неділя, 5 лютого 2017 р.

Обласні олімпіади з математики

Обласні олімпіади з математики


XXI (1994-1995 уч. год)   8 класс   9 класс   10 класс   11 класс

8 класс

Первый день
8.1. Существуют ли такие двузначные числа \overline{ab} и \overline{cd}, что
\overline{ab}\cdot\overline{cd}=\overline{abcd}?
\overline{ab}\cdot\overline{cd}=\overline{abcd}=\overline{ab}\cdot100+\overline{cd}
Обозначим A=\overline{ab},B=\overline{cd}. Имеем
AB=100A+B или (A-1)B=100A.
Поскольку A-1< A, то B> 100, что невозможно, так как B — двузначное число.
Ответ: нет.
8.2. В классе не менее 95,5% и не более 96,5% учеников учатся без двоек. При каком наименьшем количестве учеников это возможно?
Хотя бы один двоечник в классе, очевидно, есть. И наименьшее число учеников в классе будет тогда, когда он один. Этот двоечник составляет тогда меньше, чем 4,5% числа всех учеников класса. Пусть в классе x человек. Получаем, что 1<0,045x, откуда \displaystyle x>22\frac{2}{9}, т.е. наименьшее число учеников класса равно 23.
Ответ: 23.
8.3. Дан равнобедренный треугольник с углом 20^{\circ} при вершине. Докажите, что его боковая сторона больше удвоенного основания.
Пусть ABC — этот треугольник (AB=BC).
Отложим на стороне BC отрезок CD=AC (мы можем это сделать, так как BC>AC — в треугольнике против большего угла лежит большая сторона). В треугольнике ABD сторона BD (лежит против угла в 30^{\circ}) больше AD (лежит против угла 20^{\circ}). Кроме того, AD> AC (из треугольника ADC). Тем самым, получаем, что BC=BD+DC>AC+AC=2AC, что и требовалось доказать.
8.4. В кружочках расположены числа 1, 2, 3, 4, 5, 6 (см. рисунок слева). За один ход разрешается выбрать любую пару соседних (соединенных отрезком) чисел и прибавить к каждому из них одно и то же целое число (это число может меняться от шага к шагу). Можно ли из совокупности чисел на рисунке слева получить совокупность чисел, изображенных на рисунке справа?
Обозначим через S_1 сумму чисел в закрашенных кружочках, а через S_2 — сумму чисел во всех остальных кружочках:
Тогда разность S_1-S_2 на любом шаге остается неизменной. Однако для рисунка слева она равна -3, а для рисунка справа она равна 3. Значит, перейти от того, что изображено на рисунке слева к тому, что изображено на рисунке справа, невозможно.
Ответ: нельзя.
Второй день
8.5. Двое по очереди закрашивают клетки таблицы 8\times8. Одним ходом разрешается закрасить одну или несколько клеток, расположенных либо в одной строке, либо в одном столбце таблицы. Клетки, закрашенные ранее, вторично закрашивать запрещается. Проигравшим считается тот из игроков, кто не может сделать очередной ход. Кто выигрывает при правильной игре: начинающий или его партнер?
Выигрывает тот, кто ходит вторым. На каждом ходу ему нужно закрашивать клетки, симметричные относительно центра доски тем, которые перед ним закрасил первый игрок.
8.6. Докажите, что для любых чисел x и y справедливо неравенство
2x^4+2y^4\ge xy(x+y)^2 .
Перенесем все в левую часть и раскроем скобки, полученное выражение должно быть неотрицательно. Преобразуем его:
2x^4+2y^4-x^3y-2x^2y^2-xy^3=(x^4-2x^2y^2+y^4)+(x^4-x^3y)+(y^4-xy^3)=
=(x^2-y^2)^2+x^3(x-y)-y^3(x-y)=(x^2-y^2)^2+(x^3-y^3)(x-y)=
=(x^2-y^2)^2+(x-y)^2(x^2+xy+y^2).
Очевидно, что первое слагаемое неотрицательно. Во втором слагаемом первый сомножитель также неотрицательный. Расмотрим второй множитель:
\displaystyle x^2+xy+y^2=\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}y^2+\frac{1}{2}(x^2+2xy+y^2)= \frac{1}{2}(x^2+y^2)+\frac{1}{2}(x+y)^2\ge0.
Тем самым, исходное неравенство доказано.
8.7. Назовем натуральное число симметричным, если число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке, совпадает с исходным. Найдите все симметричные числа, которые при добавлении к ним числа 1995 остаются симметричными.
Рассмотрим сначала однозначные числа. Среди них условию задачи удовлетворяет только число 7: 7+1995=2002.
Для двузначного симметричного числа первая цифра суммы этого числа и 1995 равна 2, значит, это может быть только число 77, которое не подходит.
Для любого трехзначного числа первая цифра суммы также равна 2, поэтому число должно иметь вид \overline{7 x 7}, где x — цифра, которую осталось найти. \overline{7 x 7}+1995=\overline{27 x 2}, и x=7.
Для любого четырехзначного числа или числа с большим числом знаков, имеющего вид \overline{x\ldots x}, последняя цифра суммы равна x+5 или x-5, а первая цифра суммы будет равна x, x+1,x+2,x-9 или x-8, поэтому первая и последняя цифры суммы не могут совпадать.
Ответ: 7 и 777.
8.8. В треугольниках ABC и A_1B_1C_1 отрезки CD и C_1D_1 – биссектрисы углов C и C_1 соответственно. Известно, что AB=A_1B_1, CD=C_1D_1 и \angle ADC=\angle A_1D_1C_1. Докажите, что треугольники ABC и A_1B_1C_1 равны.
Расположим треугольники ABC и A_1B_1C_1 так, чтобы стороны AB и A_1B_1 совпали, а вершины C и C_1 лежали в одной полуплоскости относительно прямой AB.
Пусть \Delta ABC\ne \Delta A_1B_1C_1. Тогда их вершины C и C_1 различны. Если C_1\not\in CD, то CD || C_1D_1, так как \angle ADC=\angle AD_1C_1. Следовательно, \angle DCB=\angle D_1E_1B и \angle AC_1D_1=\angle AED. Обозначим \alpha=\angle ACD, \beta=\angle AC_1D_1. Так как CD и C_1D_1 — биссектрисы углов C и C_1, то \angle ACD=\alpha, а \angle BC_1D_1=\beta. Из треугольника ACE получаем, что \beta>\alpha (угол AED=\beta — внешний), а из треугольника BE_1C_1 — \alpha>\beta по той же самой причине. Эти неравенства противоречат друг другу, следовательно, прямые CD и C_1D_1 совпадают. Так как CD=C_1D_1, то точки C и C_1 также совпадают. Следовательно, \Delta ABC=\Delta A_1B_1C_1, и задача решена.

