Абстрактна функція Вінницького

Означення функції Вінницького.

Чи є такі  властивості, які притаманні  усім членам послідовності функцій:

…………….

 g₁(x)=f(x)/f’(x),  

 g₂(x)=f²(x)/f’’(x),

……………

g_т-1(x)=f ^n-1(x)/f ^(n-1)(x),

 g_n(x)=f ⁿ(x)/f ⁽ⁿ⁾(x),

……………….,

якщо

f(x):R\{0}-->R\ {0};

f ⁽ⁿ⁾(x): R\{0}-->R\{0};

Дослідження: Якщо розглянути безліч рівностей

….=g₁(x)= g₂(x)=……= g_т-1(x)= g_n(x)=…..

та виконати  продовження послідовності вправо, то отримаємо:

1/f(x)=f(x)/f’(x) ,

тоді f²(x) = f’(x) ,

f (x) = (f’(x))^0,5 .       (*)

Серед раціональних многочленів такої функції не має. Функцію f (x), що задовольняє рівність (*)

 назвемо абстрактною функцією Вінницького.

Дайте відповідь на запитання:
Чи монотонна на області визначення абстрактна функція Вінницького?
Чи неперервна на області визначення абстрактна функція Вінницького?
Чи обмежена на області визначення абстрактна функція Вінницького?
Чи випукла на області визначення абстрактна функція Вінницького?

Створення чарівних квадратів С. Вінницького

Вінницькі чарівні числові квадрати

Розташувати в клітинковому квадраті  розміром (2k+1)x(2k+1), k єN, послідовні натуральні числа від 1 до  (2k+1)² так,  щоб виконувалася умови:

1)      Суми чисел із двох  будь-яких  двох  клітинок, які симетричні відносно центральної клітинки, однакова. Тобто  f+b=i+d=h+c=j+e=s+g=…=w+n.

w	z	u	t	s
q	h	f	e	r
x	i	а	d	p
y	j	b	c	o
g	k	l	m	n

2)      Суми усіх чисел із клітинок, що  утворюють квадратики, у яких центр симетрії співпадає з центром симетрії центральної клітинки, однакова. Тобто  2a=b+c+d+e+f+h+i+j= k+l+n+m+o+p+r+t+s+t+u+z+w+x+y+g. Сума чисел в зелених клітинках дорівнює сумі чисел в оранжевих клітинках і ці суми дорівнюють числу.

Розв’язання. Розглянемо спочатку  квадрат 5х5.

Розглянемо набір із 12 найменших протилежних чисел та нуля. Тобто, випишемо їх в упорядку зростання:

-12; -11; -10; …. -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; …. 10; 11; 12.

Для цих чисел виконується властивість: сума двох протилежних дорівнює нулю. А якщо два протилежних числа розставляти в  симетричних відносно центру квадрата клітинках, то сума їх рівні нулю.  Розставляємо ці числа в даний квадрат 5х5.

ЧАРІВНИЙ КВАДРАТ  3х3 та 5х5 СЕРГІЯ ВІННИЦЬКОГО
-9	-8	-7	-6	-5
-10	-2	3	1	12
-11	4	0	-4	11
-12	-1	-3	2	10
5	6	7	8	9

При такій розстановці чисел виконується умова, сума усіх чисел в зеленому квадраті дорівнює сумі усіх чисел в оранжевому квадраті.

До усіх чисел цього квадрату додамо число 13. Отримаємо:

ЧАРІВНИЙ КВАДРАТ  3х3 та 5х5 СЕРГІЯ ВІННИЦЬКОГО
4	5	6	7	8
3	11	16	14	25
2	17	13	9	24
1	12	10	15	23
18	19	20	21	22

Створення функцій за даними умовами.

Компетентнісні завдання з комбінаторної геометрії

для створення таблиць з формулами в MS Excel

1. Створити в MS Excel на Аркуш 1 формулу(функцію), що за кількістю  сторін опуклого  n-кутника,  знаходить кількість діагоналей  n-кутника.  Протабулювати цю функцію для  n ={4;5;6;7;8;9;10;11;12;13;14}. Створити за даними таблиці лінійну діаграму з назвою: «Кількість діагоналей  n-кутника».

Розв’язання. Якщо зафіксуємо деяку вершину n-кутника, тоді n-3 вершини цього n-кутника визначають n-3 діагоналі.  Таких зафіксованих точок може бути n,  при цьому кожна діагональ врахована  буде два рази, тому  функція має вигляд,  k(n)= 0,5(n-3)n , де n - натуральне число, що більше 3.

2. Створити в MS Excel на Аркуш 2  формулу(функцію), що за кількістю  сторін правильного  n-кутника,  знаходить  величину зовнішнього кута правильного  n-кутника. Протабулювати цю функцію для  n ={4;5;6;7;8;9;10;11;12;13;14}. Створити за даними таблиці лінійну діаграму з назвою: «Зовнішні кути правильного  n-кутника».

Розв’язання. Функція має простий вигляд,  а(n)= 360/n, якщо n - натуральне число, що більше 2.

