2010 рік
6 клас
1. Чи існують п'ять цілих додатних чисел, сума яких дорівнює 20, а добуток − 420? Відповідь обґрунтуйте.
2. Квадрат 4×4 поділений на 16 клітинок. Чи можна розфарбувати ці клітинки в чорний і білий кольори так, щоб у кожної чорної клітинки було три білих сусіди, а в кожної білої клітинки був рівно один чорний сусід? (Сусідніми вважаються клітинки, які мають спільну сторону.)
3. Два насоси разом заповнюють басейн за дві години, а окремо вони заповнюють його за ціле, але різне число годин. За скільки годин кожен насос заповнює басейн ?
4. На шаховій дошці в нижньому лівому кутку стоїть шашка. Два гравці ходять нею по черзі, пересуваючи шашку на сусіднє поле. Допускаються лише напрямки рухів, вказані на рисунку. Виграє той, хто своїм ходом ставить шашку на верхнє праве поле. Як повинен грати перший гравець, щоб виграти?
На виконання роботи відводиться 3 год.
Кожна задача оцінюється в 7 балів.
Користуватися калькулятором не дозволяється.
2010 рік
7 клас
1. Дано п’ятдесят різних натуральних чисел, двадцять п’ять з яких не перевищують 50, а решта більші 50, але не перевищують 100. При цьому жодні два з них не відрізняються рівно на 50. Знайдіть суму цих чисел.
2. Квадрат з діркою, зображений на рисунку, треба розрізати на фігурки, показані нижче. Яку найменшу кількість частин можна одержати ?
3. Чи можна подати число 110 у вигляді суми натуральних доданків (не обов’язково різних), сума обернених величин яких дорівнює 1 ?
4. Прямокутна шоколадка розбита поздовжніми і поперечними заглибленнями на 50 квадратних частинок. Двоє грають у таку гру. Гравець, який розпочинає гру, розламує шоколадку по деякому заглибленню на дві прямокутні частинки. Потім гравці по черзі ламають по деякому заглибленню одну з одержаних частин на дві. Той, хто першим відламає квадратну дольку (без заглиблень), програє. Хто з гравців може забезпечити собі виграш − той, хто починає гру чи його суперник ? Відповідь обґрунтуйте.
На виконання роботи відводиться 3 год.
Кожна задача оцінюється в 7 балів.
Користуватися калькулятором не дозволяється.
2010 рік
8 клас
1. Знайдіть усі натуральні числа x >1 такі, що
а) x
+ 1 = 22… 2 (число x+ 1 записується одними двійками );
б) x+ 1 = 77… 7 (число x+ 1 записується одними сімками ).
2. На гіпотенузі AB прямокутного трикутника ABC вибрана точка K, для якої CK =BC. Відрізок CK перетинає бісектрису AL у її середині. Знайдіть кути трикутника ABC.
3. Додатні числа а, b, с такі, що
.
Довести, що а = b =с.
4. Чи можна розмістити на шаховій дошці 8×8 кілька пішаків так, щоб кількість пішаків на сусідніх вертикалях відрізнялася в 2 рази, а на сусідніх горизонталях – в 3 рази? Відповідь обґрунтуйте.
5. На деякому полі шахової дошки 8×8 стоїть король. Двоє по черзі пересувають його по дошці. Забороняється повертати короля на поле, де він щойно побував. Виграє той гравець, після ходу якого король виявиться на полі, де він колись вже побував. Хто з гравців може забезпечити собі перемогу при будь-якій грі суперника? Відповідь обґрунтуйте.
На виконання роботи відводиться 4 год.
Кожна задача оцінюється в 7 балів.
Користуватися калькулятором не дозволяється.
2010 рік
9 клас
1. Позначимо через S(x) суму цифр натурального числа x. Чи існують такі натуральні числа a, b і c, що S(a + b) < 5, S(a + c ) < 5 і S(b + c ) < 5, але
S(a + b +с) > 50 ? Відповідь обґрунтуйте.
2. На стороні ВС правильного трикутника АВС взяли точки K i L так, що BK=KL=LC, а на стороні АС взяли точку М так, що
. Знайдіть суму кутів АКМ і ALM.
3. Якщо добуток двох додатних чисел більший за їх суму, то їх сума більша за 4. Доведіть.
4. На малюнку показаний трикутник, розбитий на 25 менших трикутників, занумерованих числами від 1 до 25.