9 класс

Первый день
9.1. Докажите, что сумма попарных произведений трех последовательных натуральных чисел не может равняться 3000000.
Пусть эти три числа a-1,a и a+1. Сумма их попарных произведений равна
a(a-1)+(a-1)(a+1)+a(a+1)=3a^2-1,
и она не делится на 3, в отличие от числа 3000000.
9.2. На стороне AB треугольника ABC взята точка P, отличная от точек A и B, а на сторонах BC и AC – точки Q и R соответственно так, что четырехугольник PQCR – параллелограмм. Пусть отрезки AQ и PR пересекаются в точке M, а отрезки BR и PQ – в точке N. Докажите, что сумма площадей треугольников AMP и BNP равна площади треугольника CQR.
Обозначим отношение \displaystyle \frac{AP}{PB}=\frac{x}{y} . Тогда по теореме о пропорциональных отрезках имеем (прямые PR и QC параллельны, прямые PQ и AC параллельны):
\displaystyle\frac{AR}{RC}=\frac{QC}{BQ}=\frac{AM}{MQ}=\frac{NR}{BN}=\frac{x}{y} .
Отсюда
\displaystyle \frac{S_{AMP}}{S_{ABQ}}=\frac{AP}{AB}\cdot\frac{AM}{AQ}=\frac{x^2}{(x+y)^2},\frac{S_{ABQ}}{S_{ABC}}=\frac{BQ}{BC}=\frac{y}{x+y},
следовательно,
\displaystyle \frac{S_{AMP}}{S_{ABC}}=\frac{S_{AMP}}{S_{ABQ}}\cdot\frac{S_{ABQ}}{S_{ABC}}=\frac{x^2y}{(x+y)^3}.
Аналогично
\displaystyle \frac{S_{BNP}}{S_{ABR}}=\frac{BP}{AB}\cdot\frac{BN}{BR}=\frac{y^2}{(x+y)^2}, \frac{S_{ABR}}{S_{ABC}}=\frac{AR}{AC}=\frac{x}{x+y}
и
\displaystyle \frac{S_{BNP}}{S_{ABC}}=\frac{S_{BNP}}{S_{ABP}}\cdot\frac{S_{ABR}}{S_{ABC}}=\frac{xy^2}{(x+y)^3} .
Теперь находим
\displaystyle \frac{S_{AMP}+S_{BNP}}{S_{ABC}}=\frac{x^2y+xy^2}{(x+y)^3}=\frac{xy}{(x+y)^2} .
Теперь сравним это отношение с отношением
\displaystyle \frac{S_{CQR}}{S_{ABC}}=\frac{CQ}{BC}\cdot\frac{CR}{AC}=\frac{x}{x+y}\cdot\frac{y}{x+y}=\frac{xy}{x+y},
откуда сразу же следует, что S_{AMP}+S_{BNP}=S_{CQR}.
9.3. Клетки квадратной таблицы 15\times15 раскрашены в красный, синий и зеленый цвета. Докажите, что найдутся по крайней мере две строки, в которых клеток хотя бы одного цвета поровну.
Предположим противное. Тогда в любых строках разное количество клеток красного цвета, и всего в таблице клеток красного цвета не меньше, чем
0+1+2+\ldots+13+14=105.
Точно так же в таблице не меньше 105 синих и 105 зеленых клеток. Значит, всего в таблице не менее 105\cdot3=315 клеток, тогда как в ней имеется 15^2=225 клеток. Полученное противоречие говорит о том, что по крайней мере в двух строках количество клеток одного какого-то цвета совпадает.
9.4. Можно ли разрезать квадрат на несколько равных прямоугольных треугольников с острым углом 30^{\circ}?
Предположим, что это возможно. Пусть меньший катет такого прямоугольного треугольника равен 1, тогда его больший катет равен \sqrt{3}, а гипотенуза равна 2. Площадь такого треугольника равна \sqrt{3}/2. На стороне квадрата a укладывается целое число катетов и гипотенуз, то есть a=m\sqrt{3}+n, где числа m и n целые неотрицательные. Найдем площадь квадрата. Она равна
a^2=3m^2+n^2+2mn\sqrt{3}.
С другой стороны, площадь квадрата, разбитого на k треугольников, равна k\sqrt{3}/2. Следовательно, имеем
3m^2+n^2+2mn\sqrt{3}=k\sqrt{3}/2,
откуда
3m^2+n^2=(k/2-2mn)\sqrt{3} .
Так как левая часть положительна, то и равная ей правая часть равенства тоже положительна, не нуль, и на нее можно поделить.
\displaystyle \sqrt{3}=\frac{3m^2+n^2}{k/2-2mn} .
Получилось, что \sqrt{3} — рациональное число. Полученное противоречие говорит о невозможности разрезать квадрат так, как требуется в условии задачи.
Второй день
9.5. Решите уравнение
x^{19}+x^{95}=2x^{19+95} .
9.6. В окружность вписан равносторонний треугольник ABC. На дуге AB, не содержащей точки C, выбрана точка M, отличная от A и B. Пусть прямые AC и BM пересекаются в точке K, а прямые BC и AM – в точке N. Докажите, что произведение длин отрезков AK и BN не зависит от выбора точки M.
9.7. Сумма нескольких натуральных чисел, в записи каждого из которых участвуют только цифры 3 и 0, равна \displaystyle\underbrace{55\ldots55}_{1995} (1995 пятерок). Какое наименьшее число слагаемых может быть в этой сумме?
9.8. Дан квадрат, разбитый на клетки 1\times1. По линиям разбиения (внутри квадрата или на его границе) проведено несколько контуров, каждый из которых ограничивает некоторый прямоугольник. Может ли оказаться так, что через любую сторону любой клетки будет проходить нечетное число указанных контуров?

