понеділок, 11 листопада 2019 р.

Геометрична задача з Вінницької мат.олімпіади 9 клас.

Математична олімпіада міста Вінниці - 2019( умови завдань)
1.     Задача. Нехай AF - медіана трикутника ABC,  D - середина AF,  E- точка перетину прямої CD зі стороною AB, DB=BF=FA.  Доведіть, що AE=ED.
Розв'язування. 
Розглянемо трикутник DВС, в якому DB=BF=FA, DF- медіана, яка проведена на сторону ВС. Одна сторона трикутника дорівнює половині більшої сторони трикутника, а медіана ділить найбільшу сторона навпіл.
Нехай,   ÐCDF  = α,   ÐBDF  = β,   ÐDFB=g  ÐDBF = j, ÐDCB = d. Проведемо коло w, з центром в точці F та радіусом R=BF, або R= FA. Центральний кут ÐDFB=g  для кола w, на цей центральний кут спирається вписаний кут ÐЕВС = ÐDCB = d=0,5g. Для трьох кутів трикутника СDB маємо рівність α +β+0,5g+j=180о.  
Для трьох кутів трикутника DFB маємо рівність 
β+g+j=180о. 
До обох частин  останньої рівність додамо число: величину кута  α,  а також замінимо величину кута g на 0,5g+0,5g, отримаємо:
α + β+0,5g+0,5g+j= α +180о. 
Згрупуємо деякі доданки
 (α +β+0,5g+j)+0,5g= α +180о.  
Враховуючи, що α +β+0,5g+j=180о, 
отримаємо    180о +0,5g= α +180о. 
Таким чином, 0,5g= α=d. 
Отже, трикутник  АDF – рівнобедрений, а в трикутнику DFB для медіани  DF виконається рівність: DF=DB=BF=FA=х .
А тепер покажемо, що кут ВDС – прямий.
Маємо такі усі рівні кути в правильному трикутнику  DFB,  тому
 β=g=j=60о.  
Маємо такі величини кутів в рівнобедреному трикутнику  DFB:
 α =g= 30о,   ÐDFС =120о.    
Таким чином, кут ÐВDС =α+ β=30о+60о=90о.
 Трикутник ВDС – прямокутний, з гострими кутами 30о та 60о:
Тому в цьому прямокутному трикутнику медіана DF, що проведена до сторони АВ являється радіусом описаного кола з центром в точці F. Точка F - центр описаного кола ділить сторону СB  трикутника DВС навпіл. З іншої точки зору, кут DВС спирається на діаметр описаного кола, тому він прямий. Отже, трикутник  DВС – прямокутний.  Кут СDВ- прямий. Трикутник DFB – рівнобедрений за умовою з гострим кутом 60 градусів. Тому  трикутник DFB – має всі рівні кути, отже він являється правильним. 
Розглянемо коло r з центром в точці D та радіусом АD.  Маємо центральний кут DВС- прямий в колі r. Вписаний кут BAC в коло r, що спирається на прямий кут ÐDВС дорівнює половині прямого кута(тобто ÐBAC= 45 градусів).
Маємо центральний кут FDC =30 градусів в колі r. Вписаний кут FAC в коло r, що спирається на центральний кут FDC дорівнює 15 градусів.  
Вписаний кут FAB в колі r, що спирається на центральний кут FDВ=60о,  дорівнює 30 градусів. 
Центральний кут АDЕ дорівнює 30 градусів, бо він вертикальний до кута ÐАDF=30 о.  Отже, трикутник АDЕ має два рівні внутрішні кути ÐА=ÐD = 30 градусів, тому АDЕ – рівнобедрений,  АЕ= DЕ, що і треба було довести.
*************************************

1.   2.  Доведіть нерівність a² + b² + 1 ≥ ab + a + b.

Доведення. Складаємо різницю двох виразів і дослідимо знаки цієї різниці функціональним способом. Отже покажемо, що  a² + b² + 1 - ab - a - b≥0.
Розглянемо квадратний тричлен від змінної а:
F(a;b)=a²–(b +1)a +b² - b+ 1. Дослідимо цей квадратний тричлен на знаки.
Дискримінант цього квадратного тричлена не додатний, бо D= -3(b-1)2≤0.
Так, як старший коефіцієнт у квадратному виразі, додатний, то
даний квадратний тричлен набуває додатних значень при будь-яких дійсних значеннях (a;b),окрім значення а=1; b=1. До речі F(1;1)=0.

