НЕЛІНІЙНІ НЕРІВНОСТІ(cпосіб оцінки)

Довести

Нехай х ≥ -1. Доведіть, що 2х³ +2х² +1>х.

Доведення.

Якщо х=0, тоді нерівність очевидна.

Нехай х>0, тоді нерівність  еквівалентна нерівності

2х³ +х² +х +х² +1>2х, поділимо нерівність на х, отримаємо

2х² +х  +1+

x>2.

Останню нерівність отримаємо із суми двох нерівностей:

х ² + (х+0,5)² +0,75>0  та  ¹/_х+ х≥ 2.

Якщо -1≤ х ≤ 0, то 2х³ +2х² +1=2x²(x+1)≥1>х.

Довести

Нехай х, y – додатні дійсні числа, для яких х+у =1. Доведіть, що (1+1/х) (1+1/y) ≥9.

Доведення. Оцінимо  вирази:  ху,  х² + у², х²у², х² +ху+ у²  на найбільше  та найменше значення,  а саме

0≤ х²у² ≤ 0,0625=1/16, якщо  х>0, y>0,  y=1- x. 

0≤ х²у² ≤ ху≤0,25=1/4, якщо  х>0, y>0,  y=1- x. 

0,5≤ х² + у²≤ 1, якщо  х>0, y>0,  y=1- x. 

0,75≤ х² + ху + у²≤ 1, якщо  х>0, y>0,  y=1- x.    

Якщо  х>0, y>0,  y=1- x,  тоді

Добуток двох змінних  xу =х(1-х)=х-х²

Квадратична функція  f(x)= х-х² має вершину параболи  (з вітками вниз) в точці (0,5; 0,25), тому  ху=х(1-х)=х-х²≤0,25.

Отже, якщо  х>0, y>0,  х+у =1, то  0<ху≤0,25, при цьому

x = 0,5,  y = 0,5.

Аналогічно доводяться оцінки для інших виразів.

Остаточно, отримаємо

(1+1/х) (1+1/y)=(1+(х+у)+ху)/ху=2/ху+1 ≥2:0,25+1=9.

Можна довести оцінки для різних цілих виразів:

0≤ х²у² ≤ 0,0625=1/16, якщо  х>0, y>0,  y=1- x.

0≤ х²у² ≤ ху≤0,25=1/4, якщо  х>0, y>0,  y=1- x.

0,5≤ х² + у²≤ 1, якщо  х>0, y>0,  y=1- x.

-1≤ х² - у²≤ 1, якщо  х>0, y>0,  y=1- x.

0,25≤ х³ + у³≤ 1, якщо  х>0, y>0,  y=1- x.

-1≤ х³ - у³≤ 1, якщо  х>0, y>0,  y=1- x. 

 0,125≤ х⁴ + у⁴≤ 1, якщо  х>0, y>0,  y=1- x.

0,0625≤ х⁵ + у⁵≤ 1, якщо  х>0, y>0,  y=1- x. 

0,03125≤ х⁶ + у⁶≤ 1, якщо  х>0, y>0,  y=1- x. 

1/2^k-1≤ х^k + у^k≤ 1, якщо  х>0, y>0,  y=1- x.

0≤ х^kу^k≤ 1/2^k, якщо  х>0, y>0,  y=1- x. 

-1≤ х^k - у^k≤ 1, якщо  х>0, y>0,  y=1- x. 

2≤ 2^k-х^k + 2^k-у^k≤ 2^k, якщо  х>0, y>0,  y=1- x.

0,75≤ х² + ху + у²≤ 1, якщо  х>0, y>0,  y=1- x.

(47-14(7)^0,5/27≤ х³ + х²у + у³≤ 1, якщо  х>0, y>0,  y=1- x.

(47-14(7)^0,5/27≤ х³ + ху² + у³≤ 1, якщо  х>0, y>0,  y=1- x.

 3/16≤ х⁴ + х²у² + у⁴≤ 1, якщо  х>0, y>0,  y=1- x.