10 класс

Первый день
10.1. Решите в целых числах систему уравнений
\left\{\begin{array}{l}<br /> xy+z=94,\\<br /> x+yz=95.<br /> \end{array}\right.
10.2. В выпуклом четырехугольнике ABCD биссектрисы углов CAD и CBD пересекаются на стороне CD. Докажите, что биссектрисы углов ACB и ADB пересекаются на стороне AB.
10.3. Микрокалькулятор “АХ-95” работает только с четверками чисел и выполняет только две операции:
1) переводит (a,b,c,d) в (a+1,b+1,c+1,d+1);
2) переводит (a,b,c,d) в (a,b-1,c+2,d+1).
Можно ли при помощи этого калькулятора из четверки (3,4,2,1) получить четверку (6,5,7,8)?
10.4. В некотором районе, состоящем из нескольких деревень, число женихов равно числу невест. Известно, что в каждой из деревень общее число женихов и невест не превосходит половины от общего числа женихов и невест всего района. Докажите, что всех этих молодых людей можно поженить так, что в каждой паре муж и жена будут из разных деревень.
Второй день
10.5. При каком наименьшем n число \displaystyle1\underbrace{22\ldots22}_{n}1 (n двоек) делится на 999\,999\,999?
10.6. Решите уравнение
[x]+\left[ x^2\right]=\left[ x^3\right] .
10.7. Внутри острого угла AXY (с вершиной A) взята точка D, а на его сторонах – точки B и C так, что \angle ABC=\angle XBD и \angle ACB=\angle YCD. Докажите, что центр окружности, описанной около треугольника ABC, лежит на отрезке AD.
10.8. Дан квадрат, разбитый на клетки 1\times1. По линиям разбиения (внутри квадрата или на его границе) проведено несколько контуров, каждый из которых ограничивает некоторый прямоугольник. Может ли оказаться так, что через любую сторону любой клетки будет проходить нечетное число указанных контуров?

11 класс

Первый день
11.1. Докажите, что если a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca<0, то a^2+b^2<c^2.
11.2. На клетчатой доске 4\times4 играют двое. Ходят по очереди, и каждый играющий своим ходом закрашивает одну клетку. Клетки закрашиваются один раз. Проигрывает тот, после чьего хода образуется квадрат 2\times2, состоящий из закрашенных клеток. Кто выигрывает при правильной игре: начинающий или его партнер?
11.3. В треугольнике ABC с острым углом при вершине A проведены биссектриса AE и высота BH. Известно, что \angle AEB=45^{\circ}. Найдите угол EHC.
11.4. В некотором районе, состоящем из нескольких деревень, число женихов равно числу невест. Известно, что в каждой из деревень общее число женихов и невест не превосходит половины от общего числа женихов и невест всего района. Докажите, что всех молодых людей можно поженить так, что в каждой паре муж и жена будут из разных деревень.
Второй день
11.5. Назовем натуральное число симметричным, если число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке, совпадает с исходным. Найдите все симметричные числа, которые при прибавлении к ним числа 1995 остаются симметричными.
11.6. Каждое из чисел x,y и z равно косинусу суммы двух остальных. Докажите, что x=y=z.
11.7. Дан остроугольный треугольник ABC. Точки P,Q и R расположены так, что основания перпендикуляров, опущенных из нах на каждую из прямых AB,BC и CA, принадлежат отрезкам AB,BC и CA соответственно. Докажите, что площадь треугольника PQR не превосходит площади треугольника ABC.
11.8. Можно ли правильный шестиугольник со стороной длины n (n – натуральное число) разрезать на фигурки вида  фигурка составлена из четырех равносторонних треугольников со стороной 1)?




