четвер, 20 листопада 2014 р.
понеділок, 10 листопада 2014 р.
11 клас. 09.11.2014. Вінницька міська олімпіада з математики
Завдання
11 клас
1. Розв’яжіть рівняння x2 + 9x2 / (x+3)2 = 16.
.
2. Доведіть, що коли x – yz = y – zx = z - xy, то (x-y)(y-z)(z-x) = 0..
3. Від даного трикутника трьома прямими, паралельними
сторонам трикутника, відрізаються три трикутники так, що утворюється
рівносторонній шестикутник. Знайдіть довжину сторони шестикутника, якщо довжини
сторін трикутника рівні a, b, c.
4. Чи можна довільний тригранний кут перетнути площиною
так, щоб в перетині отримався правильний трикутник?
Відповідь. Не завжди. Можна, якщо розглянути правильний тетраедр. І не можна, якщо розглянути триганний кут з лінійними кутами 90 градусів, 120 градусів, 60 градусів.
Відповідь. Не завжди. Можна, якщо розглянути правильний тетраедр. І не можна, якщо розглянути триганний кут з лінійними кутами 90 градусів, 120 градусів, 60 градусів.
5. По кругу записані 4 одиниці і 5 нулів. За один хід
між усіма двома однаковими цифрами пишеться одиниця, а між різними – нуль
(старі цифри стирають). Чи зможуть через декілька ходів всі числа стати
однаковими?
Попередні результати ІІ (міського) етапу Всеукраїнської учнівської олімпіади з математики
10 клас. 09.11.2014. Вінницька міська олімпіада з математики
Другий
етап Всеукраїнської олімпіади юних математиків 2014-2015 н. р.
Завдання
10 клас
1. Знайдіть спільний розв’язок двох рівнянь: x+y+z =3; 2xy -2y –z2 = 4.
2. Сума п’яти невід’ємних чисел дорівнює одиниці. Яке
найбільше значення може мати сума абсолютних величин попарних різниць цих
чисел?
3. Знайдіть найменше значення виразу (x2 + (1-y)2)0,5 + (y2 + (1-x)2)0,5.
4. На дошці записані числа від 1 до 20. Можна пару чисел (x;y) замінити на x+y+xy. Яке число
залишиться після 19 операцій?
5. Довжини a
i b
двох сторін трикутника задовольняють
умову a>b, а довжини
відповідних їм висот дорівнюють ha i hb. Доведіть, що a+ ha >= b + hb. При якій умові досягається рівність?
Попередні результати ІІ (міського) етапу Всеукраїнської учнівської олімпіади з математики
9 клас. 09.11.2014. Вінницька міська олімпіада з математики
Другий
етап Всеукраїнської олімпіади юних математиків 2014-2015 н. р.
Завдання
9 клас
.
2. Доведіть, що число n2+5n+16 ні при якому натуральному n не ділиться на 169.
3. Доведіть, що при a>=0 справджується
нерівність 2a3+2a2+1>=a.
4. Відомо, що медіана та висота, що проведені з однієї
вершини трикутника, ділять кут при даній вершині на три рівні частини.
Доведіть, що даний трикутник - прямокутний та знайдіть його гострі кути.
5. Є дошка 50x50.
Двоє по черзі закреслюють вибрану ним клітинку, а також клітинки, які
знаходяться над нею і справа від неї. Програє той, хто закреслить ліву нижню
клітинку. Хто виграє при правильній грі: починаючий чи його партнер?
На виконання роботи виділяється 4 години.
Використання записників і калькулятора не
дозволяється.
9
листопада 2014 року.
Попередні результати ІІ (міського) етапу Всеукраїнської учнівської олімпіади з математики
8 клас. 09.11. 2014. Вінницька міська олімпіада з математики
Другий
етап Всеукраїнської олімпіади юних математиків 2014-2015 н. р.
Завдання
8 клас
1.
Знайдіть
найменше ціле число x, яке задовольняє рівняння:
|x-3|+2|x+1| = 4.
2. Число a ділиться на
99. Доведіть, що сума його цифр не менша за 18.