   3/32≤ х⁵ + х³у² + у⁵≤ 1, якщо  х>0, y>0,  y=1- x.

3/64≤ х⁶ + х³у³ + у⁶≤ 1, якщо  х>0, y>0,  y=1- x.

3/2^2k≤ х^2k + х^kу^k + у^2k≤ 1, якщо  х>0, y>0,  y=1- x. 

 

3/2^k≤ х^k + х^k-nуⁿ + у^k≤ 1, якщо  х>0, y>0,  y=1- x.    

Якщо  х>0, y>0,  y=1- x,  тоді

Добуток двох змінних  xу =х(1-х)=х-х²

Квадратична функція  f(x)= х-х² має вершину параболи  (з вітками вниз) в точці (0,5; 0,25), тому  ху=х(1-х)=х-х²≤0,25.

Отже, якщо  х>0, y>0,  х+у =1, то  0<ху≤0,25, при цьому

x = 0,5,  y = 0,5.

Аналогічно доводяться оцінки для інших виразів.

Остаточно, отримаємо

(1+1/х) (1+1/y)=(1+(х+у)+ху)/ху=2/ху+1 ≥2:0,25+1=9.

Узагальнення оцінок для випадку  х + у = m.

Довести

Нехай х, y – додатні дійсні числа, для яких х + у = m. Доведіть, що (1+¹/_х) (1+¹/_y) ≥ (²/_m +1)².

Доведення. Оцінимо  вирази:  ху, х²у², х³у³, хⁿуⁿ, х² + у², х²у², х² +ху+ у²    на найбільше  та найменше значення,  а саме

0 ≤ х²у² ≤ 0,0625m²=m²/16, якщо  х>0, y>0,  y=m - x.

0 ≤ ху ≤ 0,25m²=m²/4, якщо  х>0, y>0,  y=m - x.

0,5m² ≤ х² + у² ≤ m², якщо  х>0, y>0,  y=m- x.

-m² ≤ х² - у² ≤ m², якщо  х>0, y>0,  y=m- x. 

0,75m²≤ х² + ху + у²≤ m², якщо  х>0, y>0,  y=m- x.

0 ≤ хⁿуⁿ ≤ 0,25ⁿmⁿ=mⁿ/4ⁿ, якщо  х>0, y>0,  y=m- x. 

3m²/2^2k≤ х^2k + х^kу^k + у^2k≤ m^2k, якщо  х>0, y>0,  y=m- x. 

 

3m²/2^k≤ х^k + х^k-nуⁿ + у^k≤ m², якщо  х>0, y>0,  y=m- x.    

-m²≤ х² - у²≤ m², якщо  х>0, y>0,  y=m- x.

0,25m³≤ х³ + у³≤ m³, якщо  х>0, y>0,  y=m- x.

-m³≤ х³ - у³≤ m³, якщо  х>0, y>0,  y=m- x. 

 0,125m⁴≤ х⁴ + у⁴≤ m⁴, якщо  х>0, y>0,  y=m- x.

0,0625m⁵≤ х⁵ + у⁵≤ m⁵, якщо  х>0, y>0,  y=m- x. 

0,03125m⁶≤ х⁶ + у⁶≤ m⁶, якщо  х>0, y>0,  y=m- x. 

m^k/2^k-1≤ х^k + у^k≤ m^k, якщо  х>0, y>0,  y=m- x.

0≤ х^kу^k≤ m^k/2^k, якщо  х>0, y>0,  y=m- x. 

-m^k≤ х^k - у^k≤ m^k, якщо  х>0, y>0,  y=m- x. 

2≤ 2^k-х^k + 2^k-у^k≤ 2^km^k, якщо  х>0, y>0,  y=m- x.

0,75m²≤ х² + ху + у²≤ m², якщо  х>0, y>0,  y=m- x.

m³(47-14(7)^0,5/27≤ х³ + х²у + у³≤ m³, якщо  х>0, y>0,  y=m- x.

m³(47-14(7)^0,5/27≤ х³ + ху² + у³≤ m³, якщо  х>0, y>0,  y=m- x.

