Нерівності для середнього арифметичного і середнього геометричного

Класичні нерівності для середнього арифметичного і середнього геометричного

А₀= А₁ = a - це середнє арифметичне одного дійсного числа

G₀= G₁ = a - це середнє геометричне одного дійсного числа.

А₂=0,5(a+b)  - це середнє арифметичне двох дійсних чисел

G₂=(ab)^0,5 - це середнє геометричне двох дійсних чисел

А₃=^(a+b+c)/₃  - це середнє арифметичне трьох дійсних чисел

G₃=(abc)^1/3 - це середнє геометричне трьох дійсних чисел

Тотожність різниці А₃-G₃

А₃-G₃=

= ^(a+b+c)/₃  - (abc)^1/3 =

= (¹/₆)([ (a)^1/3-(b)^1/3]² +[(b)^1/3-(c)^1/3]² +[(c)^1/3-(a)^1/3]²)*

*[ (a)^1/3+(b)^1/3+(c)^1/3].

Користуючись тотожностю, можна отримати такі наслідки(які вірні і у оберненому твердженні).

Запитання. Коли середнє арифметичне трьох чисел строго більше середнього  геометричного трьох чисел?

Відповідь:

Якщо  (a)^1/3+(b)^1/3+(c)^1/3 >0,

при цьому дійсні числа

а, b, c не рівні між собою,

тоді  і тільки тоді, коли

А₃ > G₃,

тобто

^(a+b+c)/₃  > (abc)^1/3.

Запитання. Коли середнє арифметичне трьох чисел нестрого більше середнього геометричного трьох чисел?

Відповідь:

Якщо  (a)^1/3+(b)^1/3+(c)^1/3 >=0,

або дійсні числа а=b=c рівні між собою,

тоді і тільки тоді, коли

А₃ >= G₃,

тобто

^(a+b+c)/₃  > =(abc)^1/3.

Запитання. Коли середнє арифметичне трьох чисел дорівнює середньому геометричному трьох чисел?

Якщо  (a)^1/3+(b)^1/3+(c)^1/3 =0,

або дійсні числа а=b=c рівні між собою,

тоді і тільки тоді, коли

А₃ = G₃,

тобто

^(a+b+c)/₃   = (abc)^1/3.

Запитання. Коли середнє арифметичне трьох чисел нестрого менше середнього геометричного трьох чисел?

Відповідь:

Якщо  (a)^1/3+(b)^1/3+(c)^1/3<=0,

або дійсні числа а=b=c рівні між собою,

тоді  і тільки тоді, коли

А₃ <= G₃,

тобто

^(a+b+c)/₃   <= (abc)^1/3.

Запитання. Коли середнє арифметичне трьох чисел строго менше середнього геометричного трьох чисел?

Відповідь:

Якщо  (a)^1/3+(b)^1/3+(c)^1/3<0,

або дійсні числа а, b, c не рівні між собою,

тоді  і тільки тоді, коли

А₃ <G₃,

тобто

^(a+b+c)/₃   < (abc)^1/3.

Запитання. Коли натуральна  степінь додатного дійсного числа  не строго більше добутку  основи на показник даного чисел?

Відповідь:

Якщо  а – невід′ємне дійсне число, n – натуральне число, тоді

aⁿ >= na-n+1.

Якщо впорядкувати набір додатних дійсних чисел

0<a₁<=а₂<= a₃<=а₄<= …<=a_n

 по не спаданню, то можна записати:

А_n=(a₁+а₂+…+a_n)/_n  - це середнє арифметичне набору дійсних чисел

G_n=(a₁+а₂+…+a_n)^1/n - це середнє геометричне набору дійсних чисел

Запитання. Як можна впорядкувати середні арифметичні набору додатних дійсних чисел?

Відповідь:

Якщо впорядкувати набір додатних дійсних чисел

0<a₁<=а₂<= a₃<=а₄<= …<= a_n-2 <= a_n-1 <=a_n

 по не спаданню, то можна записати нерівності:

a₁<=0,5(a₁+а₂) <=(а₁+ a₂+а₃)/₃

(а₁+ a₂+а₃)/₃ <=0,25(а₁+ a₂+а₃+а₄)

0<A₁<=А₂<= A₃<=А₄<= … <= A_n-2 <= A_n-1 <=A_n

a_n<=(A_n )ⁿ:(A_n-1 )^n-1

0<G₁<=G₂<= G₃<=G₄<= … <= G_n-2 <= G_n-1 <=G_n

nG_n -(n-1 )G_n-1<= a_n

nG_n -(n-1 )G_n-1<= a_n <=(A_n )ⁿ:(A_n-1 )^n-1

G_n <=A_n

 G₂=(a₁а₂)^0,5 =< 0,5(a₁+а₂) =A₂

G₃=(a₁а₂а₃)^1/3 =< (а₁+ a₂+а₃)/₃ =A₃

G_n - G_n-1 =< A_n - A_n-1

(n-1)(A_n-1 - G_n-1 )=< n(A_n - G_n)

(A_n-1 / G_n-1 )^n-1 =< (A_n / G_n) ⁿ