Математична олімпіади -2018 міста Вінниці

Вінницька міська математична 

олімпіада 2018 року

16 грудня 2018  року 29 школа м. Вінниці

Другий етап Всеукраїнської олімпіади юних математиків 2018-2019 н. р.

На виконання завдань виділяється 4 години.

Кожна задача оцінюється в 6 балів.

Використання записників, калькуляторів

та інших електронних засобів забороняється.

Завдання математичної олімпіади:

6 клас    

1.     Три цифри п’ятицифрового числа одиниці. Відомо, що це число ділиться на 72. Знайти всі такі п’ятицифрові числа.

2.     Скільки різних правильних дробів і неправильних  дробів можна скласти з чисел  3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23?

3.     Куб пофарбували з усіх боків, а потім розрізали на 1000 рівних кубиків. Скільки кубиків мають пофарбовані 3 грані ? У скількох кубиках не пофарбована жодна грань?

4.     Сім гномів зібрали 29 грибів, причому жоден не приніс порожнього кошика. Довести, що хоча б двоє гномів зібрали однакову кількість грибів, якщо ніхто більше 7 грибів не знайшов.

Розв'язування задач 1-4

7 клас    

1.  Знайти всі двоцифрові числа, які збільшуються у 8,5 раза, якщо між цифрами вписати 0.

                                 

2. Знайти останню цифру числа 33²²+22¹¹

3. Витративши половину всіх коштів, учень побачив, що гривень в нього залишилось вдвічі менше, ніж спочатку було копійок,  і стільки копійок, скільки на початку було гривень. Скільки грошей витратив учень, якщо копійок у нього було менше 100?

5. Вся площина розмальована в чотири кольори. Чи обов’язково знайдеться пряма, яка містить принаймні три точки різного кольору?

Розв'язування задач 1-5

8 клас    

1.   Для деяких цілих чисел x та y число 3х+2у ділиться на 29. Чи ділиться на 29 число 23х+25у?

2. Серединний перпендикуляр діагоналі АС прямокутника АВСD перетинає сторону ВС у точці М так, що ВМ:МС=1:2. Знайдіть кути, на які діагональ прямокутника ділить його кут.

3. Коли катер пропливав по річці вздовж міської пристані, від нього відв’язався рятувальний круг. Втрата була помічена капітаном лише через 15 хвилин. Повернувши назад, він наздогнав круг у 250 метрах від пристані. Обчисліть швидкість течії річки.

4. При яких значеннях параметра a система рівнянь: |x|+|y|=4; y=a-x   має два розв’язки?

5.   Знайдіть всі пари чисел, що задовольняють рівнянню:

((х²+4х-5)²⁰¹⁸ +(2х²+ху-у²)² )/(y³+y²+4y+4)=0. 

Розв'язування задач 1-4

Розв'язування завдань.

        1.     Для деяких цілих чисел x та y число 3х+2у ділиться на 29. Чи ділиться на 29 число 23х+25у?

Вказівка до розв’язання

Помітимо, що 23х+25у=29(х+у)- 2(3х+2у). Кожний з доданків кратний числу 29, отже й сума ділиться на 29.

2. Серединний перпендикуляр діагоналі АС прямокутника АВСD перетинає сторону ВС у точці М так, що ВМ:МС=1:2. Знайдіть кути, на які діагональ прямокутника ділить його кут.

Вказівка до розв’язання

Оскільки серединний перпендикуляр є ГМТ точок, рівновіддалених від кінців відрізка, то АМ=МС, тоді у трикутнику АВМ ВМ=0,5 АМ, кут∠ВАМ=30°. ∠МАК=90°-30°=60°. ∆АМС – рівнобедрений, отже∠МАС=∠МСА, ∠МСА=∠САD (оскільки ВС та AD паралельні), тоді∠МАС=∠САD=30°.

Маємо: ∠САD=30°, ∠АСD=60°.

3. Коли катер пропливав по річці вздовж міської пристані, від нього відв’язався рятувальний круг. Втрата була помічена капітаном лише через 15 хвилин. Повернувши назад, він наздогнав круг у 250 метрах від пристані. Обчисліть швидкість течії річки.

Вказівка до розв’язання

Відповідь: 0, 5 км/год.

4. При яких значеннях параметра а система рівнянь:

    перших двох рівнянь маємо пари розв’язків: (-5;5), (-5;-10), (1;-1), (1;2).

Для  пари (1;-1) не виконуються умова (y+1)(y²+1)≠0 . Отже маємо розв’язки: (-5;5), (-5;-10), (1;2).