XL (2013-2014 уч. год)

11 класс

Первый день
11.1. Квадратный трёхчлен f(x) = ax^2+bx+c, не имеющий корней, таков, что коэффициент b рационален, а среди чисел c и f(c) ровно одно иррационально. Может ли дискриминант трехчлена f(x) быть рациональным?
11.2. Положительные числа x, y и z удовлетворяют условию xyz \ge xy + yz + zx. Докажите неравенство \sqrt{xyz} \ge \sqrt{x} + \sqrt{y} + \sqrt{z}.
11.3. В треугольнике ABC проведена биссектриса BL. На отрезке CL выбрана точка M. Касательная в точке B к окружности \Omega, описанной около треугольника ABC, пересекает луч CA в точке P. Касательные в точках B и M к окружности \Gamma, описанной около треугольника BLM, пересекаются в точке Q. Докажите, что прямые PQ и BL параллельны.
11.4. Есть клетчатая доска 2015 \times 2015. Дима ставит в k клеток по детектору. Затем Коля располагает на доске клетчатый корабль в форме квадрата 1500 \times 1500. Детектор в клетке сообщает Диме, накрыта эта клетка кораблём или нет. При каком наименьшем k Дима может расположить детекторы так, чтобы гарантированно восстановить расположение корабля?
Второй день
11.5. Назовём непустое (конечное или бесконечное) множество A, состоящее из натуральных чисел, полным, если для любых натуральных a и b (не обязательно различных и не обязательно лежащих в A) таких, что a+b лежит в A, число ab также лежит в A. Найдите все полные множества натуральных чисел.
11.6. В пространстве расположены 2016 сфер, никакие две из них не совпадают. Некоторые из сфер — красного цвета, а остальные — зеленого. Каждую точку касания красной и зеленой сферы покрасили в синий цвет. Найдите наибольшее возможное количество синих точек.
11.7. По кругу стоят n мальчиков и n девочек. Назовем пару из мальчика и девочки хорошей, если на одной из дуг между ними стоит поровну мальчиков и девочек (в частности, стоящие рядом мальчик и девочка образуют хорошую пару). Оказалось, что есть девочка, которая участвует ровно в 10 хороших парах. Докажите, что есть и мальчик, который участвует ровно в 10 хороших парах.
11.8. Натуральное число N представляется в виде N = a_1-a_2 = b_1 – b_2 = c_1 – c_2 = d_1 – d_2, где a_1 и a_2 — квадраты, b_1 и b_2 — кубы, c_1 и c_2 — пятые степени, а d_1 и d_2 — седьмые степени натуральных чисел. Обязательно ли среди чисел a_1, b_1, c_1 и d_1 найдутся два равных?

10 класс

Первый день
10.1. Ученик за одну неделю получил 17 оценок (каждая из них — 2, 3, 4 или 5). Среднее арифметическое этих 17 оценок —целое число. Докажите, что какую-то оценку он получил не более двух раз.
(Н. Агаханов, И. Богданов)

10.2. Стозначное число n назовём необычным, если десятичная запись числа n^3 заканчивается на n, а десятичная запись числа n^2 не заканчивается на n. Докажите, что существует не менее двух стозначных необычных чисел.
(В. Сендеров)
10.3. В языке племени АУ две буквы — “а” и “у”. Некоторые последовательности этих букв являются словами, причём в каждом слове не больше 13 букв. Известно, что если написать подряд любые два слова, то полученная последовательность букв не будет словом. Найдите максимальное возможное количество
слов в таком языке.
(И. Богданов)