3. В районі 15 шкіл. Доведіть, що як би не розподіляли між
ними 90 комп’ютерів, то обов’язково знайдуться дві школи, яким припаде однакова
кількість комп’ютерів (можливо й жодного).
4. Точку M відмітили на
стороні AC рівностороннього трикутника ABC, а на продовженні сторони BC за точку C
відмітили точку N так, щоBM=MN. Доведіть, що AM=CN.
5. Є 30 осіб, серед яких
деякі знайомі між собою. Доведіть, що кількість осіб, які мають непарну
кількість знайомих, парна.
На виконання роботи виділяється 4 години.
Використання записників і калькулятора не
дозволяється.
9
листопада 2014 року.
Попередні результати ІІ (міського) етапу Всеукраїнської учнівської олімпіади з математики
7 клас. 09.11.2014.Вінницька міська олімпіада з математики
7 клас. 09.11.2014.Вінницька міська олімпіада з математики
Другий
етап Всеукраїнської олімпіади юних математиків 2014-2015 н. р.
Завдання
7 клас
1. Нехай a, b, c – три різні
цифри. Якщо додати всі шість двоцифрових чисел, які можна записати з їхньою
допомогою, не повторюючи одну і ту саму цифру в числі двічі, то отримаємо 528.
Знайдіть ці цифри.
2. Є три купки камінців: в першій – 10, в другій – 15, в
третій – 20. Грають двоє. За один крок дозволяється розбити будь-яку купку на
дві менші. Програє той, хто не може зробити крок. Хто виграє в такій грі?
Відповідь обґрунтуйте.
3. Два туристи, маючи один велосипед, повинні за півтори
години подолати шлях 12 км .
Відомо, що на велосипеді кожен із них може рухатися зі швидкістю 20 км/год , а пішки – 5 км/год . Чи зможуть
туристи пройти маршрут без запізнення, якщо на велосипеді одночасно вдвох їхати
не можна? Відповідь обґрунтуйте.
4. Як, маючи лише дві посудини ємністю 5 л і 7 л, набрати із
крана 6 л води (зайву воду можна виливати в раковину)?
Попередні результати ІІ (міського) етапу Всеукраїнської учнівської олімпіади з математики
неділю, 9 листопада 2014 р.
6 клас. 9.11.2014 рік. Вінницька міська олімпіада з математики
6 клас. Вінницька міська олімпіада з математики 2014 року
Другий
етап Всеукраїнської олімпіади юних математиків 2014-2015 н. р.
Завдання
6 клас
1. Розрізати 12-клітинкову фігуру, що зображена на рисунку, на чотири
однакові частини:
2. Усі трицифрові числа записані в рядок:
100101102…998999. Скільки разів у цьому ряду після двійки йде нуль?
3. Дорога від дому до школи займає в Андрійка 20 хвилин.
Одного разу, йдучи до школи, він згадав, що забув вдома ручку. Якщо він тепер
продовжуватиме йти до школи, то прийде за 3 хвилини до дзвоника, а якщо ж
повернеться додому, то запізниться на 7 хвилин. Яку частину шляху пройшов
Андрійко до того, як згадав про ручку?
4. Чи можна у кожну клітинку квадрата 5х5 записати ціле число
так, щоб у будь-якому меншому квадраті, що складається більше, ніж з однієї
клітинки, сума чисел була непарною?
Розв’язання. Не
можна. Розглянемо числовий квадрат 4х4 в числовому квадраті 5х5.
У числовому квадраті 4х4 є чотири числові
квадрати 2х2, клітинки яких без накладань. Саме ці
чотири квадрати 2х2 утворюють числовий квадрат 4х4. Зрозуміло, що сума чотирьох непарних чисел
завжди парне число. Якщо кожний із чотирьох числових квадратів 2х2 має непарну суму чисел, то числовий квадрат 4х4
буде мати тільки парну суму чисел. Тому
побудувати цілочисловий квадрат 5х5 за даною умовою ніколи не можна.
На виконання роботи виділяється 3 години.
Використання записників і калькулятора не
дозволяється.
9
листопада 2014 року. Школа-гімназія № 23 ВМР
Попередні результати ІІ (міського) етапу Всеукраїнської учнівської олімпіади з математики
Підписатися на:
Дописи (Atom)