Тому F(a;b)=a²–(b +1)a +b² - b+ 1≥0. Що і треба було довести.
Примітка. Аналогічно, можна було розглянути квадратний тричлен 
F(a;b)=a²–(b +1)a +b² - b+ 1  від змінної b.
 Спробуйте зробити це самостійно для удосконалення власних умінь та навичок.
**********************************

4.Є дріб 1/3. Щосекунди до його чисельника додається 1, а до знаменника додається 7.  Східний забобон стверджує: у той момент, коли одержимо дріб, скоротний на 11, настане кінець світу. Доведіть, що не потрібно боятися настання кінця світу.
Розв’язування. Після декількох операцій отримаємо:
чисельник дробу 1+n = 11m,
знаменник дробу 3+7n=11p.
Звідси отримаємо, що
n=11m-1`
n=(11p-3)/7.
Отримаємо діофантове рівняння
11m-1`=(11p-3)/7.
77 m-7=11p-3
77 m-11p=10
11(7m-p)=10
Число 10 не має дільника 11. Тому в цілих числах це рівняння не має цілих розв’яків. Тому кінця світу не відбудеться.

Геометрія в храмах





Опубліковано о Немає коментарів:

субота, 9 листопада 2019 р.

АРХІВ предметних вінницьких олімпіад

Опубліковано о Немає коментарів:

вівторок, 5 листопада 2019 р.

Теорема основних елементів трикутника


Задача Вінницького
Розв’язування:
ABCD- трапеція з перпендикулярними діагоналями, що перединаються в точці О.
АВ=а, DC=b, ÐACD=a,  ÐAOB- прямий, AK=KB, BL=LC,
CM=MD, DG=GA, KM – середня лінія трапеції,
NL – середня лінія трапеції.
HF= 0,5(a+b)sin2a - висота трапеції ABCD.
S=0,25(a+b)2sin2a - площа трапеції  ABCD.
d1=DB=(a+b)sina - діагональ трапеції ABCD.
d2=АС=(a+b)cosa - діагональ трапеції ABCD.
KM=NL=0,5(a+b)- середні лінії трапеції.
NX=LZ=0,5a;   XZ=0,5(b-a);
ВС= (b2cos2a + a2sin2a)0,5 - бічна сторона трапеції ABCD.
AD= (а2cos2a + b2sin2a)0,5 - бічна сторона трапеції ABCD.
OE=(0,5absin2a)/ (b2cos2a + a2sin2a)0,5
OG=(0,5absin2a)/ (а2cos2a + b2sin2a)0,5
Два подібні прямокутні трикутники AOB та COD,
що містять  основи трапеції з коефіцієнтом подібності k=b/a.
Два подібні прямокутні трикутники AOB та LNK,
що відповідно містять  основу та середню лінію трапеції
з коефіцієнтом подібності k=0,5(1+b/a).
Два подібні прямокутні трикутники AOB та ZOX,
з коефіцієнтом подібності k=2a/(b-a).
Два подібні прямокутні трикутники COD та ZOX,
з коефіцієнтом подібності k=2b/(b-a).
Два рівновеликі (проте не подібні) прямокутні трикутники АOD та ВOС,
з  рівними площами S=0,25absin2a.
S=0,125(a+b)2sin2a- це площа прямокутника KLMN,
що побудований на серединах сторін трапеції ABCD.













Опубліковано о Немає коментарів:

неділя, 3 листопада 2019 р.

Класичні нерівності на середніх величинах



Означення 1. Для двох додатних дійсних чисел v та w число(2<v<w), що обчислене за формулою:
Н2=2vw/(v+w)
називається середнє гармонійне число.
Примітка. Середнє гармонійне це таке число, яке вказує у скільки разів добуток даних двох чисел більше середнього арифметичного даних двох чисел(півсуми двох чисел).
Приклади.
Перше число не менше двох
Друге число не менше двох
Піврізниця двох доданих чисел r(v,w)
Cереднє гармонійне двох додатних чисел v<H(v, w)<w
v
w
r=(w-v)*0,5
H(v,w)=2vw/(v+w)
2
3
0,5
2,4
3,1
4
0,45
3,492957746
4,2
5
0,4
4,565217391
5,3
6
0,35
5,628318584
6,4
7
0,3
6,686567164
7,5
8
0,25
7,741935484
8,6
9
0,2
8,795454545
9,7
10
0,15
9,847715736
10,8
11
0,1
10,89908257
11,9
12
0,05
11,94979079
12
14
1
12,92307692
13
17
2
14,73333333
14
20
3
16,47058824
15
23
4
18,15789474
16
17
0,5
16,48484848

Означення 2. Для двох додатних дійсних чисел v та w число(2<v<w), що обчислене за формулою:
V2=(vw-1/vw)0,5
 називається середнє вивірене число.