3. Створити в MS Excel на Аркуш 3  формулу(функцію), що за кількістю  сторін правильного  n-кутника,  знаходить  величину центрального  кута правильного  n-кутника. Протабулювати цю функцію для  n ={4;5;6;7;8;9;10;11;12;13;14}. Створити за даними таблиці лінійну діаграму з назвою: «Центральні  кути правильного  n-кутника».

Розв’язання. Функція має простий вигляд,  а(n)= 360/n, якщо n - натуральне число, що більше 2.

4. Створити в MS Excel на Аркуш 4  формулу(функцію), що за кількістю  сторін правильного  n-кутника,  знаходить  суму усіх внутрішніх кутів n-кутника. Протабулювати цю функцію для  n ={4;5;6;7;8;9;10;11;12;13;14}. Створити за даними таблиці лінійну діаграму з назвою: «Сума внутрішніх  кутів  правильного  n-кутника».

Розв’язання. Функція має простий вигляд,  с(n)= 180(n-2), якщо n - натуральне число, що більше 2.

5. Створити в MS Excel на Аркуш 5  формулу(функцію),  що за кількістю  сторін правильного  n-кутника,  знаходить  величину внутрішнього кут правильного  n-кутника. Протабулювати цю функцію для  n ={4;5;6;7;8;9;10;11;12;13;14}. Створити за даними таблиці лінійну діаграму з назвою: «Сума внутрішніх  кутів  правильного  n-кутника».

Розв’язання. Функція має простий вигляд,  а(n)= 180(n-2)/n, якщо n - натуральне число, що більше 2.

6. Створити в MS Excel на Аркуш 6  формулу(функцію),  що за кількістю  сторін правильного  n-кутника,  радіусом вписаного кола в правильний  n-кутник,  довжиною сторони знаходить  величину  площі правильного  n-кутника. Протабулювати цю функцію для  n ={4;5;6;7;8;9;10;11;12;13;14}. r_n = 2n ,  a_n =n/2.  Створити за даними таблиці лінійну діаграму з назвою: «Площі  правильного  n-кутника».

Розв’язання. Функція має вигляд,  S(n, r_n , a_n)= nr_na_n /2, якщо n - натуральне число, що більше 2.

7. Створити в MS Excel на Аркуш 7  формулу(функцію),  що за кількістю  сторін правильного  n-кутника,  знаходить  величину зовнішнього кута правильного  n-кутника. Протабулювати цю функцію для  n ={4;5;6;7;8;9;10;11;12;13;14}.  Створити за даними таблиці лінійну діаграму з назвою: «Зовнішні правильного  n-кутника».

Розв’язання. Функція має простий вигляд,  а(n)= 360/n, якщо n - натуральне число, що більше 2.

8.Створити в MS Excel на Аркуш 8 формулу(функцію), що за кількістю  сторін опуклого  n-кутника,  знаходить кількість  точок перетину діагоналей  n-кутника, при умові, що кожна точка перетину утворена не більше, ніж двома діагоналями. Протабулювати цю функцію для  n ={4;5;6;7;8;9;10;11;12;13;14}.  Створити за даними таблиці лінійну діаграму з назвою: «Кількість точок перетину діагоналей  n-кутника».

Розв’язання. Якщо зафіксуємо деяку точку перетину  двох діагоналей  n-кутника, тоді  тільки  деякі чотири вершини цього n-кутника визначають  одну точку перетину двох діагоналей.  Таких  чотирикутнів можна порахувати, використовуючи комбінації  С _n⁴, Кожний чотирикутник визначає одну точку перетину діагоналей.  Формула кількості точок перетину діагоналей в  n-кутника має вигляд:  k(n)= (n-3) (n-2) (n-1)n/24 , де n - натуральне число.

9. Створити в MS Excel на Аркуш 9  формулу(функцію), що за кількістю  сторін правильного  n-кутника,  знаходить кількість діагоналей  цього n-кутника, що перетинаються в одній точці, яка відмінна від центру. Протабулювати цю функцію для  n ={4;5;6;7;8;9;…;35,36}. Створити за даними таблиці лінійну діаграму з назвою: «Кількість діагонелей в точці  правильного  n-кутника».

Розв’язання. Функція має складний  вигляд,  k(n)= 2, якщо n - непарне натуральне число. k(n)= 3, якщо n - парне натуральне число і не ділиться на 6 націло.  k(n)= 5, якщо n - парне натуральне число і ділиться на 6 націло, але не ділиться на 5 націло. k(n)= 7, якщо n - парне натуральне число і ділиться на 30 націло.

10.Створити в MS Excel на Аркуш 10 формулу(функцію), що за кількістю  непаралельних прямих на одній площині ,  знаходить кількість  утворених точок перетину цих прямих, при умові, що кожна точка перетину прямих утворена не більше, ніж двома прямими. Протабулювати цю функцію для  n ={4;5;6;7;8;9;10;11;12;13;14}.  Створити за даними таблиці лінійну діаграму з назвою: «Кількість точок площини, що утворена непаралельними  прямими».