 3m⁴/16≤ х⁴ + х²у² + у⁴≤ m⁴, якщо  х>0, y>0,  y=m- x.

   3m⁵/32≤ х⁵ + х³у² + у⁵≤ m⁵, якщо  х>0, y>0,  y=m- x.

3m⁶/64≤ х⁶ + х³у³ + у⁶≤ m⁶, якщо  х>0, y>0,  y=m- x.

Доведення. 

Якщо  х>0, y>0,  y=m- x,  тоді

Добуток двох змінних  xу =х(m-х)=mх-х²

Квадратична функція  f(x, m)= mх-х² має вершину параболи  (з вітками вниз) в точці (0,5m; 0,25m²), тому 

0≤ ху = х(m-х) = mх-х² ≤ 0,25m².

Отже, якщо  х>0, y>0,  х+у = m, то  0<ху≤0,25m², при цьому

x = 0,5m,  y = 0,5m.

Аналогічно доводяться оцінки для інших виразів.

Остаточно, отримаємо

(1+1/х)(1+1/y)=(1+(х+у)+ху)/ху=(1+m)/ху+1 ≥

≥ (1+m)/0,25m²+1= 4/m² +4/m +1 =(2/m +1)²

 (²/_m +1)²≤ (1+1/х)(1+1/y) <+oo

Довести

1/_((a+1)²_+b²₊₁)  + 1/_((b+1)²_+c²₊₁)  + 1/_((c+1)²_+a²₊₁)  ≤ 0,5, якщо a>0, b>0, c>0, abc=1.

Доведення.

Нехай а=^y/_x,  b=^z/_y, c=^x/_z,  

1/_((a+1)²_+b²₊₁) ≤  1/_{2(ab+a +1})= x/_{2(x+y +z})

1/_((b+1)²_+c²₊₁)  ≤  1/_{2(cb+b +1})= y/_{2(x+y +z})

1/_((c+1)²_+a²₊₁)  ≤  1/_{2(ca+c +1})= z/_{2(x+y +z})

1/_((a+1)²_+b²₊₁)  + 1/_((b+1)²_+c²₊₁)  + 1/_((c+1)²_+a²₊₁) ≤  x/_{2(x+y +z}) + y/_{2(x+y +z}) + z/_{2(x+y +z}) =  0,5.

НЕЛІНІЙНІ НЕРІВНОСТІ 

1. a^p+b^p < c^p, якщо p>2,a>0, b>0, c>0, a²+b²=c².

2. c^p < a^p+b^p, якщо p<2, a>0, b>0, c>0, a²+b²=c².

3. (a+b)^2/3 < a^2/3+b^2/3, якщо a>0, b>0.

4. a+b+c ≤ ^ab/_c+^bc/_a+^ca/_b, якщо a>0, b>0, c>0.

5. (a^0,5+b^0,5 +c^0,5)a^0,5b^0,5c^0,5≤ a²+b² +c²   , якщо a ≥0, b ≥0, c ≥0.

6.  5a^0,5b^0,5 +5b^0,5c^0,5  +7a^0,5c^0,5≤ 7a+4b+7c, якщо a ≥0, b ≥0, c ≥0.

7.  2a²b²c²(2^0,5ab + 2^0,5ac+cb) ≤ 16a⁸+b⁸ +c⁸.

8. ^(a+b)/(_a²+_b²)+^(b+c)/(_b²+_c²)+^(a+c)/(_a²+_c²)≤¹/_a+¹/_b+¹/_c, якщо a>0, b>0, c>0.

9. ⁹/_a+b+c ≤  ²/_(a+b) + ²/_(b+c) +²/_(a+c), якщо a>0, b>0, c>0.

10.  a< 2a³+2a²+1,   якщо a≥0.

11.  a² -2a^0,5 < 2+a³,   якщо a≥0.

12. ¹/₂ ≤ ¹/_(a+1) + ¹/_(a+2) +¹/_(a+3)  + … + ¹/_2a , якщо a- натуральне число.