Примітка. Середнє вивірене це таке число, яке вказує на квадратний корінь від різниці добутку двох даних чисел та оберненої до добутку величини даних двох чисел: (vw-1/vw)^0,5.
Приклади.

Перше число не менше двох
Друге число не менше двох
Піврізниця двох доданих чисел r(v,w)
Cереднє вивірене
двох додатних чисел
v<V(v, w)<w
v
w
r=(w-v)*0,5
V(v,w)=((v*v*w*w-1)/(vw))^0,5
2
3
0,5
2,415229458
3,1
4
0,45
3,50989385
4,2
5
0,4
4,577377082
5,3
6
0,35
5,636359948
6,4
7
0,3
6,691612554
7,5
8
0,25
7,744890789
8,6
9
0,2
8,796992674
9,7
10
0,15
9,848334414
10,8
11
0,1
10,89915513
11,9
12
0,05
11,94960239
12
14
1
12,96125178
13
17
2
14,86591656
14
20
3
16,73309381
15
23
4
18,57409759
16
17
0,5
16,49231104

Означення 3. Для двох додатних дійсних чисел v та w число(2<v<w), що обчислене за формулою:
С(v,w)= (vw-1/v2w2)0,5.
називається cереднє скориговане двох додатних чисел.
Примітка. Середнє скориговане це таке число, яке вказує на квадратний корінь від різниці добутку двох даних чисел та квадрату оберненої до добутку величини даних двох чисел: (vw-1/v2w2)^0,5.
Приклади.



Перше число не менше двох
Друге число не менше двох
Піврізниця двох доданих чисел r(v,w)
Cереднє скориговане двох додатних чисел С(v,w)
v
w
r=(w-v)*0,5
C(v,w)=
=(vw-1/v2w2)^0,5.
2
3
0,5
2,44381305
3,1
4
0,45
3,520439796
4,2
5
0,4
4,582328276
5,3
6
0,35
5,639061191
6,4
7
0,3
6,693242992
7,5
8
0,25
7,745948762
8,6
9
0,2
8,797717492
9,7
10
0,15
9,848852406
10,8
11
0,1
10,89953802
11,9
12
0,05
11,94989335
12
14
1
12,96148003
13
17
2
14,86606806
14
20
3
16,73320015
15
23
4
18,57417539
16
17
0,5
16,49242209


 Означення 4. Для двох додатних дійсних чисел v та w число(2<v<w), що обчислене за формулою:
G2=(vw)0,5
називається середнє геометричне число.
Примітка.  Середнє геометричне це таке число, яке вказує на квадратний корінь від добутку двох даних чисел (vw)^0,5, і є довжиною перпендикуляра  при умові, що відомі довжини проекцій двох похилих для даного перпендикуляра,, які відповідно дорівнюють v, w.

Приклади.



Перше число не менше двох
Друге число не менше двох
Піврізниця двох доданих чисел r(v,w)
Середнє геометричне двох додатних чисел G(v,w)
v
w
r=(w-v)*0,5
G(v,w)=(vw)^0,5
2
3
0,5
2,449489743
3,1
4
0,45
3,521363372
4,2
5
0,4
4,582575695
5,3
6
0,35
5,639148872
6,4
7
0,3
6,693280212
7,5
8
0,25
7,745966692
8,6
9
0,2
8,797726979
9,7
10
0,15
9,848857802
10,8
11
0,1
10,89954127
11,9
12
0,05
11,9498954
12
14
1
12,9614814
13
17
2
14,86606875
14
20
3
16,73320053
15
23
4
18,57417562
16
17
0,5
16,4924225