Чи можна ці ж числа розставити в клітинках квадрата
так, щоб будь-які два числа, записані в сусідніх трикутниках, були записані в сусідніх клітинках квадрата? (Трикутники, як і клітинки квадрата, рахуються сусідніми, якщо вони мають спільну сторону.)
5. Двоє грають в таку гру. На шаховій дошці розміром
клітинок стоїть тура. Гравець своїм ходом може перемістити її на будь-яку кількість клітинок вправо або вгору. Спочатку тура стоїть в лівому нижньому кутку дошки. Програє той , хто не може зробити черговий хід. Хто виграє при правильній грі?Відповідь обґрунтуйте.
На виконання роботи відводиться 4 год.
Кожна задача оцінюється в 7 балів.
Користуватися калькулятором не дозволяється.
2010 рік
10 клас
1. Позначимо через S(x) суму цифр натурального числа x. Розв’яжіть рівняння:
x + S(x) + S( S(x)) =2011.
2. Два кола перетинаються в точках P і Q. Третє коло з центром у точці P перетинає перше коло в точках A і B, а друге − в точках C і D ( див. мал. 1). Відомо, що
AQD =β. Знайти кут ВQC.
мал. 1
3. Числа a, b, c − довжини сторін трикутника. Доведіть нерівність
>3.
4. Перші 8 натуральних чисел можна розставити у два рядки ( див. мал.2 ) так, що сума чисел у верхньому рядку дорівнює сумі чисел у нижньому рядку, а суми чисел у стовпцях також рівні між собою. Чи можна розставити подібним чином числа від 1 до 2n, де n − натуральне число ? Якщо можна, то при яких натуральних значеннях n ?
8 2 3 5
1 7 6 4 мал. 2
5. Двоє грають у таку гру. Один з двох гравців ( той, хто розпочинає гру) ставить на деяку клітинку шахової дошки коня. Потім гравці по черзі пересувають коня за звичайними правилами ( буквою "Г"), при цьому не дозволяється ставити коня на поле, де він вже побував. Програє той, кому нікуди ходити. Хто може добитися перемоги (незалежно від дій суперника) − той, хто розпочинає гру (перший гравець) чи його суперник
а) на дошці 8×8;
б) на дошці m× n, де m
n3 ? Відповіді обґрунтуйте.
На виконання роботи відводиться 4 год.
Кожна задача оцінюється в 7 балів.
Користуватися калькулятором не дозволяється.
2010 рік
11 клас
1. Позначимо через S(n) суму цифр десяткового запису натурального числа n . Чи існують три різних натуральних числа m, n, p такі, що
m + S(m) = n + S(n) = p + S(p) ?
2. У гострокутному трикутнику АВС на стороні ВС, що дорівнює а, вибрано точку D так, що АВ =АD. Коло, описане навколо трикутника ABD, перетинає сторону АС в точках А і K. Пряма DK перетинає перпендикуляр, опущений з В на АС, у точці L. Знайти СL.
3. У клітинках таблиці 10×10 розставлені числа 1, 2, 3, …, 100 так, що сума двох сусідніх чисел не перевищує S. Знайдіть найменше можливе значення S.(Числа називаються сусідніми, якщо вони стоять у клітинках, що мають спільну сторону.)
4. Кульгава тура обійшла частину шахової дошки 8×8 , розпочавши свій шлях на клітинці d4.
Відомо, що в жодній клітинці вона не була двічі, відвідала всі чотири кутки дошки, причому на клітинку а1 вона потрапила з клітинки а2, на клітинку а8вона потрапила з клітинки а7 і на клітинку h8 вона потрапила з клітинки h7. З якої клітинки вона потрапила на клітинку h1? (Кульгава тура ходить по вертикалі і горизонталі на 1 клітинку.)
5. Дано дві купки сірників. Спочатку в одній купці m сірників, а в другій − n сірників, причому m > n. Два гравці по черзі беруть з купки сірники. За один хід гравець бере з однієї купки будь-яке (відмінне від нуля) число сірників, кратне числу сірників у другій купці. Виграє гравець, який взяв останнього сірника в одній з купок. Чи може гравець, який робить перший хід, забезпечити собі виграш при m > 2n? Відповідь обґрунтуйте.
На виконання роботи відводиться 4 год.
Кожна задача оцінюється в 7 балів.
Користуватися калькулятором не дозволяється.
Другий етап Всеукраїнської олімпіади юних математиків
6 клас
1. Чи існують п'ять цілих додатних чисел, сума яких дорівнює 20, а добуток − 420? Відповідь обґрунтуйте.