13. ¹/₉ +¹/₂₅ + …+¹/_(2a+2)²  < ¹/₄, якщо a- натуральне число.

14. b<ac+^c/_(c-1),  якщо a^0,5 +1≥b,  c>1.

15.  a^0,5b^0,5 +c^0,5d^0,5 ≤(a+c)(b+d)^0,5, якщо a ≥0, b ≥0, c ≥0, d ≥0.

16. 2¹/₉ <a^0,5/(b+c)^0,5+b^0,5/(a+c)^0,5+b^0,5/(a+c)^0,5, якщо a>0, b>0, c>0.   

17. (4a+1)^0,5+(4b+1)^0,5+(4c+1)^0,5<5, якщо a>0, b>0, c>0, a+b+c=1.   

18. (a+b)(a-b) ≤ a²+b².

19. 6a²b²  ≤ a⁴ +2a³b  +2ab ³ + b⁴ , якщо a ≥0, b ≥0.

20.  a⁴ -2a³b + 2a²b² -2ab³ + b⁴≥0, якщо a ≥0, b ≥0.

Нерівності для рядів чисел

1. 5/6<¹/_n+1 +¹/_n+2+ ¹/_n+3+…+¹/_3n<4/3

^{2.  1}/₂׳/₄×⁵/₆×⁷/₈×…×^2n-1/_2n ≤ ¹/(2n+3)^0,5, якщо n- натуральне число.

3.  2((n+1)^0,5-1)<1+¹/₂^0,5 + ¹/₃^0,5 +¹/₄^0,5 + ¹/₅^0,5+…+¹/_n^0,5 <2(n)^0,5 , якщо n- натуральне число.

^{4.  1}/₃² +¹/₄² + ¹/₅²+…+¹/_n²<1-¹/_n, якщо n- натуральне число.

5.  2ⁿ<xⁿ+x^n-2+x^n-4+…+¹/_x^n-4 +¹/_x^n-2 + ¹/_xⁿ, якщо х>0, n- натуральне число.

6.  4ⁿ/_n+1≤ ^(2n!)/_(n!)² , якщо n- натуральне число.

7.  (2+(2+(2+…+(2)^0,5)^0,5…)^0, )^0,5 ≤ 2cos(p/2ⁿ⁺¹), якщо n- натуральне число.

8.  (2+(2+(2+…+(2)^0,5)^0,5…)^0, )^0,5 < 2, якщо n- натуральне число.

Нерівності для експоненти

1. х+1 ≤ e^x, якщо x- дійсне число;  e»2,718281828459…..

2. х²+1 ≤ e^x, якщо x- дійсне число, x>-1; e»2,718281828459…..

3. x^e < e^x, якщо x- дійсне число.

4. x³+1 <e^x, якщо x- дійсне число, x<2; e»2,718281828459…..

5. e^x < x⁴, якщо x- дійсне число, |x|>2; e»2,718281828459…..

6. ln(x)-x<0, якщо x- дійсне число, x>0.

7. p^e <e^p ,   0,6815<e^p  -  p^e<0,6816; якщо  e»2,718281828459….. ; p»3,1415926535…

8. 4lnx ≤ x²-1/x, якщо x>1.

9. 2ln(x+(x²+1)^0,5) ≤  e^x - e^-x, якщо x ≥0,  e ®(1+1/x)^x, x®oo.

10. (1+¹/_a)^a > (1+¹/_a^a) ,  якщо 0<a <1, a>2.

11. (1+¹/_a)^a < (1+¹/_a^a) ,  якщо 1<a <2.  

12. ln(1+a)<a,  , якщо a >0.

13.   2a/(a+2) < ln(1+a)<a, якщо a >0.

14. 2abln(^b/_a)< b² – a², якщо 0<a <b.

15. 2 ln(a)<a²-1, якщо a >1.

16.    ln(1+a)/ln(a) < ln(a)/ln(a-1) , якщо a >2. 