10.4. На стороне AB треугольника ABC выбраны точки C_1 и C_2. Аналогично, на стороне BC выбраны точки A_1 и A_2, а на стороне AC — точки B_1 и B_2. Оказалось, что отрезки A_1B_2, B_1C_2 и C_1A_2 имеют равные длины, пересекаются в одной точке, и
угол между любыми двумя из них равен 60^{\circ}. Докажите, что
\displaystyle \frac{A_1A_2}{BC}=\frac{B_1B_2}{CA}=\frac{C_1C_2}{AB}.
(И. Богданов)
Второй день
10.5. На доске написано уравнение x^3 +∗x^2 +∗x+∗ = 0. Петя и Вася по очереди заменяют звёздочки на рациональные числа: вначале Петя заменяет любую из звёздочек, потом Вася —любую из двух оставшихся, а затем Петя —оставшуюся звёздочку. Верно ли, что при любых действиях Васи Петя сможет получить уравнение, у которого разность каких-то двух корней равна 2014?
(Н. Агаханов)
10.6. Треугольник ABC вписан в окружность \Omega с центром O. Окружность, построенная на AO как на диаметре, пересекает описанную окружность треугольника OBC в точке S \ne O. Касательные к \Omega в точках B и C пересекаются в точке P. Докажите, что точки A, S и P лежат на одной прямой.
(Р. Садыков)
10.7. По кругу стоят 10^{1000} натуральных чисел. Между каждыми двумя соседними числами записали их наименьшее общее кратное. Могут ли эти наименьшие общие кратные образовать 101000 последовательных чисел (расположенных в каком-то порядке)?
(С. Берлов)
10.8. Петя поставил на доску 50 \times 50 несколько фишек, в каждую клетку — не больше одной. Докажите, что Вася может поставить на свободные поля этой же доски не более 99 новых фишек (возможно, ни одной) так, чтобы по-прежнему в каждой клетке стояло не больше одной фишки, и в каждой строке и каждом столбце этой доски оказалось чётное количество фишек.
(С. Берлов)


11 класс

Первый день
11.1. Дан выпуклый 7-угольник. Выбираются четыре произвольных его угла и вычисляются их синусы, от остальных трёх углов вычисляются косинусы. Оказалось, что сумма таких семи чисел не зависит от изначального выбора четырёх углов. Докажите, что у этого 7-угольника найдутся четыре равных угла.
(И. Богданов)
11.2. На доске написано выражение
\displaystyle \frac{a}{b}\cdot \frac{c}{d}\cdot\frac{e}{f},
где a, b, c, d, e, f — натуральные числа. Если число a увеличить на 1, то значение этого выражения увеличится на 3. Если в исходном выражении увеличить число c на 1, то его значение увеличится на 4; если же в исходном выражении увеличить число e на 1, то его значение увеличится на 5. Какое наименьшее значение может иметь произведение bdf?
(Н. Агаханов)
11.3. Все клетки квадратной таблицы n\times n пронумерованы в некотором порядке числами от 1 до n^2. Петя делает ходы по следующим правилам. Первым ходом он ставит ладью в любую клетку. Каждым последующим ходом Петя может либо поставить новую ладью на какую-то клетку, либо переставить ладью из клетки с номером a ходом по горизонтали или по вертикали в клетку с номером большим, чем a. Каждый раз, когда ладья попадает в клетку, эта клетка немедленно закрашивается; ставить ладью на закрашенную клетку запрещено. Какое наименьшее количество ладей потребуется Пете, чтобы независимо от исходной нумерации он смог за несколько ходов закрасить все клетки таблицы?
(Д. Храмцов)

11.4. Плоскость \alpha пересекает ребра AB, BC, CD и DA треугольной пирамиды ABCD в точках K, L, M и N соответственно. Оказалось, что двугранные углы \angle(KLA,KLM), \angle(LMB,LMN), \angle(MNC,MNK) и \angle(NKD,NKL) равны. (Здесь через \angle(PQR, PQS) обозначается двугранный угол при ребре PQ в тетраэдре PQRS.) Докажите, что проекции вершин A, B, C и D на плоскость \alpha лежат на одной окружности.
(А. Акопян)
Второй день
11.5. Числа x, y и z таковы, что все три числа x +yz, y +zx и z +xy рациональны, а x^2 + y^2 = 1. Докажите, что число xyz^2 также
рационально.
(Н. Агаханов)

11.6. Дан вписанный четырехугольник ABCD. Лучи AB и DC пересекаются в точке K. Оказалось, что точки B, D, а также середины отрезков AC и KC лежат на одной окружности. Какие значения может принимать угол ADC?
(Г. Жуков)

11.7. Дан многочлен
P(x) = a_{2n}x^{2n} + a_{2n-1}x^{2n-1} +\ldots + a_1x + a_0,
у которого каждый коэффициент a_i принадлежит отрезку [100, 101]. При каком минимальном n у такого многочлена может найтись действительный корень?
(И. Богданов, К. Сухов)
11.8. Петя поставил на доску 50 \times 50 несколько фишек, в каждую клетку — не больше одной. Докажите, что Вася может поставить на свободные поля этой же доски не более 99 новых фишек (возможно, ни одной) так, чтобы по-прежнему в каждой клетке стояло не больше одной фишки, и в каждой строке и каждом столбце этой доски оказалось чётное количество фишек.
(С. Берлов)


XLI (2014-2015 уч. год)


