пʼятниця, 24 листопада 2017 р.

Рівняння Баше та його узагальнення







Проблема 1. Чому рівняння Баше x2 – y3 = k не має цілих розв’язків, якщо k=-5; k=-6; k=7; k=6?



Узагальнення рівняння Баше

Розглянемо рівняння вигляду
x2k+1+y2k = x2k- y2k+1
якщо k  - відоме довільне ціле невід’ємне число, (x, y) - пара невідомих цілих чисел.
Розв’язання. Розглянемо випадок, якщо k = 0,  тоді отримаємо:
x1+y0 = x0- y1 якщо x та у не нульові цілі числа, то  
x+1 = 1- y
x = - y
Отже (x, y) =(m;-m), якщо k = 0,  mне нульове ціле число, то  

Розглянемо випадок, якщо k  - довільне додатне ціле числотоді розділимо однойменні змінні по різним частинам рівняння, отримаємо:
y2k+1 +y2k = x2k- x2k+1
y2k (у+1) = x2k(1-х)
Утворимо системи із двох рівнянь:
1)y2k = x2k ;   у+1 = 1-х;    тоді (x, y) =(m;-m),
2)y2k  = 1-х;   у+1= x2k; тоді  (x, y) =(0;-1),  (x, y) =(1;0),
3)y2k  = 1;   у+1= x2k(1-х);  тоді  (x, y) =({mєZ | m2k(1-m)=2}1), 
4)у+1=1;  y2k  = x2k(1-х); тоді  (x, y) =(0;0),  (x, y) =(1;0),
5) x2k  = 1;   1-х= y2k (у+1);   тоді  (x, y) =(1;0),
6)1-х=1;   x2k= y2k (у+1);       тоді  (x, y) =(0;0)(x, y) =(0;-1).
Безпосередньою перевіркою можна впевнитись, що рівняння має безліч пар-розв’язків, які задовольняють дане рівняння
(x, y) =(0;0), (x, y) =(1;0), (x, y) =(0;-1) та (x, y) =(m;-m),
 якщо k  - довільне додатне ціле число, m - довільне ціле число
Розглянемо випадок, якщо k  - довільне від’ємне ціле числотоді розділимо однойменні змінні по різним частинам рівняння і отримаємо, (x, y) =(m;-m), довільне ненульове ціле число.
Відповідь: якщо k< = 0,  то (x, y) =(m;-m); k> 0,  то (x, y) =(m;-m); (x, y) =(1;0), (x, y) =(0;-1).



Немає коментарів:

Дописати коментар