четвер, 27 січня 2022 р.

Способи доведення нерівностей

 

Способи доведення нерівностей

 

Використання класичних нерівностей для доведення нерівностей

Довести нерівність

(1+y/x) (1+z/y) (1+х/z)>=8,  якщо x>0, y>0, z>0,

Доведення.  Скористаємося відомою нерівністю між середнім арифметичним двох додатних чисел 0,5(a+b) та середнім геометричним двох додатних чисел (ab) 0,5

0,5(a+b)>= (ab)0,5.

На основі цієї класичної нерівності  отримаємо такі три нерівності:

0,5(1+y/x ) >=(1*y/x) 0,5;

0,5(1+z/y ) >=(1*z/y) 0,5;

0,5(1+x/z) >=(1*x/z) 0,5.

Помножимо ці три нерівності, отримаємо:

0,125(1+y/x )(1+z/y )(1+x/z) >=(y/x) 0,5(z/y) 0,5(x/z) 0,5;

0,125(1+y/x )(1+z/y )(1+x/z) >=(y/x*z/y*x/z) 0,5;

0,125(1+y/x )(1+z/y )(1+x/z) >=1;

(1+y/x )(1+z/y )(1+x/z) >=1:0,125;

(1+y/x )(1+z/y )(1+x/z) >=8.

Що і треба було довести.

 

 

Функціональний спосіб доведення нерівностей

Доведіть нерівність a² + b² + 1 ≥ ab + a + b.

 

Доведення. Складаємо різницю двох виразів і дослідимо знаки цієї різниці функціональним способом. Отже покажемо, що  a² + b² + 1 ab b0.

Розглянемо квадратний тричлен від змінної а:

F(a;b)=a²–(+1)+b² b+ 1. Дослідимо цей квадратний тричлен на знаки.

Дискримінант цього квадратного тричлена не додатний, бо D= -3(b-1)2≤0.

Так, як старший коефіцієнт у квадратному виразі, додатний, то

даний квадратний тричлен набуває додатних значень при будь-яких дійсних значеннях (a;b),окрім значення а=1; b=1. До речі F(1;1)=0.

 

Тому F(a;b)=a²–(+1)a +b² b+ 1≥0. Що і треба було довести.

Примітка. Аналогічно, можна було розглянути квадратний тричлен 
F(a;b)=a²–(+1)+b² b+ 1  від змінної b.
 Спробуйте зробити це самостійно для удосконалення власних умінь та навичок.

Немає коментарів:

Дописати коментар