9 класс

Первый день
9.1. За круглым столом сидят 2015 человек, каждый из них либо рыцарь, либо лжец. Рыцари всегда говорят правду, лжецы всегда лгут. Им раздали по одной карточке, на каждой карточке написано по числу; при этом все числа на карточках различны. Посмотрев на карточки соседей, каждый из сидящих за столом сказал: “Мое число больше, чем у каждого из двух моих соседей”. После этого k из сидящих сказали: “Мое число меньше, чем у каждого из двух моих соседей”. При каком наибольшем k это могло случиться?
9.2. Назовём натуральное число интересным, если сумма его цифр — простое число. Какое наибольшее количество интересных чисел может быть среди пяти подряд идущих натуральных чисел?
9.3. Правильный треугольник со стороной 3 разбит на девять треугольных клеток, как показано на рисунке. В этих клетках изначально записаны нули. За один ход можно выбрать два числа, находящиеся в соседних по стороне клетках, и либо прибавить к обоим по единице, либо вычесть из обоих по единице. Петя хочет сделать несколько ходов так, чтобы после этого в клетках оказались записаны в некотором порядке последовательные натуральные числа n, n + 1, \ldots , n + 8. При каких n он сможет это сделать?
9.4. В неравнобедренном треугольнике ABC провели биссектрисы угла ABC и угла, смежного с ним. Они пересекли прямую AC в точках B_1 и B_2 соответственно. Из точек B_1 и B_2 провели касательные к окружности, вписанной в треугольник ABC, отличные от прямой AC. Они касаются этой окружности в точках K_1 и K_2 соответственно. Докажите, что точки B, K_1 и K_2 лежат на одной прямой.
Второй день
9.5. После просмотра фильма зрители по очереди оценивали фильм целым числом баллов от 0 до 10. В каждый момент времени рейтинг фильма вычислялся как сумма всех выставленных оценок, делённая на их количество. В некоторый момент времени T рейтинг оказался целым числом, а затем с каждым новым проголосовавшим зрителем он уменьшался на единицу. Какое наибольшее количество зрителей могло проголосовать после момента T?
9.6. Дан прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. Пусть BK  — биссектриса этого треугольника. Окружность, описанная около треугольника AKB, пересекает вторично сторону BC в точке L. Докажите, что CB + CL = AB.
9.7. Числа a, b, c и d таковы, что a^2+b^2+c^2+d^2 = 4. Докажите, что (2 + a)(2 + b) \ge  cd.
9.8. Петя хочет выписать все возможные последовательности из 100 натуральных чисел, в каждой из которых хотя бы раз встречается тройка, а любые два соседних члена различаются не больше, чем на 1. Сколько последовательностей ему придётся выписать?

10 класс

Первый день
10.1. Целые числа a, x_1, x_2,\ldots , x_{13} таковы, что
a = (1+x_1)(1+x_2) \ldots (1+x_{13}) = (1-x_1)(1-x_2) \ldots (1-x_{13}).
Докажите, что ax_1x_2\ldots x_{13} = 0.
10.2. На плоскости отметили все вершины правильного n-угольника, а также его центр. Затем нарисовали контур этого n-угольника, и центр соединили со всеми вершинами; в итоге n-угольник разбился на n треугольников. Вася записал в каждую отмеченную точку по числу (среди чисел могут быть равные). В каждый треугольник разбиения он записал в произвольном порядке три числа, стоящих в его вершинах; после этого он стёр числа в отмеченных точках. При каких n по тройкам чисел, записанным в треугольниках, Петя всегда сможет восстановить число в каждой отмеченной точке?
10.3. Пусть AL  биссектриса треугольника ABC. Серединный перпендикуляр к отрезку AL пересекает окружность, описанную около треугольника ABC, в точках P и Q. Докажите, что окружность, описанная около треугольника PLQ, касается стороны BC.
10.4. Положительные числа a, b, c удовлетворяют соотношению ab + bc + ca = 1. Докажите, что
\displaystyle \sqrt{a+\frac{1}{a}}+\sqrt{b+\frac{1}{b}}+\sqrt{c+\frac{1}{c}}\ge2\left( \sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right).
Второй день
10.5. После просмотра фильма зрители по очереди оценивали фильм целым числом баллов от 0 до 10. В каждый момент времени рейтинг фильма вычислялся как сумма всех выставленных оценок, делённая на их количество. В некоторый момент времени T рейтинг оказался целым числом, а затем с каждым новым проголосовавшим зрителем он уменьшался на единицу. Какое наибольшее количество зрителей могло проголосовать после момента T?
10.6. Дан прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. Пусть BK — биссектриса этого треугольника. Окружность, описанная около треугольника AKB, пересекает вторично сторону BC в точке L. Докажите, что CB + CL = AB.
10.7. Коэффициенты a, b, c квадратного трёхчлена f(x) = ax^2 + bx + c — натуральные числа, сумма которых равна 2000. Паша может изменить любой коэффициент на 1, заплатив 1 рубль. Докажите, что он может получить квадратный трёхчлен, имеющий хотя бы один целый корень, заплатив не более 1050 рублей.
10.8. Дано натуральное число n > 2. Рассмотрим все покраски клеток доски n \times n в k цветов такие, что каждая клетка покрашена ровно в один цвет, и все k цветов встречаются. При каком наименьшем k в любой такой покраске найдутся четыре окрашенных в четыре разных цвета клетки, расположенные в пересечении двух строк и двух столбцов?