Відповідь: (-5;5), (-5;-10), (1;2).

 9 клас    

1.     Доведіть, що число (2013*2015*2017*2019+16)^0,5   є  цілим.

2.     Два сплави складаються з цинку, міді і олова. Відомо, що перший сплав вміщує 40% олова, а другий – 26% міді. Процентний вміст цинку в першому і другому сплавах однаковий. Сплавивши 150 кг першого сплаву і 250 кг другого, дістали новий сплав, що містить цинку 30%. Скільки  олова вміщує цей новий сплав?

3.     Знайдіть всі пари чисел, що задовольняють рівнянню:

((х²+4х-5)²⁰¹⁸ +(2х²+ху-у²)² )/(y³+y²+4y+4)=0. 

4. Діагоналі описаного чотирикутника ABCD перетинаються в точці О. Радіуси описаних кіл трикутників AOB, BOC, COD, DOA відповідно дорівнюють R₁, R₂, R₃, R₄. Доведіть, що   R₁+R₃=R₂+R₄.  

5.  Знайдіть  усі значення параметра а, при яких сума коренів рівняння
x²-(a²+3a)x+5-a=0 дорівнює 4.

Розв'язування задач 1-5

10 клас   

1.     Порівняти числа (2017/2018)⁴       та  (2016/2017)⁵.     

2.     Знайдіть всі пари чисел , що задовольняють рівнянню:

((х²+4х-5)²⁰¹⁶ +(2х² + ху - у²)² )/(y³+y²+4y+4)(21+4y-y²)^0,5=0. 

3.     Сторона трикутника дорівнює 10 см, а медіани, проведені до двох інших сторін, – 9 см і 12 см. Знайдіть площу трикутника.

4. Доведіть, що для будь-яких додатних чисел a і b виконується нерівність (a²+b)(1/a + 1/b²)>=4(a/b)^0,5.

5. Цілі числа  k, l, m, n, p  задовольняють співвідношення  k⁴+l⁴+m⁴+n⁴=p⁴   Довести, що принаймні три з них парні.

11 клас    

1.     Обчислити значення виразу:

(1580(1+x²)^0,5/ ((1+x²)^0,5-x)  , де  x= 0,5((2018/1580)^0,5 – (1580/2018)^0,5).

2.     Порівняти числа (2018/2019)⁴  та  (2017/2018)⁷.      

3.      В арифметичній прогресії a₂=6. При якому значенні різниці прогресії

   (d<0)  добуток  a₁a₃a₆  буде найменшим?

4.     Розв’язати рівняння:

((x²-4x+3)^0,5+1)(x²)^0,5+(1/x)((8x-2x²-6)^0,5+1)=0

5.      Дано прямокутний трикутник. Трикутник, складений з його медіан, подібний заданому трикутнику. Знайти найменший кут трикутника.

Розв'язування задач 1-5

Методичні рекомендації щодо організації та перевірки завдань ІІ етапу Всеукраїнської олімпіади з математики у 2018 році

1.     Всі роботи учасників олімпіади з математики шифрує голова оргкомітету. Члени журі перевіряють зашифровані роботи.

2.     На кожну паралель голова журі призначає старшого по класу (всього 6 старших по класах) з найдосвідченіших членів журі.

3.     Кожну задачу перевіряють два члени журі за розробленими критеріями. Результат перевірки виставляється  в таблицю зошита і підписується ними.

4.     Старший по класу має право перевіряти будь-яку задачу паралелі. Результати перевірки він переводить в бали за такою схемою:

«+»	6 балів	Завдання розв’язанне без жодних зауважень  членів журі.
«+.»	5 балів	Задача розв’язана правильно, проте є окремі неточності у поясненні.
«»	4 бали	Правильно розв’язана більша половина задачі.
«+/2»	3 бали	Правильно розв’язана лише половина задачі.
«»	2 бали	Правильно розв’язана лише третина задачі.
«-»	1 бал	Учень розпочав розв’язувати задачу, є окремі ідеї щодо розв’язання.
«0»	0 балів	Учень не розв’язував задачу (відсутні будь-які записи, що відповідають задачі)

(Члени журі можуть розробити інші критерії оцінювання окремих завдань, враховуючи умову задачі, але залишати найбільшу кількість балів – 6. 6 балів за завдання, оскільки зручно рахувати: 1/3 від 24; 1/3 від 30.) 

