 1(х – а - 2) – 1)²;

В) многочлен (х - а₁)²(х - а₂)²(х - а₂)² … (х -  а_n)² + 1 – незвідний, тобто не розкладається на многочлени меншого степеня;

Г) якщо р – просте число, то многочлен х^р – х – 1 – незвідний, тобто не розкладається на многочлени меншого степеня;

Д) якщо р – просте число, а – натуральне число, що не ділиться на р, то многочлен х^р – х – а – незвідний, тобто не розкладається на многочлени меншого степеня;

Є) будь-який многочлен з цілими коефіцієнтами можна записати як суму двох незвідних многочленів.

Парні та непарні значення квадратного тричлена

Усі три незалежних цілих коефіцієнти  a, b, c можуть приймати одне із двох значень: парне або непарне. Всього існує вісім різних випадків запису квадратного тричлена з цілими  коефіцієнтами за критерієм парності:

a	x2+	b	x+	c	=f(x)
2n	x2+	(2k – 1)	x+	2q	=f(x)
2n	x2+	(2k – 1)	x+	(2q – 1)	=f(x)
2n	x2+	2k	x+	(2q – 1)	=f(x)
2n	x2+	2k	x+	2q	=f(x)
(2n – 1)	x2+	(2k – 1)	x+	(2q – 1)	=f(x)
(2n – 1)	x2+	(2k – 1)	x+	2q	=f(x)
(2n – 1)	x2+	2k	x+	2q	=f(x)
(2n – 1)	x2+	2k	x+	(2q – 1)	=f(x)

Всього існує шістнадцять різних випадків цілих значень квадратного тричлена з цілими коефіцієнтами:

ax2  + bx + c = f(x),  якщо х = 2m
ax2 +	bx +	c	= f(2m)
2n(2m)2 +	(2p – 1)(2m) +	2k	=2q
2n(2m)2 +	(2p – 1)(2m) +	(2k – 1)	=2q - 1
2n(2m)2 +	2p(2m) +	(2k – 1)	=2q - 1
2n(2m)2 +	2p(2m) +	2k	=2q
(2n – 1) (2m)2 +	(2p – 1)(2m) +	(2k – 1)	=2q - 1
(2n – 1) (2m )2+	(2p – 1)(2m) +	2k	=2q
(2n – 1) (2m)2 +	2p(2m) +	2k	=2q
(2n – 1) (2m)2 +	2p(2m) +	(2k – 1)	=2q - 1

Теорема. Довільний многочлен стандартного вигляду з цілими коефіцієнтами при парних значеннях змінної приймає таку ж парність, яку має вільний член.

Теорема. Довільний многочлен стандартного вигляду з цілими коефіцієнтами серед своїх цілих коренів немає парних коренів,  якщо вільний член виражений непарним числом.

Доведення. Таблиця дає повну картину значень квадратного тричлена при парних значеннях  х:

ax2  + bx + c = f(x),  якщо х = 2m
ax2 +	bx +	c	= f(2m)
2n(2m)2 +	(2p – 1)(2m) +	2k	=2q
2n(2m)2 +	2p(2m) +	2k	=2q
(2n – 1) (2m )2+	(2p – 1)(2m) +	2k	=2q
(2n – 1) (2m)2 +	2p(2m) +	2k	=2q
2n(2m)2 +	(2p – 1)(2m) +	(2k – 1)	=2q - 1
2n(2m)2 +	2p(2m) +	(2k – 1)	=2q - 1
(2n – 1) (2m)2 +	(2p – 1)(2m) +	(2k – 1)	=2q - 1
(2n – 1) (2m)2 +	2p(2m) +	(2k – 1)	=2q - 1

Теорема. Довільний многочлен стандартного вигляду з цілими коефіцієнтами серед своїх цілих коренів немає парних коренів,  якщо вільний член виражений непарним числом.

Доведення.  Якщо вільний член виражений непарним числом, то значення квадратного тричлена  f(2m) =2q - 1, і  ніколи не буде дорівнювати нулю, бо нуль – це парне число.