11 класс

Первый день
11.1. Целые числа a, x_1, x_2,\ldots , x_{13} таковы, что
a = (1+x_1)(1+x_2) \ldots (1+x_{13}) = (1-x_1)(1-x_2) \ldots (1-x_{13}).
Докажите, что ax_1x_2\ldots x_{13} = 0.
11.2. На новогодний вечер пришли несколько супружеских пар, у каждой из которых было от 1 до 10 детей. Дед Мороз выбирал одного ребенка, одну маму и одного папу из трёх разных семей и катал их в санях. Оказалось, что у него было ровно 3630 способов выбрать нужную тройку людей. Сколько всего могло быть детей на этом вечере?
11.3. Продолжения медиан AA_1, BB_1 и CC_1 треугольника ABC пересекают его описанную окружность в точках A_0, B_0 и C_0 соответственно. Оказалось, что площади треугольников ABC_0, AB_0C и A_0BC равны. Докажите, что треугольник ABC равносторонний.
11.4. Положительные числа a, b, c удовлетворяют соотношению ab + bc + ca = 1. Докажите, что
\displaystyle \sqrt{a+\frac{1}{a}}+\sqrt{b+\frac{1}{b}}+\sqrt{c+\frac{1}{c}}\ge2\left( \sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right).
Второй день
11.5. Квадратный трехчлен f(x) имеет два различных корня. Оказалось, что для любых чисел a и b верно неравенство f(a^2 +b^2) \ge f(2ab). Докажите, что хотя бы один из корней этого трёхчлена — отрицательный.
11.6. Есть полусферическая ваза, закрытая плоской крышкой. В вазе лежат четыре одинаковых апельсина, касаясь вазы, и один грейпфрут, касающийся всех четырёх апельсинов. Верно ли, что все четыре точки касания грейпфрута с апельсинами обязательно лежат в одной плоскости? (Все фрукты являются шарами.)
11.7. По кругу расставлено 300 положительных чисел. Могло ли случиться так, что каждое из этих чисел, кроме одного, равно разности своих соседей?
11.8. Петя хочет выписать все возможные последовательности из 100 натуральных чисел, в каждой из которых хотя бы раз
встречается число 4 или 5, а любые два соседних члена различаются не больше, чем на 2. Сколько последовательностей ему придётся выписать?


XLI (2015-2016 уч. год)

9 класс

Первый день
9.1. Даны квадратные трёхчлены f_1(x), f_2(x),\ldots , f_{100}(x) с одинаковыми коэффициентами при x^2, одинаковыми коэффициентами при x, но различными свободными членами; у каждого из них есть по два корня. У каждого трёхчлена f_i(x) выбрали один корень и обозначили его через x_i. Какие значения может принимать сумма
f_2(x_1)+f_3(x_2)+\ldots+ f_{100}(x_{99}) + f_1(x_{100})?
9.2. Дан равнобедренный треугольник ABC, AB = BC. В окружности \Omega, описанной около треугольника ABC, проведен диаметр CC^{\prime}. Прямая, проходящая через точку C^{\prime} параллельно BC, пересекает отрезки AB и AC в точках M и P соответственно. Докажите, что M — середина отрезка C^{\prime}P.
9.3. Петя выбрал несколько последовательных натуральных чисел и каждое записал либо красным, либо синим карандашом (оба цвета присутствуют). Может ли сумма наименьшего общего кратного всех красных чисел и наименьшего общего кратного всех синих чисел являться степенью двойки?
9.4. У царя Гиерона есть 11 металлических слитков, неразличимых на вид; царь знает, что их веса (в некотором порядке) равны 1, 2,\ldots , 11 кг. Ещё у него есть мешок, который порвётся, если в него положить больше 11 кг. Архимед узнал веса всех слитков и хочет доказать Гиерону, что первый слиток имеет вес 1 кг. За один шаг он может загрузить несколько слитков в мешок и продемонстрировать Гиерону, что мешок не порвался (рвать мешок нельзя!). За какое наименьшее число загрузок мешка Архимед может добиться требуемого?
Второй день

9.5. В классе учится 23 человека. В течение года каждый ученик этого класса один раз праздновал день рождения, на который пришли некоторые (хотя бы один, но не все) его одноклассники. Могло ли оказаться, что каждые два ученика этого класса встретились на таких празднованиях одинаковое число раз? (Считается, что на каждом празднике встретились любые два гостя, а также именинник встретился со всеми гостями.)
9.6. Назовём непустое (конечное или бесконечное) множество A, состоящее из натуральных чисел, полным, если для любых натуральных a и b (не обязательно различных и не обязательно лежащих в A) таких, что a+b лежит в A, число ab также лежит в A. Найдите все полные множества натуральных чисел.
9.7. В белой таблице 2016 \times 2016 некоторые клетки окрасили чёрным. Назовём натуральное число k удачным, если k \le 2016, и в каждом из клетчатых квадратов со стороной k, расположенных в таблице, окрашено ровно k клеток. (Например, если все клетки чёрные, то удачным является только число 1.) Какое наибольшее количество чисел могут быть удачными?
9.8. Дан выпуклый четырехугольник ABCD, в котором \angle DAB = 90^{\circ}. Пусть M — середина стороны BC. Оказалось. что \angle ADC = \angle BAM. Докажите, что \angle ADB = \angle CAM.



