Властивості симетричних многочленів

Симетричний многочлен від двох змінних

Означення 1. Симетричний многочлен - це многочлен від двох змінних 

F(a, b), що не змінюється при всіх перестановках а та b.

Означення 2. Многочлен від x і y називають симетричним, якщо він не змінюється при заміні x на y, та y на x.

Як відомо з арифметики, сума двох чисел не міняється при перестановці доданків, тобто:  a + b = b + a для будь-яких дійсних чисел a і b. Ця рівність показує, що многочлен від двох змінних  x + y є симетричним. Так само із закону комутативності множення ab = ba  слідує, що добуток  xy є симетричним многочленом.

Приклади симетричних многочленів від x і y:

1)    mх+mу+n;   n(х²+у²)+k;  х³+у³;  х⁴+у⁴;  х⁵+у⁵; …., х^n-1+у^n-1;  хⁿ+уⁿ;

2)    kху+2;   nх²у²-4;  mх³у³;  х⁴у⁴;  х⁵у⁵; …., х^n-1у^n-1; хⁿуⁿ;

3)    nyх²+nу²х+3k;  yх³+у³х+1;  yх⁴+у⁴х;  yх⁵+у⁵х;  yх^n-1+у^n-1х;  yхⁿ+уⁿх;

4)    kх²+ nху +kу²;   kх³+ mх²у +mху² +kу³;   aх⁴+ bх³у + cх²у² +bху³ +aу⁴;

Деякі вам відомі формули скороченого множення від двох змінних належать до симетричних многочленів. 

Наприклад,

(a + b)² =(b + a)² = a² + 2ab + b² –  це квадрат суми двох виразів.

(a – b)² =(b – a)² = a² – 2ab + b² –  це квадрат різниці двох виразів.

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³  – це куб суми двох виразів.

а³ + b³ = (a + b)(a² – аb + b²) – це cума кубів двох виразів.

а⁵ + b⁵= (a+b)( a⁴ – а³b + а²b² – аb³ + b⁴).

(a±b)⁴ = a⁴±4a³b +6a²b² ±4ab² + b⁴.

(a±b)⁶= a⁶±6a⁵b +15a⁴b² ±20a³b³ +15a²b⁴ ±6ab⁵ +b⁶.

а^2n-1+ b^2n-1 = (a+b)( a^n-1-а^n-2 b + а^n-3b² -… +а²b^n-3 - аb^n-2 + b^n-1).

xy + x + y  + а = (х + 1)(y + 1) + а - 1_.                

xy + x + y  + 1= (х + 1)(y + 1).

xy + nx + ny  + n²= (х + n)(y + n). 

aху + bх + bу + d = (x + b:a)(ау + b) + d – (b²:a).

ax² + byх + ay² = а(х ‒ k₁y) (х ‒ k₂y), якщо b² ‒ 4a²– невід’ємний,  тоді

де k₁, k₂ ‒ корені квадратного рівняння  ak² + bk + a= 0.

Властивості симетричних многочленів

В1. Сума, різниця і добуток симетричних многочленів на множині дійсних чисел є симетричними многочленами над цим полем.

Означення 3. Симетричні многочлени x + y і xy є найпростішими. Їх називають елементарними симетричними многочленами від x і y. Для них використовують спеціальні позначення: s₁=х+у, s₂=ху.

В2. Кожен многочлен від основних симетричних многочленів s₁=х+у, s₂=ху є симетричним.

Таблиця 1. Вираження степеневих сум s_n = xⁿ + yⁿ через