Функціональна рівність f(g(x))=g(f(x))

Властивості перетворення у=f(x) на  у=f(g(x)) та у=q(f(x))

Запитання 1. Чи змінює  нулі многочлен після заміни незалежної змінної х на лінійний вираз ах+b?

Відповідь: Нехай маємо многочлен, що розкладений на лінійні множники:

у(х)=(х-2)(х-3)(х-5), отже нулі многочлена:  х₁=2, х₂=3, х₃=5.

Цей многочлен назвемо еталоном.

Виконаємо заміну незалежної змінної  х на 2р. Отримаємо:

у(2р)=(2р-2)(2р-3)(2р-5),  отже нулі многочлена: 

р₁=1, р₂=1,5, р₃=2,5,   усі нулі зменшилися в два рази.

Виконаємо заміну незалежної змінної  х на 0,5с. Отримаємо:

у(0,5с)=(0,5с-2)(0,5с-3)(0,5с-5), отже нулі многочлена: 

с₁=4, с₂=6, с₃=10,   усі нулі збільшилися в два рази.

Виконаємо заміну незалежної змінної  х на 2р+2=2(р+1). Отримаємо:

у(2р+2)=(2р+2-2)(2р+2-3)(2р+2-5),

у(2р+2)=(2р)(2р-1)(2р-3),

 отже нулі многочлена: 

р₁=0, р₂=0,5,  р₃=1,5,   усі нулі змінилися, проте як?  Спочатку кожний нуль многочлена еталона поділили на 2, а потім від результату відняли 1.  

Початкові нулі:  х₁=2, х₂=3, х₃=5.

р₁=0=2:2-1,  р₂=0,5 =3:2-1,  р₃=1,5=5:2-1. 

Виконаємо заміну незалежної змінної  х на 5р-4=5(р-0,8). Отримаємо:

у(5р-4)=( 5р-4-2)( 5р-4-3)( 5р-4-5),

у(5р-4)=(5р-6)(5р-7)(5р-9),

 отже нулі многочлена: 

р₁=1,2, р₂=1,4,  р₃=1,8,   усі нулі змінилися, проте як?  Спочатку кожний нуль многочлена еталона поділили на 5, а потім до результату відняли 0,8.

Початкові нулі:  х₁=2, х₂=3, х₃=5.

р₁=1,2=2:5+0,8,  р₂=1,4 =3:5+0,8,  р₃=1,8=5:5+0,8. 

Виконаємо заміну незалежної змінної  х на -5р+10=-5(р-2). Отримаємо:

у(-5р+10)=(-5р+10-2)(-5р+10-3)(-5р+10-5),

у(-5р+10)=(-5р+8)(-5р+7)(-5р+5),

 отже нулі многочлена: 

р₁=1,6, р₂=1,4,  р₃=1,   усі нулі змінилися, проте як?  Спочатку кожний нуль многочлена еталона помножили на -1, потім поділили на 5, і до результату додали 2.

Початкові нулі:  х₁=2, х₂=3, х₃=5.

р₁=1,6=-2:5+2,  р₂=1,4 =-3:5+2,  р₃=1=-5:5+2. 

Відповідь: змінює. Якщо у функції виконати заміну незалежної змінної х на лінійний вираз ах+b, то нулі даної функції змінюються за правилом:

Якщо а – від’ємне число, то початкові нулі змінюють свій знак на протилежний, (у протилежному випадку не змінюють свій знак) потім:

А) зменшити результат  в \а\ раз;

Б) відняти від результату  число b:/а/.

Функціональна рівність  f(g(x))=g(f(x))

Математичний дослід 1.

 Відомо, що у(x)= kx + l - довільна лінійна функція(k-ненульове дійсне число),    z(x)=ax²+bx+c – довільна квадратична функція(а –ненульове дійсне число).  При яких дійсних значеннях     х  виконується  функціональна рівність:

у(ax²+bx+c)= z(kx+l).

Дослідження.

y(x)=kx+l;           z(x)=ax²+bx+c;    

y(z(x))= k(ax²+ bx + c) + l = akх²+ b(kx) + kc + l;

z(y(x))= a(kx+l)²+b(kx+l)+c = ak²x²+2aklx+al²+bkx+bl+c = a(kx)²+(2al + b)kx+(al²+bl+c)=z(kx)+z(l)-c+2alkx;

z(y(x)) - y(z(x)) =0;

z(y(x)) - y(z(x)) = ak²x²+2aklx+al²+bkx+bl+c - akх²- bkx - kc – l =

= ak²x² - kax² + 2aklx+bkx - bkx + al² + bl+ c - kc – l =(ax²)(k²- k)+ z(l)- y(с)=0;

Маємо рівняння відносно х.

 (ax²)(k²- k)+ z(l)- y(с)=0, при а –ненульове число, k-ненульове число;

(ax²)(k² - k)= y(с)-z(l);

x²=(y(с)-z(l))/(а(k² - k)),  при а –ненульове число, k-ненульове число;

x₁=-((y(с)-z(l))/(а(k² - k)))^0,5, при а –ненульове число, k-ненульове; число;

x₂=((y(с)-z(l))/(а(k² - k)))^0,5, при а –ненульове число, k-ненульове число

Відповідь: x₁=-((y(с)-z(l))/(а(k² - k)))^0,5; x₂=((y(с)-z(l))/(а(k² - k)))^0,5;

Примітка.  Якщо розглянути такі  функції: 

U(x)=ax²+bx ;     V(x)=kx

тоді можливі три випадки:

А)U(V(x))=V(U(x)) при  k=1 або  k=0;  а – ненульове дійсне число, b та х – дійсні  числа.

Б)U(V(x))=V(U(x)) при а =0;  k , b та х – дійсні  числа.

В)U(V(x))=V(U(x)) при х=0;  k , b та а – дійсні  числа.

 Розв’язання.

U(V(x))= a(kx)²+b(kx) = U(kx) = ak²x²+bkx

V(x)=kx    U(x)=ax²+bx

V(U(x))=k(ax²+bx) =   kax²+bkx

U(V(x))- V(U(x))= ak²x²+bkx - kax²-bkx = ak²x² - kax² = (ax²)( k²- k)

U(V(x))- V(U(x))=0;  k=1;  k=0;

U(V(x))=V(U(x)).

Вправи

1.    Дослідити самостійно такі випадки:

Якщо розглянути такі  функції:  U(x)=ax²+bx ;     V(x)=kx.

При яких значеннях параметрів та незалежної змінної змінної х виконується умови:    а)  U(V(x))=V(U(x))=х; б)  U(V(x))=V(U(x))=х²; в)  U(V(x))=V(U(x))=1.

Посібник з функціональних рівнянь рівнянь для учнів:

http://ru.calameo.com/read/00503199142854e44aa67