10 класс

Первый день
10.1. Даны квадратные трёхчлены f_1(x), f_2(x),\ldots , f_{100}(x) с одинаковыми коэффициентами при x^2, одинаковыми коэффициентами при x, но различными свободными членами; у каждого из них есть по два корня. У каждого трёхчлена f_i(x) выбрали один корень и обозначили его через x_i. Какие значения может принимать сумма
f_2(x_1)+f_3(x_2)+\ldots+ f_{100}(x_{99}) + f_1(x_{100})?
10.2. Петя выбрал 10 последовательных натуральных чисел и каждое записал либо красным, либо синим карандашом (оба цвета присутствуют). Может ли сумма наименьшего общего кратного всех красных чисел и наименьшего общего кратного всех синих чисел оканчиваться на 2016?
10.3. На стороне AB выпуклого четырехугольника ABCD взяты точки K и L (точка K лежит между A и L), а на стороне CD взяты точки M и N (точка M между C и N). Известно, что AK = KN = DN и BL = BC = CM. Докажите, что если BCNK — вписанный четырехугольник, то и ADML тоже вписан.
10.4. Дана клетчатая таблица 100 \times 100, клетки которой покрашены в чёрный и белый цвета. При этом во всех столбцах поровну чёрных клеток, в то время как во всех строках разные количества чёрных клеток. Каково максимальное возможное количество пар соседних по стороне разноцветных клеток?
Второй день
10.5. Назовём непустое (конечное или бесконечное) множество A, состоящее из натуральных чисел, полным, если для любых натуральных a и b (не обязательно различных и не обязательно лежащих в A) таких, что a+b лежит в A, число ab также лежит в A. Найдите все полные множества натуральных чисел.
10.6. Внутри равнобокой трапеции ABCD с основаниями BC и AD расположена окружность \omega с центром I, касающаяся отрезков AB, CD и DA. Окружность, описанная около треугольника BIC, вторично пересекает сторону AB в точке E. Докажите, что прямая CE касается окружности \omega.
10.7. По кругу стоят n мальчиков и n девочек. Назовем пару из мальчика и девочки хорошей, если на одной из дуг между ними стоит поровну мальчиков и девочек (в частности, стоящие рядом мальчик и девочка образуют хорошую пару). Оказалось, что есть девочка, которая участвует ровно в 10 хороших парах. Докажите, что есть и мальчик, который участвует ровно в 10 хороших парах.
10.8. Найдите все пары различных действительных чисел x и y такие, что x^{100}-y^{100} = 2^{99}(x-y) и x^{200}-y^{200} = 2^{199}(x-y).

11 класс

Первый день
11.1. Квадратный трёхчлен f(x) = ax^2+bx+c, не имеющий корней, таков, что коэффициент b рационален, а среди чисел c и f(c) ровно одно иррационально. Может ли дискриминант трехчлена f(x) быть рациональным?
11.2. Положительные числа x, y и z удовлетворяют условию xyz \ge xy + yz + zx. Докажите неравенство \sqrt{xyz} \ge \sqrt{x} + \sqrt{y} + \sqrt{z}.
11.3. В треугольнике ABC проведена биссектриса BL. На отрезке CL выбрана точка M. Касательная в точке B к окружности \Omega, описанной около треугольника ABC, пересекает луч CA в точке P. Касательные в точках B и M к окружности \Gamma, описанной около треугольника BLM, пересекаются в точке Q. Докажите, что прямые PQ и BL параллельны.
11.4. Есть клетчатая доска 2015 \times 2015. Дима ставит в k клеток по детектору. Затем Коля располагает на доске клетчатый корабль в форме квадрата 1500 \times 1500. Детектор в клетке сообщает Диме, накрыта эта клетка кораблём или нет. При каком наименьшем k Дима может расположить детекторы так, чтобы гарантированно восстановить расположение корабля?
Второй день
11.5. Назовём непустое (конечное или бесконечное) множество A, состоящее из натуральных чисел, полным, если для любых натуральных a и b (не обязательно различных и не обязательно лежащих в A) таких, что a+b лежит в A, число ab также лежит в A. Найдите все полные множества натуральных чисел.
11.6. В пространстве расположены 2016 сфер, никакие две из них не совпадают. Некоторые из сфер — красного цвета, а остальные — зеленого. Каждую точку касания красной и зеленой сферы покрасили в синий цвет. Найдите наибольшее возможное количество синих точек.
11.7. По кругу стоят n мальчиков и n девочек. Назовем пару из мальчика и девочки хорошей, если на одной из дуг между ними стоит поровну мальчиков и девочек (в частности, стоящие рядом мальчик и девочка образуют хорошую пару). Оказалось, что есть девочка, которая участвует ровно в 10 хороших парах. Докажите, что есть и мальчик, который участвует ровно в 10 хороших парах.
11.8. Натуральное число N представляется в виде N = a_1-a_2 = b_1 – b_2 = c_1 – c_2 = d_1 – d_2, где a_1 и a_2 — квадраты, b_1 и b_2 — кубы, c_1 и c_2 — пятые степени, а d_1 и d_2 — седьмые степени натуральных чисел. Обязательно ли среди чисел a_1, b_1, c_1 и d_1 найдутся два равных?


Опубліковано о

Немає коментарів:

Дописати коментар

Підписатися на: Дописати коментарі (Atom)