Способи доведення
нерівностей
Використання класичних нерівностей для доведення
нерівностей
Довести нерівність
(1+y/x) (1+z/y) (1+х/z)>=8, якщо x>0, y>0, z>0,
Доведення.
Скористаємося відомою нерівністю між середнім арифметичним
двох додатних чисел 0,5(a+b) та середнім геометричним двох додатних чисел (ab) 0,5
0,5(a+b)>= (ab)0,5.
На основі цієї класичної
нерівності отримаємо такі три
нерівності:
0,5(1+y/x ) >=(1*y/x) 0,5;
0,5(1+z/y ) >=(1*z/y) 0,5;
0,5(1+x/z) >=(1*x/z) 0,5.
Помножимо ці три нерівності,
отримаємо:
0,125(1+y/x )(1+z/y )(1+x/z) >=(y/x) 0,5(z/y) 0,5(x/z) 0,5;
0,125(1+y/x )(1+z/y )(1+x/z) >=(y/x*z/y*x/z) 0,5;
0,125(1+y/x )(1+z/y )(1+x/z) >=1;
(1+y/x )(1+z/y )(1+x/z) >=1:0,125;
(1+y/x )(1+z/y )(1+x/z) >=8.
Що і треба було довести.
Функціональний спосіб доведення нерівностей
Доведіть нерівність a² + b² + 1
≥ ab + a + b.
Доведення.
Складаємо різницю двох виразів і дослідимо знаки цієї різниці функціональним
способом. Отже покажемо, що a² +
b² + 1 - ab - a - b≥0.
Розглянемо квадратний тричлен від змінної а:
F(a;b)=a²–(b +1)a +b² - b+
1. Дослідимо цей квадратний тричлен на знаки.
Дискримінант
цього квадратного тричлена не додатний, бо D= -3(b-1)2≤0.
Так,
як старший коефіцієнт у квадратному виразі, додатний, то
даний
квадратний тричлен набуває додатних значень при будь-яких дійсних значеннях
(a;b),окрім значення а=1; b=1. До
речі F(1;1)=0.
Тому F(a;b)=a²–(b +1)a +b² - b+ 1≥0. Що і треба було довести.
Примітка.
Аналогічно, можна було розглянути квадратний тричлен
F(a;b)=a²–(b +1)a +b² - b+ 1 від змінної b.
Спробуйте зробити це самостійно
для удосконалення власних умінь та навичок.