Оглянемо таблицю значень квадратного тричлена при непарних значеннях зиінної:

ax2  + bx + c = f(x),  якщо х = 2m – 1
ax2 +	bx +	c	= f(x)
2n(2m – 1)2 +	(2p – 1)(2m – 1) +	2k	=2q - 1
2n(2m – 1)2 +	(2p – 1)(2m – 1) +	(2k – 1)	=2q
2n(2m – 1)2 +	2p(2m – 1) +	(2k – 1)	=2q - 1
2n(2m – 1)2 +	2p(2m – 1) +	2k	=2q
(2n – 1) (2m – 1)2 +	(2p – 1)(2m – 1) +	(2k – 1)	=2q - 1
(2n – 1) (2m – 1)2 +	(2p – 1)(2m – 1) +	2k	=2q
(2n – 1) (2m – 1)2 +	2p(2m – 1) +	2k	=2q - 1
(2n – 1) (2m – 1)2 +	2p(2m – 1) +	(2k – 1)	=2q

Або

ax2  + bx + c = f(x),  якщо х = 2m – 1
ax2 +	bx +	c	= f(x)
2n(2m – 1)2 +	2p(2m – 1) +	2k	=2q
(2n – 1) (2m – 1)2 +	(2p – 1)(2m – 1) +	2k	=2q
2n(2m – 1)2 +	(2p – 1)(2m – 1) +	(2k – 1)	=2q
(2n – 1) (2m – 1)2 +	2p(2m – 1) +	(2k – 1)	=2q
2n(2m – 1)2 +	2p(2m – 1) +	(2k – 1)	=2q - 1
(2n – 1) (2m – 1)2 +	(2p – 1)(2m – 1) +	(2k – 1)	=2q - 1
(2n – 1) (2m – 1)2 +	2p(2m – 1) +	2k	=2q - 1
2n(2m – 1)2 +	(2p – 1)(2m – 1) +	2k	=2q - 1

Теорема.  Якщо існують цілі корені зведеного квадратного тричлена, то вони мають однакову парність(або обидва корені непарні, або обидва корені парні), якщо b – парне число, і два корені мають різну парність коренів( тільки один із коренів парний, а другий корінь – непарний),  якщо b – непарне число.

Доведення.  Випадок 1. Два цілі корені існують і обидва парні, тобто 2k i 2n. Тоді згідно теореми Вієта у зведеного  квадратного тричлена стандартного вигляду лінійний коефіцієнт  дорівнює  протилежній сумі  цих двох парних коренів, а отже  має бути записаний як  2m.

Випадок 2. Два цілі корені існують і обидва непарні, тобто 2k-1 i 2n-1. Тоді згідно теореми Вієта у зведеного  квадратного тричлена стандартного вигляду лінійний коефіцієнт  дорівнює  протилежній сумі  цих двох непарних коренів, а отже  має бути записаний як  2m.

Випадок 3. Два цілі корені існують і один непарний,  а інший парний тобто 2k-1 i 2n. Тоді згідно теореми Вієта у зведеного  квадратного тричлена стандартного вигляду лінійний коефіцієнт  дорівнює  протилежній сумі  цих непарного і парного коренів, а отже  має бути записаний як  2m-1.

Теорема.  Якщо існують цілі корені зведеного квадратного тричлена, і вони обидва парні,  тоді вільний член цього многочлена кратний 4.

Доведення. Два цілі корені існують і обидва парні, тобто 2k i 2n. Тоді згідно теореми Вієта у зведеного  квадратного тричлена стандартного вигляду вільний член повинен бути рівний добутку цим двом парним кореням, а отже  має бути записаний як  4m.

Теорема.  Якщо у зведеного  квадратного тричлена стандартного вигляду (тобто а = 1) із цілим  вільним членом та лінійним коефіцієнтом такими, що  обидва непарні, то квадратний тричлен не має цілих коренів. 

Доведення. Від супротивного. Припустимо, що цілі корені існують. Тоді у зведеного  квадратного тричлена стандартного вигляду вільний член повинен бути кратний цілим кореням, а так як він виражений непарним числом, то його дільники це тільки непарні. А сума двох непарних дільників парна, і ця парність  рівна  парності лінійного коефіцієнта згідно теореми Вієта, що порушує задану умову непарності  лінійного коефіцієнта.

Теорема.  Якщо у  квадратного тричлена стандартного вигляду  із цілими  коефіцієнтами  а та b і с = 2k-1 такими, що  обидва а та b  однакової парності, то квадратний тричлен не має цілих коренів. 

Доведення. Усі значення тричлена  при цілих значеннях змінної – непарні!, Тому тричлен ніколи не дорівнюватиме нулю при цілих значеннях змінної.

Означення. Зведеним квадратним