5.     Після перевірки старший по класу заповнює і підписує протокол з шифрами робіт - результатів учасників олімпіади у своїй паралелі. У протоколі з шифрами він виставляє бали і підраховує суму для кожного учасника. Замість прізвищ учасників у протоколі повинні бути лише шифри.

6.     Згідно «Положення про Всеукраїнські учнівські олімпіади, турніри, конкурси з навчальних предметів, конкурси-захисти науково-дослідницьких робіт, олімпіади зі спеціальних дисциплін та конкурси фахової майстерності» (затвердженим наказом Міністерства освіти і науки, молоді та спорту України від 22.09.2011 р. № 1099, зареєстрованим в Міністерстві юстиції  України 17.11.2011 р. за № 1318/20056) відбувається підведення підсумків, визначення переможців та склад команди на наступний етап олімпіади, нагородження дипломами І, ІІ або ІІІ ступенів.

Використана література

1.     Буковська О. І. Математична логіка 5-9 класи-Х.: Видав. гр. „Основа”, 2005.-176 с.-(Серія „Бібліотека журналу „Математика в школах України”).

2.     Вишенський В.А. та ін. Київські математичні олімпіади 1984-1993 років. – К.: Либідь. 1993. – 144 с.

3.     Збірник конкурсних та олімпіад них задач з математики. За ред.. Закусило О.К. – К.: Діалектика, 1995. – 192 с.

4.     Мерзляк А. Г., Полонський В. Б., Рабінович Ю. М., Якір М. С. Вчимося розв‘язувати задачі з початків аналізу. - Тернопіль: Підручники і посібники, 2001.-304 с.

5.     Геометрія: Підруч. для учнів 10-11 кл. з поглибл. вивч. математики в серед. загальноосвіт. закладах/ Г. П. Бевз, В. Г. Бевз, В. М. Владіміров,   Н. Г. Владімірова. – 2-ге вид. – К.: Освіта, 2003. – 239 с.

6.     Готуємось до олімпіади з математики/Упорядн. А. Б. Веліховська, О. В. Гримайло. – Х.: Вид. група „Основа”, 2007. – 160 с. – (Б-ка ж. „Математика в школах України”, Вип. 2(50)).

7.     Лейфура В.М., Мітельман І.М. Задачі з цілими числами. Комбінаторика клітчастої дошки. - Х.: Видав. гр. „Основа”, 2003.-144 с.-(Серія „Бібліотека журналу „Математика в школах України”).

8.     Лейфура В. М., Мітельман І. М., Радченко В. М., Ясінський В. А. Математичні олімпіади школярів України: 1991–2000 рр. — Київ: Техніка, 2003. — 541 с.

9.     Лейфура В. М., Мітельман І. М., Радченко В. М., Ясінський В. А. Математичні олімпіади школярів України: 2001–2006 р.р. — Львів: Каменяр, 2008. — 348 с.

10.                       Лукаш О.В., Пресс Е.М. Розв’язуємо задачі з параметрами - Х.: Видав. гр. „Основа”, 2007.-144 с.-(Серія „Бібліотека журналу „Математика в школах України”).

11.                       Математичні олімпіадні змагання школярів. 2006–2007. Анікушин А.В., Арман А.Р. та ін – К.: Літера, 2008 – 224с.

12.                       Математичні олімпіадні змагання школярів України. 2006–2007. Анікушин А.В., Арман А.Р. та ін – К.: Літера, 2008 – 135с.

13.                       Математичні олімпіадні змагання школярів України: 2007–2008 та 2008–2009 рр. (за ред. Б. В. Рубльова). — Львів: Каменяр, 2010. — 549 с.

14.                       Математичні олімпіадні змагання школярів України: 2009–2010 (за ред. Б. В. Рубльова). — Харків: Гімназія, 2011. — 320 с.

15.                       Математичні олімпіадні змагання школярів України: 2010–2011 (за ред. Б. В. Рубльова). — Харків: Гімназія, 2013. — 368 с.

16.                       Математичні олімпіадні змагання школярів України: 2011–2012 (за ред. Б. В. Рубльова). — Харків: Гімназія, 2013. — 416 с.

17.                       Математичні олімпіадні змагання школярів України: 2012–2013 (за ред. Б. В. Рубльова). — Харків: Гімназія, 2014. — 401 с.

18.                       Математичні олімпіадні змагання школярів України: 2013–2014 (за ред. Б. В. Рубльова). — Харків: Гімназія, 2015. — 465 с.

19.                       Математичні олімпіадні змагання школярів України: 2014–2015 (за ред. Б. В. Рубльова). — Харків: Гімназія, 2016. — 464 с.