Розв’язання. Якщо зафіксуємо деяку точку перетину  двох прямих, тоді  тільки  деякі дві прямі із  n непаралельних прямих  одну точку..  Таких  тосок порахувати, використовуючи комбінації  С _n², Кожна пара прямих утворює точку перетину .  Формула кількості точок перетину n непаралельних прямих має вигляд:  k(n)=  (n-1)n/2 , де n - натуральне число, більше 1.

11.Створити в MS Excel на Аркуш 11  формулу(функцію), що за кількістю  непаралельних прямих на площині    знаходить кількість  утворених частин площини, при умові, що кожна точка перетину прямих утворена не більше, ніж двома прямими. Протабулювати цю функцію для  n ={4;5;6;7;8;9;10;11;12;13;14}.  Створити за даними таблиці лінійну діаграму з назвою: «Кількість частин площини, що утворена прямими».

Розв’язання. Якщо зафіксуємо деяку точку перетину  двох прямих, тоді  тільки  деякі дві прямі із  n непаралельних прямих  одну точку.  Таких  точок можна порахувати, використовуючи комбінації  С _n², Кожна пара прямих утворює точку перетину .  Формула кількості точок перетину n непаралельних прямих має вигляд:  k(n)=  (n+1)n/2 +1, де n - натуральне число.

12.Створити в MS Excel на Аркуш 12  формулу(функцію), що за кількістю  непаралельних площин  у прострі   знаходить кількість  утворених частин простору, при умові, що кожна пряма  перетину площин  утворена не більше, ніж двома площинами. Протабулювати цю функцію для  n ={4;5;6;7;8;9;10;11;12;13;14}.  Створити за даними таблиці лінійну діаграму з назвою: «Кількість частин простору, що утворена площинами».

Розв’язання.  Формула кількості частин  n непаралельних площинами загального положення має вигляд:  k(n)=  (n+1)(n²-n+6)/6, де n - натуральне число.

13.Створити в MS Excel на Аркуш 13  формулу(функцію), що за кількістю сторін  правильного n-кутника на площині  знаходить кількість  осьових симетрій фігури у просторі. Протабулювати цю функцію для  n ={4;5;6;7;8;9;10;11;12;13;14}.  Створити за даними таблиці лінійну діаграму з назвою: «Кількість осьових симетрій у просторі для правильного n-кутника на площині».

Розв’язання.  Формула кількості осей симетрій  у просторі правильного n-кутника на площині має вигляд:  k(n)=  n+1, де n - натуральне число, більше 2.

 Створити  в MS Excel на Аркуш 13  формулу(функцію)  для  автомата,   що розмінює кошти  довільної суми в цілих гривнях(без копійок), починаючи з 8 грн на номінали по 3 грн та по 5 грн. Функція-автомат  виводить для довільного числа N, що більше 7, два натуральні числа:   перше  натуральне число – це кількість номіналів по 3 грн, друге натуральне число – це кількість номіналів по 5 грн. Протабулювати цю функцію для  n ={4;5;6;7;8;9;10;11;12;….;24}.  Створити за даними таблиці лінійну діаграму з назвою: «Кількість осьових симетрій у просторі для правильного n-кутника на площині».

Розв’язання. 

Розглянемо базу індукції

8 грн  =3 грн+5 грн,

9 грн=3 грн+3 грн +3 грн,

10 грн =5 грн +5 грн.

Якщо  до 8 грн, або до 9 грн, або до 10 грн додати 3 грн, то отримаємо кошти

11 грн  =3 грн+5 грн +3 грн

12  грн=3 грн+3 грн +3 грн +3 грн

13 грн =5 грн +5 грн +3 грн.

Продовжуючи аналогічно можна отримати будь-яке наступне натуральне число.

Отже, якщо  N = 3р+ 2, тоді  

N = 8 грн +3k грн  =3 грн+5 грн +3k грн  = 3(k+1)+ 5 грн. Звідси маємо

k= (n-5)/3  - 1– це кількість номіналів по 3 грн.    

Отже, якщо  N = 3р , тоді  

N = 9 грн +3k грн  =3 грн+3 грн  +3 грн +3k грн  = 3(k+3)  грн.

Звідси маємо

k= n/3 - 9– це кількість номіналів по 3 грн.

Отже, якщо  N = 3р+1 , тоді  

N = 10 грн +3k грн  =5 грн+5 грн  +3k грн  = 3k +5*2  грн.  Звідси маємо

k= (n-10)/3 – це кількість номіналів по 3 грн.

Створимо  функцію-автомат : А(N) = (k₃(N); m₅(N)), де k₃(N) – це функція кількості номіналів по 3 грн  для числа N,  m₅ (N) - це функція кількості номіналів по 5 грн  для числа N. Згідно попередніх міркувань, отримаємо:

А(N) = ((N -5)/3  - 1; 1),  якщо  N = 3р+ 2;

А(N) = (N/3; 0),  якщо  N = 3р;

А(N) = ( (N-10)/3; 2),  якщо  N = 3р+1.