Нерівності для  синуса та косинуса

0. -2^0,5 ≤  sina+cosa ≤ 2^0,5, якщо a- дійсне число.

1.  ¹/₂<sina/(1+sina) +cosa/(1+cosa)<⁶/₇;

2. ²/₃<sin²a/(1+cos²a) +cos²a/(1+sin²a)<1;

3.   -1≤ sin³a+cos³a≤ 1, якщо a- дійсне число.

4.  0,5 ≤ sin⁴a+cos⁴a≤ 1, якщо a- дійсне число.

5.   -1≤ sin⁵a+cos⁵a≤ 1, якщо a- дійсне число.

6.   0,25≤ sin⁶a+cos⁶a≤1, якщо a- дійсне число.

7.   0,125≤ sin⁸a+cos⁸a≤1, якщо a- дійсне число.

8.   0,0625≤ sin¹⁰a+cos¹⁰a≤1, якщо a- дійсне число.

9.  -1≤ sin^2n-1a+cos^2n-1a≤ 1, якщо n - натуральне число.

10.  ¹/₂^n-1≤ sin²ⁿa+cos²ⁿa≤ 1, якщо n - натуральне число.

11. sin²a +4cos²a -2sin2a -3sina +4cosa +2 ≥ 0,  якщо a - дійсне число.

12.  2sin2a- 2^0,5sin2a + 2^0,5cos2a+3 ≥ 0,  якщо a - дійсне число.

13.  cos4a- 4sin²a ≥  2 sin2acosa,  якщо a - дійсне число.

16.  2sin²a ≥ 2sin2a-1,  якщо a - дійсне число.

17. sinacosbcosc + cosasinbsinc ≤ 1,  якщо a, b, c - дійснi числa.

18. (sin(cos(a) ≤ (cos(sin(a)) ,  якщо a - дійсне число.


Нерівності з декількома змінними

39.  a²+3b²  +6c² +2ab -2ac -6abc > 0, якщо a²+b²+c²≠0. 

40.  |a+b| ≥ 2 ,   |a+1/a| ≥ 2 ,  якщо |ab|=1, a, b - дійснi числa.

41.  |a/b+b/a| ≥ 2,  якщо a, b - дійснi числa.

42.  a²+b² ≥ 2ab,  якщо a, b - дійснi числa.

43.  a₁+a₂+a₃+a₄+a₅+…+a_m ≥ m,  якщо  a₁∙a₂∙a₃∙a₄∙a₅∙…∙a_m =1

44.  ab+bc+ac ≤ a²+b²+c²,  якщо a, b, c - дійснi числa.

45.  3≤ a/b+b/c+c/a ,  якщо a, b, c – додатні  дійснi числa.

46.  a/b+b/c+c/a ≤ -3,  якщо a, b, c – від’ємні дійснi числa.

47. ^c/_a < ^(c+d)/_(a+b) < ^b/_d  , якщо a >0, b >0, c >0, d >0.  

 48.  (ab)^0,5+1≤  (a+1)^0,5(b+1)^0,5 ≤  1+(ab)^0,5/_min{a,b}, якщо a >0, b >0,

49. (abc)^1/3+1≤ (a+1)^1/3(b+1)^1/3(c+1)^1/3≤ 1+(abc) ^1/3/_min{a,b,c}, якщо a >0, b >0, c >0.

50.  ²/(¹/_a+¹/_b) ≤ (abc)^1/2 ≤ (a+b)/₂ ≤ ((a²+b²)/₂ )^0,5≤ ((a^k+b^k)/₂)^1/k

, якщо a >0, b >0.

51.  ³/(¹/_a+¹/_b+¹/_c) ≤ (abc)^1/3 ≤ (a+b+c)/₃ ≤ ((a²+b²+c²)/₃ )^0,5≤ ((a^k+b^k+c^k)/₃ )^1/k

, якщо a >0, b >0, c >0.

52.    3abc ≤ a³+b³+c³ ,  якщо a +b + c >0.