2. Квадрат 4×4 поділений на 16 клітинок. Чи можна розфарбувати ці клітинки в чорний і білий кольори так, щоб у кожної чорної клітинки було три білих сусіди, а в кожної білої клітинки був рівно один чорний сусід? (Сусідніми вважаються клітинки, які мають спільну сторону.)
3. Два насоси разом заповнюють басейн за дві години, а окремо вони заповнюють його за ціле, але різне число годин. За скільки годин кожен насос заповнює басейн ?
4. На шаховій дошці в нижньому лівому кутку стоїть шашка. Два гравці ходять нею по черзі, пересуваючи шашку на сусіднє поле. Допускаються лише напрямки рухів, вказані на рисунку. Виграє той, хто своїм ходом ставить шашку на верхнє праве поле. Як повинен грати перший гравець, щоб виграти?
На виконання роботи відводиться 3 год.
Кожна задача оцінюється в 7 балів.
Користуватися калькулятором не дозволяється.
2010 рік
Другий етап Всеукраїнської олімпіади юних математиків
7 клас
1. Дано п’ятдесят різних натуральних чисел, двадцять п’ять з яких не перевищують 50, а решта більші 50, але не перевищують 100. При цьому жодні два з них не відрізняються рівно на 50. Знайдіть суму цих чисел.
2. Квадрат з діркою, зображений на рисунку, треба розрізати на фігурки, показані нижче. Яку найменшу кількість частин можна одержати ?
3. Чи можна подати число 110 у вигляді суми натуральних доданків (не обов’язково різних), сума обернених величин яких дорівнює 1 ?
4. Прямокутна шоколадка розбита поздовжніми і поперечними заглибленнями на 50 квадратних частинок. Двоє грають у таку гру. Гравець, який розпочинає гру, розламує шоколадку по деякому заглибленню на дві прямокутні частинки. Потім гравці по черзі ламають по деякому заглибленню одну з одержаних частин на дві. Той, хто першим відламає квадратну дольку (без заглиблень), програє. Хто з гравців може забезпечити собі виграш − той, хто починає гру чи його суперник ? Відповідь обґрунтуйте.
На виконання роботи відводиться 3 год.
Кожна задача оцінюється в 7 балів.
Користуватися калькулятором не дозволяється.
2010 рік
Другий етап Всеукраїнської олімпіади юних математиків
8 клас
1. Знайдіть усі натуральні числа x >1 такі, що
а) x
+ 1 = 22… 2 (число x+ 1 записується одними двійками );б) x
+ 1 = 77… 7 (число x+ 1 записується одними сімками ).2. На гіпотенузі AB прямокутного трикутника ABC вибрана точка K, для якої CK =BC. Відрізок CK перетинає бісектрису AL у її середині. Знайдіть кути трикутника ABC.
3. Додатні числа а, b, с такі, що
.Довести, що а = b =с.
4. Чи можна розмістити на шаховій дошці 8×8 кілька пішаків так, щоб кількість пішаків на сусідніх вертикалях відрізнялася в 2 рази, а на сусідніх горизонталях – в 3 рази? Відповідь обґрунтуйте.
5. На деякому полі шахової дошки 8×8 стоїть король. Двоє по черзі пересувають його по дошці. Забороняється повертати короля на поле, де він щойно побував. Виграє той гравець, після ходу якого король виявиться на полі, де він колись вже побував. Хто з гравців може забезпечити собі перемогу при будь-якій грі суперника? Відповідь обґрунтуйте.
На виконання роботи відводиться 4 год.
Кожна задача оцінюється в 7 балів.
Користуватися калькулятором не дозволяється.
2010 рік
Другий етап Всеукраїнської олімпіади юних математиків
9 клас
1. Позначимо через S(x) суму цифр натурального числа x. Чи існують такі натуральні числа a, b і c, що S(a + b) < 5, S(a + c ) < 5 і S(b + c ) < 5, але
S(a + b +с) > 50 ? Відповідь обґрунтуйте.
2. На стороні ВС правильного трикутника АВС взяли точки K i L так, що BK=KL=LC, а на стороні АС взяли точку М так, що
. Знайдіть суму кутів АКМ і ALM.3. Якщо добуток двох додатних чисел більший за їх суму, то їх сума більша за 4. Доведіть.
4. На малюнку показаний трикутник, розбитий на 25 менших трикутників, занумерованих числами від 1 до 25.