20.                       Математика після уроків. Матеріали для організації позакласної роботи/ Упорядн. Маркова І. С. – Х.: Вид. група „Основа”, 2004. – 192 с. – (Б-ка ж. „Математика в школах України”, Вип. 11(23)).

21.                       Петечук В.М., Мегетій І.П. Завдання та розв’язки районних і міських олімпіад з математики 2000-2006 років. – Ужгород: Інформаційно-методичний центр ЗІПОПП, 2007. – 208 с.

22.                       Петраков И.С. Математические олимпиады школьников.- М. «Просвещение», 1982.

23.                       Сарана О.А. Математичні олімпіади: просте і складне  поруч. Навчальний посібник. – Тернопіль: Навчальна книга – Богдан, 2011. – 400 с.

24.                       Сільвестрова І. А., Фурман М. С. Многочлени. Раціональні рівняння та нерівності-Х.: Видав. гр. „Основа”, 2004.-128 с.-(Серія „Бібліотека журналу „Математика в школах України”; Вип. 7(19)).

25.                       Тадеєв В. О.. Неформальна математика. 6-9 класи. Тернопіль: Навчальна книга - Богдан, 2003.-288 с.

26.                       Українські математичні олімпіади. Довідник. В.А.Вишенський, О.Г.Ганюшкін та ін. – К.: Вища школа, 1993. – 415с.

27.                       Київські математичні олімпіади 1984–1993 рр. Збірник задач. В.А.Вишенський, М.В.Карташов та ін. – К.: Либідь, 1993. – 144с.

28.                       Київські міські математичні олімпіади 2003–2011 рр. (за ред. Б. В. Рубльова). — Харків: Гімназія, 2011. — 192 с.

29.                       Ясінський В. А.Задачі математичних олімпіад та методи їх розв‘язання.- Тернопіль: Навчальна книга,-2005.- 208 с.

Також пропонується користуватися такими Інтернет - джерелами:

www.matholymp.com.ua – сайт київських та всеукраїнських олімпіад та турнірів з математики, де можна знайти тексти завдань, результати та умови проведення математичних змагань, що проходили в Україні протягом останніх двох років

Олімпіадні завдання минулих років

1.     Завдання ІІ (міського) етапу олімпіади у 2016 році

       1.Позначимо через S(x) суму цифр натурального числа x. Знайти всі такі натуральні числа  n для яких  S(n)+S(n+1)+S(n+2)=20162017

      Вказівка до розв’язання

     Сума трьох послідовних цілих чисел ділиться на 3, а остачі від ділення на 3 натурального числа і суми його цифр однакові, тому S(n)+S(n+1)+S(n+2) ділиться на 3. Але 210162017 на 3 не ділиться, отже таких n не існує.

2. У середині тупого кута АОВ провели три промені ОС, ОD і ОЕ, причому OC перпендикулярна OA, ОD – бісектриса кута АОВ і ОЕ – бісектриса кута ВОС. Знайдіть величину кута DОЕ.

     Вказівка до розв’язання

       Нескладно переконатися, що промені розташовані в такому порядку: ОА, ОD, ОС, ОЕ, ОВ. Якщо кут OAB=2a, то кут BOD=a, кут BOE=a - 45º,  а тому кут DOE=кут BOD-кут BOE=45º.   

Відповідь. 45º.

          3. Морська вода містить 5% солі. Скільки прісної води потрібно долити до 30 кг морської, щоб концентрація солі зменшилася на 70%?

         Вказівка до розв’язання

           У 30 морської води 30*0,05=1,5 кг солі. Щоб концентрація солі зменшилася на 70% вона повинна стати: 5%*0,3=1,5 %. Тобто загальна маса води буде: 1,5: 0,015=100 кг. Потрібно долити 70 кг прісної води.

  

.         4. Є 40 зовні однакових монет, серед яких 2 фальшиві, причому вони легші від справжніх і важать однаково. Як за допомогою двох зважувань на шалькових терезах без гир відібрати 20 справжніх монет?

  

             Вказівка до розв’язання

              Розіб‘ємо монети на три купки: А, В і С, що містять по 10, 10 і 20 монет відповідно. Перше зважування: порівняємо вагу А і В. Можливі два випадки. Якщо А=В, то порівнюємо вагу А+В  і С  і оберемо ті, які важчі.  Якщо A>B (другий випадок аналогічний), то розіб‘ємо С на дві купки по 10 монет і порівняємо їхню вагу, оберемо два важчі десятки.

