Властивості
перетворення у=f(x) на у=f(g(x)) та у=q(f(x))
Запитання 1. Чи змінює нулі многочлен після
заміни незалежної змінної х на лінійний
вираз ах+b?
Відповідь: Нехай
маємо многочлен, що розкладений на лінійні множники:
у(х)=(х-2)(х-3)(х-5), отже нулі многочлена: х1=2, х2=3, х3=5.
Цей
многочлен назвемо еталоном.
Виконаємо
заміну незалежної змінної х на 2р.
Отримаємо:
у(2р)=(2р-2)(2р-3)(2р-5), отже нулі многочлена:
р1=1,
р2=1,5, р3=2,5, усі
нулі зменшилися в два рази.
Виконаємо
заміну незалежної змінної х на 0,5с.
Отримаємо:
у(0,5с)=(0,5с-2)(0,5с-3)(0,5с-5),
отже нулі многочлена:
с1=4,
с2=6, с3=10, усі
нулі збільшилися в два рази.
Виконаємо
заміну незалежної змінної х на 2р+2=2(р+1).
Отримаємо:
у(2р+2)=(2р+2-2)(2р+2-3)(2р+2-5),
у(2р+2)=(2р)(2р-1)(2р-3),
отже нулі многочлена:
р1=0,
р2=0,5, р3=1,5, усі нулі змінилися, проте як? Спочатку кожний нуль многочлена еталона поділили
на 2, а потім від результату відняли 1.
Початкові
нулі: х1=2, х2=3, х3=5.
р1=0=2:2-1, р2=0,5 =3:2-1, р3=1,5=5:2-1.
Виконаємо
заміну незалежної змінної х на 5р-4=5(р-0,8).
Отримаємо:
у(5р-4)=( 5р-4-2)(
5р-4-3)( 5р-4-5),
у(5р-4)=(5р-6)(5р-7)(5р-9),
отже нулі многочлена:
р1=1,2,
р2=1,4, р3=1,8, усі нулі змінилися, проте як? Спочатку кожний нуль многочлена еталона поділили
на 5, а потім до результату відняли 0,8.
Початкові
нулі: х1=2, х2=3, х3=5.
р1=1,2=2:5+0,8, р2=1,4 =3:5+0,8, р3=1,8=5:5+0,8.
Виконаємо
заміну незалежної змінної х на -5р+10=-5(р-2). Отримаємо:
у(-5р+10)=(-5р+10-2)(-5р+10-3)(-5р+10-5),
у(-5р+10)=(-5р+8)(-5р+7)(-5р+5),
отже нулі многочлена:
р1=1,6,
р2=1,4, р3=1, усі нулі змінилися, проте як? Спочатку кожний нуль многочлена еталона помножили
на -1, потім поділили на 5, і до результату додали 2.
Початкові
нулі: х1=2, х2=3, х3=5.
р1=1,6=-2:5+2, р2=1,4 =-3:5+2, р3=1=-5:5+2.
Відповідь: змінює. Якщо у
функції виконати заміну незалежної змінної х
на лінійний вираз ах+b, то нулі даної функції змінюються за
правилом:
Якщо
а – від’ємне число, то початкові нулі
змінюють свій знак на протилежний, (у протилежному випадку не змінюють свій
знак) потім:
А)
зменшити результат в \а\ раз;
Б)
відняти від результату число b:/а/.
Функціональна рівність f(g(x))=g(f(x))
Математичний
дослід 1.
Відомо, що у(x)=
kx
+
l - довільна лінійна функція(k-ненульове
дійсне число), z(x)=ax2+bx+c – довільна квадратична функція(а –ненульове дійсне число). При яких дійсних значеннях х
виконується
функціональна рівність:
у(ax2+bx+c)= z(kx+l).
Дослідження.
y(x)=kx+l; z(x)=ax2+bx+c;
y(z(x))= k(ax2+ bx + c) + l = akх2+ b(kx) + kc + l;
z(y(x))= a(kx+l)2+b(kx+l)+c =
ak2x2+2aklx+al2+bkx+bl+c = a(kx)2+(2al
+ b)kx+(al2+bl+c)=z(kx)+z(l)-c+2alkx;
z(y(x))
- y(z(x))
=0;
z(y(x))
- y(z(x))
=
ak2x2+2aklx+al2+bkx+bl+c - akх2- bkx
- kc
– l =
= ak2x2 - kax2 + 2aklx+bkx - bkx + al2 + bl+ c - kc – l =(ax2)(k2-
k)+ z(l)- y(с)=0;
Маємо
рівняння відносно х.
(ax2)(k2- k)+ z(l)- y(с)=0, при а
–ненульове число, k-ненульове
число;
(ax2)(k2 -
k)= y(с)-z(l);
x2=(y(с)-z(l))/(а(k2 -
k)), при а –ненульове число, k-ненульове число;
x1=-((y(с)-z(l))/(а(k2 -
k)))0,5, при а
–ненульове число, k-ненульове;
число;
x2=((y(с)-z(l))/(а(k2 -
k)))0,5, при а
–ненульове число, k-ненульове
число
Відповідь: x1=-((y(с)-z(l))/(а(k2 -
k)))0,5; x2=((y(с)-z(l))/(а(k2 -
k)))0,5;
Примітка. Якщо
розглянути такі функції:
U(x)=ax2+bx ; V(x)=kx
тоді
можливі три випадки:
А)U(V(x))=V(U(x)) при k=1 або k=0; а – ненульове дійсне число, b та
х – дійсні числа.
Б)U(V(x))=V(U(x)) при а =0; k , b та
х – дійсні числа.
В)U(V(x))=V(U(x)) при х=0; k , b та
а – дійсні числа.
Розв’язання.
U(V(x))= a(kx)2+b(kx) = U(kx) = ak2x2+bkx
V(x)=kx U(x)=ax2+bx
V(U(x))=k(ax2+bx) = kax2+bkx
U(V(x))- V(U(x))= ak2x2+bkx - kax2-bkx
= ak2x2 - kax2 = (ax2)( k2-
k)
U(V(x))- V(U(x))=0; k=1; k=0;
U(V(x))=V(U(x)).
Вправи
1.
Дослідити самостійно
такі випадки:
Якщо
розглянути такі функції: U(x)=ax2+bx ; V(x)=kx.
При яких
значеннях параметрів та незалежної змінної змінної х виконується умови: а) U(V(x))=V(U(x))=х; б) U(V(x))=V(U(x))=х2; в) U(V(x))=V(U(x))=1.
Посібник з функціональних рівнянь рівнянь для учнів:
http://ru.calameo.com/read/00503199142854e44aa67