Чи можна ці ж числа розставити в клітинках квадрата
так, щоб будь-які два числа, записані в сусідніх трикутниках, були записані в сусідніх клітинках квадрата? (Трикутники, як і клітинки квадрата, рахуються сусідніми, якщо вони мають спільну сторону.)5. Двоє грають в таку гру. На шаховій дошці розміром
клітинок стоїть тура. Гравець своїм ходом може перемістити її на будь-яку кількість клітинок вправо або вгору. Спочатку тура стоїть в лівому нижньому кутку дошки. Програє той , хто не може зробити черговий хід. Хто виграє при правильній грі?Відповідь обґрунтуйте.На виконання роботи відводиться 4 год.
Кожна задача оцінюється в 7 балів.
Користуватися калькулятором не дозволяється.
2010 рік
Другий етап Всеукраїнської олімпіади юних математиків
10 клас
1. Позначимо через S(x) суму цифр натурального числа x. Розв’яжіть рівняння:
x + S(x) + S( S(x)) =2011.
2. Два кола перетинаються в точках P і Q. Третє коло з центром у точці P перетинає перше коло в точках A і B, а друге − в точках C і D ( див. мал. 1). Відомо, що
AQD =β. Знайти кут ВQC. мал. 13. Числа a, b, c − довжини сторін трикутника. Доведіть нерівність
>3.4. Перші 8 натуральних чисел можна розставити у два рядки ( див. мал.2 ) так, що сума чисел у верхньому рядку дорівнює сумі чисел у нижньому рядку, а суми чисел у стовпцях також рівні між собою. Чи можна розставити подібним чином числа від 1 до 2n, де n − натуральне число ? Якщо можна, то при яких натуральних значеннях n ?
8 2 3 5
1 7 6 4 мал. 2
5. Двоє грають у таку гру. Один з двох гравців ( той, хто розпочинає гру) ставить на деяку клітинку шахової дошки коня. Потім гравці по черзі пересувають коня за звичайними правилами ( буквою "Г"), при цьому не дозволяється ставити коня на поле, де він вже побував. Програє той, кому нікуди ходити. Хто може добитися перемоги (незалежно від дій суперника) − той, хто розпочинає гру (перший гравець) чи його суперник
а) на дошці 8×8;
б) на дошці m× n, де m
n3 ? Відповіді обґрунтуйте.На виконання роботи відводиться 4 год.
Кожна задача оцінюється в 7 балів.
Користуватися калькулятором не дозволяється.
2010 рік
Другий етап Всеукраїнської олімпіади юних математиків
11 клас
1. Позначимо через S(n) суму цифр десяткового запису натурального числа n . Чи існують три різних натуральних числа m, n, p такі, що
m + S(m) = n + S(n) = p + S(p) ?
2. У гострокутному трикутнику АВС на стороні ВС, що дорівнює а, вибрано точку D так, що АВ =АD. Коло, описане навколо трикутника ABD, перетинає сторону АС в точках А і K. Пряма DK перетинає перпендикуляр, опущений з В на АС, у точці L. Знайти СL.
3. У клітинках таблиці 10×10 розставлені числа 1, 2, 3, …, 100 так, що сума двох сусідніх чисел не перевищує S. Знайдіть найменше можливе значення S.(Числа називаються сусідніми, якщо вони стоять у клітинках, що мають спільну сторону.)
4. Кульгава тура обійшла частину шахової дошки 8×8 , розпочавши свій шлях на клітинці d4.
Відомо, що в жодній клітинці вона не була двічі, відвідала всі чотири кутки дошки, причому на клітинку а1 вона потрапила з клітинки а2, на клітинку а8вона потрапила з клітинки а7 і на клітинку h8 вона потрапила з клітинки h7. З якої клітинки вона потрапила на клітинку h1? (Кульгава тура ходить по вертикалі і горизонталі на 1 клітинку.)
5. Дано дві купки сірників. Спочатку в одній купці m сірників, а в другій − n сірників, причому m > n. Два гравці по черзі беруть з купки сірники. За один хід гравець бере з однієї купки будь-яке (відмінне від нуля) число сірників, кратне числу сірників у другій купці. Виграє гравець, який взяв останнього сірника в одній з купок. Чи може гравець, який робить перший хід, забезпечити собі виграш при m > 2n? Відповідь обґрунтуйте.
На виконання роботи відводиться 4 год.
Кожна задача оцінюється в 7 балів.
Користуватися калькулятором не дозволяється.
