Геометрична задача з Вінницької мат.олімпіади 9 клас.

Математична олімпіада міста Вінниці - 2019( умови завдань)

1.     Задача. Нехай AF - медіана трикутника ABC,  D - середина AF,  E- точка перетину прямої CD зі стороною AB, DB=BF=FA.  Доведіть, що AE=ED.

Розв'язування. 

Розглянемо трикутник DВС, в якому DB=BF=FA, DF- медіана, яка проведена на сторону ВС. Одна сторона трикутника дорівнює половині більшої сторони трикутника, а медіана ділить найбільшу сторона навпіл.

Нехай,   ÐCDF  = α,   ÐBDF  = β,   ÐDFB=g  ÐDBF = j, ÐDCB = d. Проведемо коло w, з центром в точці F та радіусом R=BF, або R= FA. Центральний кут ÐDFB=g  для кола w, на цей центральний кут спирається вписаний кут ÐЕВС = ÐDCB = d=0,5g. Для трьох кутів трикутника СDB маємо рівність α +β+0,5g+j=180^о.  

Для трьох кутів трикутника DFB маємо рівність 

β+g+j=180^о. 

До обох частин  останньої рівність додамо число: величину кута  α,  а також замінимо величину кута g на 0,5g+0,5g, отримаємо:

α + β+0,5g+0,5g+j= α +180^о. 

Згрупуємо деякі доданки

 (α +β+0,5g+j)+0,5g= α +180^о.  

Враховуючи, що α +β+0,5g+j=180^о, 

отримаємо    180^о +0,5g= α +180^о. 

Таким чином, 0,5g= α=d. 

Отже, трикутник  АDF – рівнобедрений, а в трикутнику DFB для медіани  DF виконається рівність: DF=DB=BF=FA=х .

А тепер покажемо, що кут ВDС – прямий.

Маємо такі усі рівні кути в правильному трикутнику  DFB,  тому

 β=g=j=60^о.  

Маємо такі величини кутів в рівнобедреному трикутнику  DFB:

 α =g= 30^о,   ÐDFС =120^о.    

Таким чином, кут ÐВDС =α+ β=30^о+60^о=90^о.

 Трикутник ВDС – прямокутний, з гострими кутами 30^о та 60^о:

Тому в цьому прямокутному трикутнику медіана DF, що проведена до сторони АВ являється радіусом описаного кола з центром в точці F. Точка F - центр описаного кола ділить сторону СB  трикутника DВС навпіл. З іншої точки зору, кут DВС спирається на діаметр описаного кола, тому він прямий. Отже, трикутник  DВС – прямокутний.  Кут СDВ- прямий. Трикутник DFB – рівнобедрений за умовою з гострим кутом 60 градусів. Тому  трикутник DFB – має всі рівні кути, отже він являється правильним. 

Розглянемо коло r з центром в точці D та радіусом АD.  Маємо центральний кут DВС- прямий в колі r. Вписаний кут BAC в коло r, що спирається на прямий кут ÐDВС дорівнює половині прямого кута(тобто ÐBAC= 45 градусів).

Маємо центральний кут FDC =30 градусів в колі r. Вписаний кут FAC в коло r, що спирається на центральний кут FDC дорівнює 15 градусів.  

Вписаний кут FAB в колі r, що спирається на центральний кут FDВ=60^о,  дорівнює 30 градусів. 

Центральний кут АDЕ дорівнює 30 градусів, бо він вертикальний до кута ÐАDF=30 ^о.  Отже, трикутник АDЕ має два рівні внутрішні кути ÐА=ÐD = 30 градусів, тому АDЕ – рівнобедрений,  АЕ= DЕ, що і треба було довести.

*************************************

1.   2.  Доведіть нерівність a² + b² + 1 ≥ ab + a + b.

Доведення. Складаємо різницю двох виразів і дослідимо знаки цієї різниці функціональним способом. Отже покажемо, що  a² + b² + 1 - ab - a - b≥0.

Розглянемо квадратний тричлен від змінної а:

F(a;b)=a²–(b +1)a +b² - b+ 1. Дослідимо цей квадратний тричлен на знаки.

Дискримінант цього квадратного тричлена не додатний, бо D= -3(b-1)²≤0.

Так, як старший коефіцієнт у квадратному виразі, додатний, то

даний квадратний тричлен набуває додатних значень при будь-яких дійсних значеннях (a;b),окрім значення а=1; b=1. До речі F(1;1)=0.

Тому F(a;b)=a²–(b +1)a +b² - b+ 1≥0. Що і треба було довести.

Примітка. Аналогічно, можна було розглянути квадратний тричлен 
F(a;b)=a²–(b +1)a +b² - b+ 1  від змінної b.
 Спробуйте зробити це самостійно для удосконалення власних умінь та навичок.
**********************************

4.Є дріб 1/3. Щосекунди до його чисельника додається 1, а до знаменника додається 7.  Східний забобон стверджує: у той момент, коли одержимо дріб, скоротний на 11, настане кінець світу. Доведіть, що не потрібно боятися настання кінця світу.

Розв’язування. Після декількох операцій отримаємо:

чисельник дробу 1+n = 11m,

знаменник дробу 3+7n=11p.

Звідси отримаємо, що

n=11m-1`

n=(11p-3)/7.

Отримаємо діофантове рівняння

11m-1`=(11p-3)/7.

77 m-7=11p-3

77 m-11p=10

11(7m-p)=10

Число 10 не має дільника 11. Тому в цілих числах це рівняння не має цілих розв’яків. Тому кінця світу не відбудеться.

Геометрія в храмах