Означення 4. Для двох додатних дійсних чисел v та w число(2<v<w), що обчислене за формулою:
A2=0,5(v+w)
називається середнє арифметичне число.
Примітка. Середнє арифметичне це таке число, яке вказує середину між числами v та w і дорівнює півсумі двох чисел.
Приклади.
Перше число не менше двох
Друге число не менше двох
Піврізниця двох доданих чисел r(v,w)
Середнє арифметичне двох додатних чисел A(v,w)
v
w
r=(w-v)*0,5
A(v,w)=(v+w)/2
2
3
0,5
2,5
3,1
4
0,45
3,55
4,2
5
0,4
4,6
5,3
6
0,35
5,65
6,4
7
0,3
6,7
7,5
8
0,25
7,75
8,6
9
0,2
8,8
9,7
10
0,15
9,85
10,8
11
0,1
10,9
11,9
12
0,05
11,95
12
14
1
13
13
17
2
15
14
20
3
17
15
23
4
19
16
17
0,5
16,5

Означення 5. Для двох додатних дійсних чисел v та w число(2<v<w), що обчислене за формулою:
Q2=(0,5(v2+w2))0,5
 називається середнє квадратичне число.
Примітка. Середнє квадратичне вказує на величину відхилення від середнього арифметичного двох даних чисел(тобто на кореляцію даних)
Приклади.







Перше число не менше двох
Друге число не менше двох
Піврізниця двох доданих чисел r(v,w)
Cереднє квадратичне двох додатних чисел  Q(v,w)
v
w
r=(w-v)*0,5
Q(v,w)=((v^2+w^2)/2)^0,5
2
3
0,5
2,549509757
3,1
4
0,45
3,578407467
4,2
5
0,4
4,617358552
5,3
6
0,35
5,660830328
6,4
7
0,3
6,706713055
7,5
8
0,25
7,75403121
8,6
9
0,2
8,802272434
9,7
10
0,15
9,851142066
10,8
11
0,1
10,90045871
11,9
12
0,05
11,9501046
12
14
1
13,03840481
13
17
2
15,13274595
14
20
3
17,2626765
15
23
4
19,41648784
16
17
0,5
16,50757402
.
Означення 6. Для двох додатних дійсних чисел v та w число(2<v<w), що обчислене за формулою:
Q7=((v7+w7+H7+V7+C7+G7+A7+Q7)/7)(1/7)

 називається середнє степеневе семи проміжних і крайніх  величин.
Приклади.








Перше число не менше двох
Друге число не менше двох
Піврізниця двох доданих чисел r(v,w)
Cереднє степеневе семи попередніх величин U7(v,w)
v
w
r=(w-v)*0,5
U7(v,w)
2
3
0,5
2,563511253
3,1
4
0,45
3,585954259
4,2
5
0,4
4,621880028
5,3
6
0,35
5,663622508
6,4
7
0,3
6,708424126
7,5
8
0,25
7,755039163
8,6
9
0,2
8,802819643
9,7
10
0,15
9,851394283
10,8
11
0,1
10,90053472
11,9
12
0,05
11,95009264
12
14
1
13,04980812
13
17
2
15,17518445
14
20
3
17,3524329
15
23
4
19,5666329
16
17
0,5
16,50973669






Означення 6. Для двох додатних дійсних чисел v та w число(2<v<w), що обчислене за формулою:
U7=0,5(v-w)+(vw)0,5
 називається арифмо-геометричне число.
Приклади.






Перше число не менше двох
Друге число не менше двох
Піврізниця двох доданих чисел r(v,w)
Cереднє арифмо-геометричне двох додатних чисел
v<AG(v,w)<w
v
w
r=(w-v)*0,5
AG(v,w)=0,5(w-v)+(vw)^0,5
2
3
0,5
2,949489743
3,1
4
0,45
3,971363372
4,2
5
0,4
4,982575695
5,3
6
0,35
5,989148872
6,4
7
0,3
6,993280212
7,5
8
0,25
7,995966692
8,6
9
0,2
8,997726979
9,7
10
0,15
9,998857802
10,8
11
0,1
10,99954127
11,9
12
0,05
11,9998954
12
14
1
13,9614814
13
17
2
16,86606875
14
20
3
19,73320053
15
23
4
22,57417562
16
17
0,5
16,9924225


Доведіть, що середні величини двох додатних чисел v та w число(2<v<w), мають такі властивості:
v<H2<V2<C2<G2<A2<Q2<U7<AG2<w
Опубліковано о Немає коментарів:
Підписатися на: Дописи (Atom)