     5. Петрик вибрав три різні цифри a, b, c (a≠b, b≠c, c≠a)  і записав усі можливі різні тризначні натуральні числа, десятковий запис кожного з котрих містить усі три вибрані цифри, але не може починатися з нуля. З‘ясувалося, що сума всіх записаних чисел дорівнює 3376. Визначте, які саме цифри були вибрані, і доведіть, що інших варіантів немає.

               Вказівка до розв’язання. Розглянемо спочатку випадок, коли серед обраних цифр немає нуля. Тоді має бути записано шість попарно різних тризначних чисел: abc, acb, bac, bca, cab,cba.  Сума цих чисел становить 222(a+b+c), що неможливо, оскільки 3376 не ділиться без остачі на 222. Отже, серед обраних цифр має бути нуль. Нехай с=0 і записані числа мають вигляд ab0, a0b, ba0, b0a. Їхня сума дорівнює 211(a+b).  Тоді 211(a+b)=3376,  тобто a+b=16 Оскільки цифри a і b мають бути різними, то цими цифрами є 7 і 9.

      Відповідь: було обрано цифри 0, 7 і 9. 
        Завдання ІІ (міського) етапу олімпіади у 2015 році

    
       1. Обчисліть значення виразу:

Розв'язання

Кожний з доданків можна подати у вигляді різниці двох дробів із чисельниками  1, а знаменниками – послідовними натуральними числами від 2 до 2015:

1.     2.   Кути КОМ та МОР – суміжні. Промінь ОА – бісектриса кута КОМ, а промінь ОС проходить між сторонами кута МОР. Доведіть, що промінь ОС є бісектрисою кута МОР, якщо кут АОС прямий.

Розв’язання

         

Нехай кут ∠КОМ =α, тоді ∠МОР =180° - α, оскільки ці кути суміжні. ОМ – бісектриса ∠КОМ, тоді ∠АОМ= 0,5 α. Якщо ∠АОС=90°, то ∠МОС= 90°-0,5 α. Промінь ОС проходить між сторонами кута МОР, отже ∠МОС+∠РОС=∠МОР, ∠РОС=∠МОР-∠МОС, ∠РОС= 180° - α – (90°-0,5 α)= 180° - α - 90°+0,5 α= 90°-0,5 α =∠МОС. Оскільки ∠РОС=∠МОС, то ОС – бісектриса.

1.      3,  Перша зліва цифра шестизначного числа – 1. Якщо цю цифру переставити на останнє місце, то отримаємо число, що утричі більше за попереднє. Знайдіть початкове число.

Розв’язання

Нехай шукане число: 1abcde. За умовою задачі маємо: abcde1=3∙1abcde

.

Якщо abcde=х, то маємо рівняння: 10х+1=3(10000+х). Звідки х = 42857.

Відповідь: 42857

4. Туристи  виїхали гірською дорогою на велосипедну прогулянку о 7.00 . Рухаючись без зупинок, по рівнинних ділянках вони їхали зі швидкістю 20км/год, вгору – 15 км/год, а вниз – 30км/год. О котрій годині вони повернулися, якщо подолали в один бік відстань 40 км?

Розв’язання

Нехай шлях, що туристи проїхали рівнинною ділянкою, позначений - S₁  , вгору -  S₂, вниз - S₃,. Тоді час, витрачений туристами на весь шлях задаватиметься виразом:

Відповідь: 4 год

 5.       Смужку паперу розірвали на 16 частин, потім одну з частинок розірвали ще на 16 частин, потім продовжили такуж операцію далі. Чи може на деякому етапі загальна сума шматочків паперу дорівнювати 2015?

Розв’язання

Якщо позначити кількість операцій буквою n, то на  n+1 кроці шматочків паперу буде 16+15 n, оскільки при розриванні одного шматочку на 16 до загальної суми додається 15 нових шматочків. Тоді спробуємо знайти натуральний розв’язок рівняння: 16+15 n=2015, 15 n=2015-16, 15n=1999,

 n=1999/15 – не є натуральним числом. Отже в результаті таких операцій не можна отримати 2015 шматочків паперу.

Відповідь: ні

Завдання ІІ етапу Всеукраїнської учнівської олімпіади з математики серед учнів закладів професійної (професійно-технічної) освіти  у 2018/2019 н.р. (І варіант)

Завдання ІІ етапу Всеукраїнської учнівської олімпіади з математики серед учнів закладів професійної (професійно-технічної) освіти  у 2018/2019 н.р. (ІІ варіант)